D13函數(shù)的極限1學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D13函數(shù)的極限函數(shù)的極限1是當(dāng)是當(dāng)它與函數(shù)滿足下列關(guān)系：一、自變量x無(wú)限趨大時(shí)的函數(shù)極限如果存在常數(shù)設(shè)是任一函數(shù)那么稱恒有使得定義3.1（時(shí)的函數(shù)的極限）x + 極限存在或有極限極限存在或有極限.時(shí)時(shí)的極限的極限, 記作記作或或時(shí)時(shí)此時(shí)又稱當(dāng)此時(shí)又稱當(dāng)x + ( )f x第1頁(yè)/共42頁(yè)時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù)當(dāng)當(dāng)?shù)臉O限極限可類似的定義. 不難證明與當(dāng)時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù)abAe+AOxyA幾何解釋幾何解釋:的的直線 y = A 為曲線的水平漸近線 .第2頁(yè)/共42頁(yè)Oxy直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .當(dāng)時(shí), 有,00,M當(dāng)時(shí), 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例

2、如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，Oxy第3頁(yè)/共42頁(yè)證證:故取當(dāng) 時(shí) , 就有因此1lim sin0.xx?=第4頁(yè)/共42頁(yè)1. 時(shí)函數(shù)極限的定義時(shí)函數(shù)極限的定義引例引例. 測(cè)量正方形面積.面積為A )邊長(zhǎng)為(真值:邊長(zhǎng)面積直接觀測(cè)值間接觀測(cè)值任給精度 ,要求確定直接觀測(cè)值精度 :0 xA二、自變量趨于有限時(shí)函數(shù)的極限 第5頁(yè)/共42頁(yè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)時(shí), 有則稱常數(shù) A 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作AA幾何解釋幾何解釋:Ax0 xy)(xfy 即,0,0當(dāng)時(shí), 有Axfxx)(lim0第6頁(yè)/共42頁(yè)證證:欲使,0取則當(dāng)時(shí), 就有因此只要224lim4.2xxx-=-第

3、7頁(yè)/共42頁(yè)證證:則限制021,x-因此，只要2,12xe-min1,12 ,de=取且即212 ,xe-021.x-則當(dāng)時(shí)，02xd-$ 則對(duì)于使得00 xx時(shí),恒有當(dāng)( ).f xae-恒有,N$蜰使得(),nf xae- 0( ).f xae-?使得0(, ),xU xd$ ?都取1(),nnnd+=蜰則,n 蜰0(,),nnxU xd$?0().nf xae-?都使得不成立,假設(shè)0lim( )xxf xa=0,lim,nnnxxx=lim()nnf xa=數(shù)列但是卻不成立.0()U x因此就得到n0,nd由于當(dāng)時(shí)中的一個(gè)這與已知條件相矛盾，故必有0lim( ).xxf xa=第11頁(yè)

4、/共42頁(yè)定理定理3.2 設(shè)則(1) 唯一性唯一性. ( )f x時(shí)，當(dāng)處是局部有界的，即在的極限是唯一的.(2) 局部有界性局部有界性.使得( )f x ()nf x又有證明證明 (1)用歸并原理. 假設(shè)極限不唯一，若既有任取恒有既收斂于(2) 根據(jù)極限的定義，對(duì)于使得則由歸并原理，數(shù)列a, 又收斂于b， 與數(shù)列極限的唯一性矛盾.從而有恒有部有界.故 f 在處局第12頁(yè)/共42頁(yè)定理定理3.3 若0lim( ),xxf xa=(2) 局部保序性局部保序性.若 使得(3) 夾逼性?shī)A逼性.0,d$ 0(, ),xU xd ?0(, ),xU xd ?0,a0,d$ (1) 局部保號(hào)性局部保號(hào)性.

5、則使得若( )f x都與a 同號(hào). 特別地，若a 0(利用夾逼準(zhǔn)利用夾逼準(zhǔn)證證: 由于由于22222201cos2sin2( ),xxxx-=所以所以0lim(1cos )0,xx-=則得則得為使為使1,xee-只要只要ln(1).xe+取取ln(1),de=+時(shí)，就有時(shí)，就有則當(dāng)則當(dāng)0 xd使得注意到已知條件：都有01min , ,dd d=取恒有0(, ),xU xd 0( ),ug xu=則0,0,eh $ ( ).f uae-故對(duì)上式中的即0(, ),uU uh有00,uuh-$+ 0().f xae-故必由于,x + 又由于 f 單調(diào)增，從而有即( ,)xa+ 使得0,xx存在第35

6、頁(yè)/共42頁(yè)(2) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) f 在在區(qū)間 I上單調(diào)增上單調(diào)增.0(, )xUxh-的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn). 由于 f 單調(diào)增單調(diào)增，所以所以都有都有從而從而 f 在在0(, )Uxh-上有上界，故有上上有上界，故有上定理定理3.7 Cauchy 收斂定理收斂定理類似可證類似可證0lim( )xxf x+也存在也存在.設(shè)設(shè)0 x是是 I 內(nèi)內(nèi)確界確界.其中其中存在的存在的是任一函數(shù)是任一函數(shù), 則則設(shè)設(shè)0:()f U xR0lim( )xxf x充分必要條件是充分必要條件是恒有恒有0,0,ed $ 120,(, ),x xU xd12()(),f xf xe-第36頁(yè)/共42頁(yè)1. 函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):唯一性；思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限存在,2. 設(shè)函數(shù)且存在, 則是否一定有？局部保號(hào)性；局部有界性單調(diào)有界準(zhǔn)則；柯西收斂準(zhǔn)則夾逼性；有理運(yùn)算法則；復(fù)合運(yùn)算法則運(yùn)算法則：3. 函數(shù)收斂準(zhǔn)則：第37頁(yè)/共42頁(yè)3.是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 .否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在 ,與已知條件矛盾.問(wèn)第38頁(yè)/共4