線性規(guī)劃模型在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用

1、誠 信 聲 明我聲明，所呈交的畢業(yè)論文是本人在老師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我查證，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，我承諾，論文中的所有內(nèi)容均真實(shí)、可信。畢業(yè)論文作者簽名： 簽名日期： 年 月 日摘要：在企業(yè)生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)資源的分配直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。因此，企業(yè)在制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，人力物力和時(shí)間等資源的優(yōu)化配制是首要面對(duì)的關(guān)鍵問題，而建立線性規(guī)劃模型則是目前解決該問題的有效方法之一。本文旨在針對(duì)上述有限資源條件的約束下，通過建立相應(yīng)的線性規(guī)劃模型來制定生產(chǎn)計(jì)劃以實(shí)現(xiàn)企業(yè)資源最優(yōu)化、利益最大化，同時(shí)利用LINGO 11.0軟件

2、求解線性規(guī)劃模型并分析在某些資源變動(dòng)時(shí)對(duì)該模型所產(chǎn)生的影響并尋求最優(yōu)生產(chǎn)方案。關(guān)鍵詞：企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃；線性規(guī)劃；數(shù)學(xué)模型；LINGO 11.0Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore, enterprises in the development of production plan, formu

3、lated to optimize the resources of manpower and time is the key problem of face. And to establish the linear programming model is one of the effective ways to solve the problem. This paper aimed at the limited resource c

4、onstraints, by establishing linear programming model corresponding to make production plan in order to realize the maximization of enterprise resource optimization, interest, and using LINGO11.0 software to solve the linear programming model

5、0;and analysis the influence on the model in some resource changes and seek the optimal production plan.Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model；LINGO 11.0目錄1線性規(guī)劃問題概述（1）1.1線性規(guī)劃問題的基本概念（1）1.2 線性規(guī)劃方法的應(yīng)用范圍與求解的基本步驟（1）1.3 線性規(guī)劃模型的基本概念（2）1.4 建立線

6、性規(guī)劃模型的一般步驟（2）1.5 線性規(guī)劃模型的求解方法（3）2.線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用（3）2.1 線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中應(yīng)用的背景（3）2.2 把線性規(guī)劃運(yùn)用到企業(yè)生產(chǎn)中的作用和意義（4）2.3 針對(duì)企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃模型的分析（4）2.4建立生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的線性規(guī)劃模型（5）2.5 案例及相關(guān)分析（5）3總結(jié) （11）參考文獻(xiàn)（12）致謝（13）線性規(guī)劃模型在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用1. 線性規(guī)劃問題概述1.1線性規(guī)劃問題的基本概念線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中，研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用較多、方法較成熟的一個(gè)重要分支，也是最基本部分，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。自1947年丹捷格提出了

7、一般線性規(guī)劃問題求解的方法-單純形法之后，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實(shí)際中日益廣泛與深入。特別是在電子計(jì)算機(jī)能處理成千上萬個(gè)約束條件和決策的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了。它所研究的問題主要有兩類:一類是當(dāng)一項(xiàng)任務(wù)確定后，如何統(tǒng)籌安排，盡量做到以最少的人力、物力資源去完成任務(wù)；另一類是對(duì)已有的人力、物力資源，如何安排使用，并完成任務(wù)的。一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。由此，我們給出線性規(guī)劃的一般定義如下：錢辰，李姝.線性規(guī)劃方法在企業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用J.中國高新技術(shù)

8、企業(yè)，2011,(3)42.求一組變量Xj(j=1,2,3,n)的值，使之滿足關(guān)于這組變量的若干個(gè)線性等式或不等式的約束條件，并使這組變量的一個(gè)線性函數(shù)取得極值(極小或極大)，其中，這些變量稱為決策變量，所要優(yōu)化的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，此類問題稱為“線性規(guī)劃”(Linear Programming，簡記LP)問題。其中，決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素。1.2 線性規(guī)劃方法的應(yīng)用范圍與求解的基本步驟高紅衛(wèi)，線性規(guī)劃方法應(yīng)用詳解 M，北京，科學(xué)出版社，2004.12-15.（1）線性規(guī)劃方法的應(yīng)用范圍，可以用一種歸納性的敘述加以概括為：凡是能用線性約束方程（等式或者不等式）組描述其內(nèi)部

9、運(yùn)行規(guī)則，且有明確的線性優(yōu)化目標(biāo)的問題，都可以用線性規(guī)劃的方法求解。無論這些問題屬于哪個(gè)領(lǐng)域，只要能滿足上述條件，都屬于線性規(guī)劃方法的應(yīng)用范圍。比如一些常見的領(lǐng)域有：企業(yè)營銷策劃、產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃、采購與庫存管理、物流管理、理財(cái)與投資、人事管理、系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)、工程設(shè)計(jì)優(yōu)化、宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行調(diào)控、城市管理、作戰(zhàn)規(guī)劃等。（2）求解線性規(guī)劃問題的基本步驟可以總結(jié)如下： 提出并抽象問題 建立數(shù)學(xué)模型 求解 檢驗(yàn)解 解的靈敏度分析 解的回歸1.3 線性規(guī)劃模型的基本概念線性規(guī)劃問題的模型是由一組含有等式、不等式的代數(shù)方程以及一個(gè)具有求極值關(guān)系的目標(biāo)函數(shù)（優(yōu)化函數(shù)）表達(dá)式構(gòu)成的復(fù)合式抽象數(shù)學(xué)模型。（1）線性規(guī)劃模

10、型的構(gòu)成需要具備以下條件： 需要求解的問題所包含的每一種資源數(shù)量都是確定的，而且每個(gè)決策變量也都是確定的，其取值范圍也是已知的，并且問題所包含的每一種決策變量與相關(guān)資源之間的約束關(guān)系、不同決策變量對(duì)于某一種資源的需求之和與該資源的現(xiàn)有總量的對(duì)應(yīng)關(guān)系（用,之一來表示）都是確定的。 存在一個(gè)確定的、期望達(dá)到的目標(biāo)（極大或極小值），并且這個(gè)目標(biāo)可用對(duì)全部或部分決策變量與相關(guān)價(jià)值（費(fèi)用）系數(shù)乘積之和（稱為目標(biāo)函數(shù)）來表達(dá)。（2）線性規(guī)劃模型的一般形式如下：孫庭鋒.淺析線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用J.商業(yè)經(jīng)濟(jì), 2006. (276):18.目標(biāo)函數(shù) (1)約束條件 (2) (一般為非負(fù)性)其中，(j

11、=1,2,n) 稱為價(jià)值(費(fèi)用)系數(shù)或目標(biāo)函數(shù)系數(shù)。(j=1,2,n）稱為決策變量的非負(fù)約束條件，若其取值范圍為 （，）時(shí)，則稱為任意變量（無約束變量）。(j=1,2,n）稱為資源常數(shù)或簡稱約束右端系。( i=1,2,m ;j=1,2,n）稱為技術(shù)系數(shù)或約束系數(shù)。1.4 建立線性規(guī)劃模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型是解線性規(guī)劃問題的第一步，也是關(guān)鍵的一步。一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型必須對(duì)問題的系統(tǒng)及其同內(nèi)外部環(huán)境的關(guān)系進(jìn)行概括，根據(jù)實(shí)際需要提的出問題，進(jìn)行求解。由上述可知，如何確定決策變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)是解決線性規(guī)劃問題模型的關(guān)鍵。具體的建立步驟如下： 根據(jù)已知條件設(shè)置決策變量。即尋找所要求解或間接求解

12、的未知數(shù)并用(j=1,2,n）表示出來。 確定目標(biāo)函數(shù)。用上面所確定的變量建立一個(gè)線性函數(shù)（此處為一次函數(shù)），再根據(jù)具體問題明確是求目標(biāo)函數(shù)的極大值或是極小值。 確定資源常量并找出決策變量之間的關(guān)系及其與資源約束常量之間的關(guān)系，建立等式或不等式線性方程。 確定決策變量的取值范圍。 整理所得到的代數(shù)表達(dá)式，形成規(guī)范的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。1.5 線性規(guī)劃模型的求解方法線性規(guī)劃模型建立之后就需要求出個(gè)決策變量的最優(yōu)解以及目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，其解法多樣并且逐漸成熟。當(dāng)決策變量個(gè)數(shù)比較少時(shí)比較常用圖解法，即直接根據(jù)約束條件在坐標(biāo)軸上畫出可行域并找出最優(yōu)解。而目前求解線性規(guī)劃問題的基本方法是

13、單純行法。它需要將模型的一般形式變換成標(biāo)準(zhǔn)形式后再運(yùn)用矩陣的計(jì)算方式得到最優(yōu)解。為了提高解題速度，又有改進(jìn)單純形法、對(duì)偶單純形法、原始對(duì)偶方法、分解算法和各種多項(xiàng)式時(shí)間算法?，F(xiàn)有的計(jì)算機(jī)軟件基本上是利用上述方法的原理。例如：Excel、MATLAB、LINDO和LINGO等軟件。本文后面的案例主要運(yùn)用軟件LINGO 11.0進(jìn)行求解、分析。2. 線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用2.1 線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中應(yīng)用的背景隨著經(jīng)濟(jì)全球化的不斷發(fā)展，企業(yè)之間的競爭與合作也日漸成熟與激烈，企業(yè)必須不斷提高盈利水平，增強(qiáng)其獲利能力。即如何應(yīng)用最小的資源成本獲得最大的利益永遠(yuǎn)是企業(yè)發(fā)展的核心目的。只有在生產(chǎn)

14、、銷售、新產(chǎn)品研發(fā)等一系列過程中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，提高企業(yè)效率，降低成本，形成企業(yè)的核心競爭力，才能在激烈的競爭中立于不敗之地。因此根據(jù)市場的需求有計(jì)劃的生產(chǎn)變成為其必不可少的手段之一，特別是在資源有限的情況下。而實(shí)踐證明，線性規(guī)劃模型是制定企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃行之有效地重要方法。過去很多企業(yè)在生產(chǎn)、運(yùn)輸、市場營銷等方面沒有利用線性規(guī)劃方法進(jìn)行合理的配置，從而增加了企業(yè)的生產(chǎn)負(fù)擔(dān)，使企業(yè)的利潤不能達(dá)到最大化。在競爭日益激烈的今天，如果還按照過去的方式，無疑是會(huì)被淘汰的，所以就有必要利用線性規(guī)劃的知識(shí)對(duì)戰(zhàn)略計(jì)劃、生產(chǎn)、銷售各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行優(yōu)化從而降低生產(chǎn)成本，提高企業(yè)的效率。此外線性規(guī)劃問題在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、服務(wù)

15、業(yè)、軍事、運(yùn)輸和計(jì)劃管理等多方而都越來越受重視、越來越得到廣泛的運(yùn)用。所以運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)統(tǒng)籌企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃是大勢所趨、是合理的。本文中筆者試圖通過線性規(guī)劃具體模型的建立并用計(jì)算機(jī)軟件求解結(jié)果，以及對(duì)相關(guān)參數(shù)的分析，闡述線性規(guī)劃是解決企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃問題的一個(gè)有效方法。2.2 把線性規(guī)劃運(yùn)用到企業(yè)生產(chǎn)中的作用和意義 把線性規(guī)劃的知識(shí)運(yùn)用到企業(yè)生產(chǎn)中去，可以使企業(yè)適應(yīng)市場激烈的競爭，能夠及時(shí)、準(zhǔn)確、科學(xué)、有效地制定生產(chǎn)計(jì)劃、投資計(jì)劃以及對(duì)資源進(jìn)行合理配置。其決策理論是建立在嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)之上，運(yùn)用大量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，經(jīng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的，從而在使企業(yè)能夠在生產(chǎn)的各個(gè)環(huán)節(jié)中統(tǒng)籌兼顧、優(yōu)化配置，提高了企業(yè)的

16、效率。過去企業(yè)在制定計(jì)劃時(shí)，調(diào)整分配方面很困難，既要考慮生產(chǎn)成本，又要考慮獲利水平，人工測算需要很長時(shí)間，不易做到機(jī)動(dòng)靈活。而運(yùn)用線性規(guī)劃并配合計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行測算非常簡便易行，在很短時(shí)間內(nèi)選擇出最優(yōu)方案的同時(shí)，也提高了企業(yè)決策的科學(xué)性和可靠性。這對(duì)企業(yè)是大有益處的。2.3 針對(duì)企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃模型的分析 由上述對(duì)線性規(guī)劃問題和企業(yè)之間關(guān)系的介紹，可知生產(chǎn)計(jì)劃問題分析完全符合線性規(guī)劃建模的條件，可以運(yùn)用線性規(guī)劃來分析生產(chǎn)計(jì)劃方案優(yōu)化問題。但是，應(yīng)用線性規(guī)劃來進(jìn)行生產(chǎn)計(jì)劃問題分析，首先要先弄清以下幾點(diǎn)：王樹祥,武新霞,卜少利,線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用及模型的建立和求解J.2007年管理論叢與教育

17、研究?？?2007,(S2):196.（1）必須明確目標(biāo)函數(shù)。生產(chǎn)計(jì)劃的經(jīng)濟(jì)分析是一種定量分析方法，它是以企業(yè)利潤作為評(píng)價(jià)目標(biāo)值，所尋求的目標(biāo)是使企業(yè)利潤最大化的生產(chǎn)計(jì)劃方案，因此，企業(yè)利潤最大化應(yīng)是生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的目標(biāo)函數(shù)。（2）必須明確約束條件。企業(yè)的資金，生產(chǎn)能力，原材料，設(shè)備使用，市場需求狀況等諸多制約因素與生產(chǎn)計(jì)劃分析密切相關(guān)，稱為生產(chǎn)計(jì)劃分析中目標(biāo)函數(shù)的約束條件。約束條件對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃分析的影響較大，在不同條件下，決策分析的結(jié)論則會(huì)不同。比如，就市場需求和企業(yè)生產(chǎn)能力之間的關(guān)系而言，企業(yè)所處狀態(tài)可有三種類型：供不應(yīng)求狀態(tài)，即市場對(duì)產(chǎn)品的需求超過了企業(yè)的生產(chǎn)能力；供過于求狀態(tài)，即企業(yè)生

18、產(chǎn)能力超過了市場需要；供求平衡波動(dòng)狀態(tài)，即供求平衡的狀態(tài)，或者有時(shí)處于不足狀態(tài)，有時(shí)又處于過剩狀態(tài)。（3）必須明確單件利潤。單件利潤不僅牽扯到產(chǎn)品的單件收入，還要牽扯到生產(chǎn)所耗費(fèi)的各項(xiàng)成本及費(fèi)用。建立產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化模型的目的，就在于輔助生產(chǎn)管理，從系統(tǒng)全局角度，統(tǒng)籌兼顧。因此，為了挖掘出企業(yè)生產(chǎn)管理中的各種潛力，在生產(chǎn)計(jì)劃上應(yīng)該是越細(xì)致越好。而越細(xì)致的計(jì)劃，起變量的個(gè)數(shù)必然會(huì)越多。因此變量的確定對(duì)模型的正確建立起著至關(guān)重要的作用。但這樣一來就會(huì)產(chǎn)生一些問題：當(dāng)變量細(xì)化到一定的程度時(shí)，變量太多，不但求解的難度加大，而且有關(guān)的市場、企業(yè)內(nèi)部的各種技術(shù)經(jīng)濟(jì)參數(shù)得不到充分的支持，從而給建模帶來很大的

19、困難，甚至在應(yīng)用上與實(shí)際信息不協(xié)調(diào)，變得無從掌握。使建立的模型與實(shí)際誤差較大；相反的，如果把模型建的很粗放，更是會(huì)失去其實(shí)用性。因此，正確的做法應(yīng)該是對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行合理折衷。2.4建立生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的線性規(guī)劃模型生產(chǎn)計(jì)劃決策分析的基木方法是以利潤最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，明確未知變量，確定約束條件，建立線性規(guī)劃模型，最終實(shí)現(xiàn)企業(yè)效益最大化的生產(chǎn)計(jì)劃。其一般模式： 目標(biāo)函數(shù)為利潤P = 銷售收入R（成本+費(fèi)用）C在各約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值。分析企業(yè)實(shí)際生產(chǎn)過程中的日產(chǎn)量情況，設(shè)模型的未知變量為企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品種類日產(chǎn)量(j=1,2,n),建立生產(chǎn)計(jì)劃決策分析線性規(guī)劃模型的過程如下：孫庭鋒.淺

20、析線性規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃中的應(yīng)用J.商業(yè)經(jīng)濟(jì), 2006. (276):19.(1) 目標(biāo)函數(shù)。企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)計(jì)劃決策的目標(biāo)值是企業(yè)利潤最大化?，F(xiàn)假設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品所獲得的銷售收入與所耗費(fèi)的產(chǎn)品成本和費(fèi)用的總和均已知，則可以得出生產(chǎn)計(jì)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為：(2) 原材料約束。無論是生產(chǎn)何種產(chǎn)品都需要消耗一定的原材料，在企業(yè)實(shí)際中若需耗用多種原材料則可根據(jù)原材料的種類，增添相應(yīng)約束條件即可。建立約束不等式：其中：分別為生產(chǎn)第1,2,n種產(chǎn)品的單件材料消耗, 為企業(yè)每種可用原材料總量。(3) 生產(chǎn)能力約束。此約束具體表現(xiàn)為企業(yè)的可用工作時(shí)間或可用設(shè)備工時(shí)，而企業(yè)在一定時(shí)期內(nèi)可用工時(shí)是有限的，所以可建立如

21、下約束不等式：其中：分別為生產(chǎn)第1,2,n種產(chǎn)品的單件消耗工時(shí),為企業(yè)的日可用的工時(shí)、設(shè)備總量。(4) 市場需求約束。為了說明問題的方便，假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品市場都有需求，即，無上限約束。若第j種產(chǎn)品市場需求有限，最大需求為，則可增加約束。(5) 非負(fù)約束。因?yàn)樯a(chǎn)實(shí)際中最多即為不生產(chǎn)產(chǎn)品，所以所有變量。2.5 案例及相關(guān)分析為了探討生產(chǎn)計(jì)劃決策分析線性規(guī)劃模型在企業(yè)實(shí)際中的應(yīng)用，接下來通過案例建立線性規(guī)劃模型以及應(yīng)用軟件進(jìn)行求解并分析模型結(jié)果。實(shí)例描述：牛奶生產(chǎn)銷售計(jì)劃何堅(jiān)勇,最優(yōu)化方法 M，北京:清華大學(xué)出版社， 2007.175.一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)兩種普通奶制品，以及兩種高級(jí)奶制品，

22、分別是由深加工開發(fā)得到的。已知每一桶牛奶可以在甲類設(shè)備上用12h加工成3kg，或者在乙類設(shè)備上用8h加工成4kg；深加工時(shí)，用2h并花1.5元加工費(fèi)，可將1kg加工成0.8kg，也可將1kg加工成0.75kg。根據(jù)市場要求，生產(chǎn)的4種奶制品全部能售出，且每公斤,獲利分別為12元、8元、22元、16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動(dòng)時(shí)間最多為480h，并且乙類設(shè)備和深加工設(shè)備的加工能力沒有限制，但甲類設(shè)備的數(shù)量相對(duì)較少，每天至多能加工100kg。試為該廠制定一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，是每天的凈利潤最大，并討論以下問題：（1） 若投資15元，可以增加供應(yīng)1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資？（

23、2） 若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，支付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元？模型的分析與建立： 這是一個(gè)有約束的優(yōu)化問題，其模型應(yīng)該包含決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。根據(jù)上一節(jié)所總結(jié)的步驟可分析如下：決策變量 用決策變量表述生產(chǎn)計(jì)劃，它并不是唯一的，設(shè),每天的銷售量分別為(kg)。也是的產(chǎn)量。設(shè)工廠用(kg)加工成，(kg)加工成（增設(shè)決策變量，可以使模型表達(dá)更清晰）目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是每天的凈利潤z，即,的獲利之和扣除深加工費(fèi)，容易寫出 （元）。約束條件原料供應(yīng)：每天的產(chǎn)量為(kg)，用牛奶()/3(桶)，每天的產(chǎn)量為(kg)，用牛奶()/4(桶)，兩者之和不得超過每天的供應(yīng)量50(桶)。

24、勞動(dòng)時(shí)間：每天生產(chǎn)的時(shí)間分別為4()和2()，加工的時(shí)間分別為2和2，兩者之和不得超過總的勞動(dòng)時(shí)間480h。設(shè)備能力：每天的產(chǎn)量不得超過甲類設(shè)備的加工能力100(kg)。加工約束：1(kg)加工成0.8(kg)，故=0.8；類似地=0.75。非負(fù)約束：均為非負(fù)。由此得到如下基本模型：；顯然，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，這是一個(gè)線性規(guī)劃問題，求出的最優(yōu)解將給出使凈利潤最大的生產(chǎn)銷售計(jì)劃，要討論的問題需考慮參數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響，即靈敏度分析。整理后為：模型求解： 利用線性規(guī)劃軟件LINGO11.0在該編程區(qū)域中編寫語言建立模型并求解如下所示：model:max =12*x1+8*x2

25、+22*x3+16*x4-1.5*x5-1.5*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<=600;2*x1+x2+3*x5+2*x6<=240;x1+x5<=100;x3-0.8*x5=0;x4-0.75*x6=0;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;x6>=0;end程序編程完之后，選擇LINGO菜單中Solve選項(xiàng)，即可得到結(jié)果如表1所示:表1 計(jì)量單位：元Global optimal solution found.Objective value: 1730.400Infeasibilities: 0.00

26、0000Total solver iterations: 2VariableValueReduced CostX10.0000000.8400000X2168.00000.000000X319.200000.000000X40.0000000.000000X524.000000.000000X60.0000000.7600000RowSlack or SurplusDual Price11730.4001.00000020.0000001.58000030.0000003.260000476.000000.00000050.00000022.0000060.00000016.0000070.0

27、000000.0000008168.00000.000000919.200000.000000100.0000000.0000001124.000000.000000120.0000000.000000由表1可知：軟件經(jīng)過2次迭代后即找到全局最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)最大值為1730.4，變量值分別為：.即每天生產(chǎn)銷售168(kg)和19.2(kg)(不出售,)，可獲凈利潤1730.4元。為此，需用8桶牛奶加工成24(kg)，42桶加工成168(kg)，并將得到的24(kg)全部深加工成19.2(kg)。其中，“Reduced Cost”表示最優(yōu)單純形表中判別數(shù)所在行的變量的系數(shù)，表示當(dāng)變量有

28、微小變動(dòng)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)的變化率(最優(yōu)解中變量的此值自動(dòng)為零)。其中基變量的Reduced Cost值應(yīng)為0，對(duì)于非基變量, 相應(yīng)的 Reduced Cost值表示當(dāng)某個(gè)變量 增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)減少的量(max型問題)。(注：min型問題時(shí)表示當(dāng)某個(gè)變量 增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)增加的量)。如上例中：變量(即每天的生產(chǎn)銷售量)對(duì)應(yīng)的Reduced Cost值為0.84，表示當(dāng)非基變量的值從0變?yōu)?#160;1時(shí)(此時(shí)假定其他非基變量保持不變,但為了滿足約束條件，基變量顯然會(huì)發(fā)生變化)，即每天的生產(chǎn)銷售量增加一個(gè)單位

29、時(shí)，最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值z(mì)1730.40.841729.56（元）?！癛ow”是結(jié)果模型的行號(hào)，“Slack or Surplus”的含義為松弛或剩余，也就是限制條件左右兩邊的差值，對(duì)于報(bào)告中“<=”小等式右端減去左端差值稱為Slack(松弛)；對(duì)于模型報(bào)告中“>=”小等式，左端減去右端的差值稱為Surplus(剩余)。如上例中除非負(fù)約束外都屬于松弛，且：第1行松弛變量 =1730.4（模型第一行表示目標(biāo)函數(shù)，所以第二行對(duì)應(yīng)第一個(gè)約束）第2行松弛變量 =0第3行松弛變量 =0 第4行松弛變量 =76 第5行松弛變量 

30、=0第6行松弛變量 =0第7至第12行指非負(fù)約束后的變量值，即實(shí)際上為所求的最優(yōu)解。“Dual Price” 的含義是影子價(jià)格(或?qū)ε純r(jià)格)表示當(dāng)對(duì)應(yīng)約束有微小變動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的變化率。輸出結(jié)果中對(duì)應(yīng)于每一個(gè)約束有一個(gè)影子價(jià)格。若其數(shù)值為p，表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)若增加1個(gè)單位，目標(biāo)函數(shù)將增加p個(gè)單位(max型問題)。顯然，如果在最優(yōu)解處約束正好取等號(hào)(也就是“緊約束”，也稱為有效約束或起作用約束)，影子價(jià)格值才可能不是0。本例中：第2、3、5、6行是緊約束，對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格值為1.58、3.26、22、16，表示當(dāng)緊約束 2)   變?yōu)?#

31、160; 2)   時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值 z1730.4 +1.581731.98。對(duì)第3、5、6行也類似。對(duì)于非緊約束(本例中第4行是非緊約束)，Dual Price的值為0, 表示對(duì)應(yīng)約束中不等式右端項(xiàng)的微小擾動(dòng)不影響目標(biāo)函數(shù)。簡而言之，從上述運(yùn)行結(jié)果報(bào)告中可得：Row 2的松弛值為0，說明第二行的原料約束條件已達(dá)到飽和狀態(tài)(即50桶牛奶全部用完),影子價(jià)格為1.58元，意思是說,若能每增加1桶牛奶，原約束的(即在整理前)(1)式的目標(biāo)利潤增加1.58元。但因左右兩端需同時(shí)乘以12以去分母。因此每增加一桶牛奶的實(shí)際利潤應(yīng)為：1.58&#

32、215;1218.96(元)。所以在問題（1）“若投資15元，可以增加供應(yīng)1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資?”中，顯然18.96>15,因此投資增加牛奶的供應(yīng)量是值得的。Row 3的松弛值也為0，同樣表明勞動(dòng)時(shí)間得到充分的利用的飽和狀態(tài)(480h)，影子價(jià)格為3.26元。即工時(shí)能力每增加1h，在原約束的(2)式的目標(biāo)函數(shù)利潤增加3.26元。但在整理時(shí)式子左右兩端需同時(shí)除以2，因此實(shí)際的目標(biāo)函數(shù)利潤為：3.26÷21.63元。所以在問題（2）“若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，支付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元?”中，每小時(shí)支付給臨時(shí)工的工資每小時(shí)不超過1.63(元)。Row 4的松弛

33、值為76,這表明按最優(yōu)解(X4=0)安排甲類設(shè)備的加工能力時(shí)，每天甲類設(shè)備有76kg的加工能力剩余，實(shí)際加工為：10076=24(kg)。因此單純的增加甲類設(shè)備的加工能力對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值不起作用，所以影子價(jià)格為0。同理可知，在Row 5、Row 6中，分別每增加1kg的，其目標(biāo)函數(shù)利潤分別增加22、16元。靈敏度分析：其實(shí)，在上述Row 2、 Row 3 、Row 5、Row 6中的松弛變量并不是可以任意增加的，其變化的范圍，當(dāng)數(shù)值超過這個(gè)范圍，所求解的模型中的松弛變量和影子價(jià)格就不再準(zhǔn)確了。需要重新建立和求解模型。所以分析得到這個(gè)變化范圍是很必要的，并且稱之為靈敏度分析。即靈敏度分析結(jié)果表

34、示的是最優(yōu)基保持不變的系數(shù)范圍。同樣用上述實(shí)例，運(yùn)用LINGO 11.0中的靈敏度分析功能可以得到表2如下：表2 Ranges in which the basis is unchanged： Objective Coefficient RangesVariableCurrent CoefficientAllowable IncreaseAllowable DecreaseX112.000000.8400000INFINITYX28.0000004.0750001.050000X322.000009.8750001.583333X416.000001.013333INFINITYX5-1.50

35、00007.9000001.266667X6-1.5000000.7600000INFINITYRight-hand Side RangesRowCurrent RHSAllowable IncreaseAllowable Decrease2600.0000120.0000280.00003240.0000126.666740.000004100.0000INFINITY76.0000050.0INFINITY19.2000060.0INFINITY0.070.00.0INFINITY80.0168.0000INFINITY90.019.20000INFINITY100.00.0INFINIT

36、Y110.024.00000INFINITY120.00.0INFINITY其中，上述表格中Current Coefficient表示當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)系數(shù)；Allowable Increase表示允許增加量；Allowable Decrease表示允許減少量；Current RHS表示當(dāng)前右邊常數(shù)項(xiàng)；INFINITY代表該數(shù)值可以無窮大(符號(hào)為，以下都用此符號(hào)代替)。此外，表格的第一部分(Objective Coefficient Ranges)表示目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化范圍。如對(duì)于變量目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許上調(diào)范圍為0.84，允許下調(diào)范圍為，但需要注意的是本例中該目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中至代表的是產(chǎn)品售出后的凈利潤

37、，同樣具有非負(fù)性。因此只要變量目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)在0,12.84范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解保持不變。同理可得至的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化范圍分別為6.95,12.075、20.417,31.875、0,17.013。而 表示的是深加工時(shí)的費(fèi)用，必須是負(fù)數(shù)。這說明當(dāng),四種產(chǎn)品銷售利潤在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，工廠的生產(chǎn)計(jì)劃不需要改變，即改變生產(chǎn)計(jì)劃不能增加工廠的利潤。表格的第二部分(Right-hand Side Ranges)的意思是約束條件右邊常數(shù)的變化范圍。如本表格中的Row 2，這一行表示的是生產(chǎn)原料的約束條件，同上可得其取值范圍為 600280，600120(即320，720)。但需要注意的是該行的“Curr

38、ent RHS”是600，這是原約束(1)式左右兩邊同時(shí)乘以12整理后的模型中的約束值。因此，在（1）問“若投資15元，可以增加供應(yīng)1桶牛奶，應(yīng)否作這項(xiàng)投資？”中，最多每天增加應(yīng)不超過120÷1210(桶)，不然上述生產(chǎn)計(jì)劃模型的不適合，需要重新求解。Row 3表示的是勞動(dòng)時(shí)間的約束條件，由上表可知，其取值范圍是200,366.667。但與Row 2相反，它是原約束(2)式左右兩邊同時(shí)除以2得到的，因此其實(shí)際的取值范圍應(yīng)該是 400，733.334。即在問題（2）中，雇傭臨時(shí)工最多不能超過733.334480253.334(h)。同理，Row 4的取值范圍是24，)。以上說明在取值范圍內(nèi)影子價(jià)格和縮減成本系數(shù)均小變。3 總結(jié)在企業(yè)制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，線性規(guī)劃已成為企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營過程中決策制定的理論依據(jù)，生產(chǎn)計(jì)劃安排是否合理將直接影響到企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。本文主要分成兩部分來說明述線性規(guī)劃模型與企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃的決策之間的聯(lián)系以及求解方法。其中，第一部分主要介紹了線性規(guī)劃與線性規(guī)劃模型的基本理論以及建立和分析線性規(guī)劃模型基本方法和步驟，為下文提供理論