畢業(yè)論文幾類與矩陣的秩有關(guān)的問(wèn)題

1、幾類與矩陣的秩有關(guān)的問(wèn)題several types of issues related to the rank of matrix專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者:指導(dǎo)老師:學(xué)校二 o一本文研究了與矩陣的秩有關(guān)的幾類問(wèn)題，用定理和實(shí)例說(shuō)明了矩陣的秩在向量的 線性關(guān)系；求解線性方程組；判斷空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系；二次型；線性變換等方 面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：矩陣的秩；向量；線性方程組；位置關(guān)系；二次型；線性變換abstractthis article study several types of issues related to the rank of matrix, theorem and the ex

2、amples used the rank of the matrix in the linear relationship between vector, solving linear equations, determine spatial point line surface location relationship, quadratic, linear transformationand other applications.keywords： rank of matrix; vector; linear equations; set relations; quadratic; lin

3、ear transformationand目錄摘要iabstractii0引言11矩陣的秩的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)12矩陣的秩與向量的線性關(guān)系23矩陣的秩與線性方程組的解44矩陣的秩與空間屮的點(diǎn)線而位置關(guān)系75矩陣的秩與二次型106矩陣的秩與線性變換 13參考文獻(xiàn)160引言矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的主要內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)及其它科學(xué)領(lǐng)域屮有著廣泛的應(yīng)用. 在矩陣?yán)碚撳仃嚨闹仁且粋€(gè)重要的概念.它是矩陣的一個(gè)數(shù)量特征，而且是初等變 換下的不變量.本文歸納了矩陣的秩與向量的線性關(guān)系；線性方程組的求解；空間中點(diǎn) 面位置關(guān)系；二次型理；線性變換等問(wèn)題的密切的聯(lián)系.1矩陣的秩的定義及簡(jiǎn)單的公式1.1矩陣的秩的定義定義卩

4、1 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.所謂 矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩.矩陣的行 秩等于矩陣的列秩，并統(tǒng)稱為矩陣的秩.另外，矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高 階數(shù)，這是矩陣的秩的行列式定義.1.2矩陣的秩的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)(1.2.1) 秩(a) = 0,當(dāng)且僅當(dāng)a是零矩陣(1.2.2) 秩(a)=n,當(dāng)且僅當(dāng)iaiho(1.2.3) 設(shè)a是m x n矩陣，則秩(a)wmin(加，町(1.2.5)0、b)(1.2.4) 秩秩 a+秩b(a rlo(1.2.6)設(shè)4, b分別為n x m與加xs矩陣，則秩(ab)wmin秩4,秩b,

5、 n ,s .2矩陣的秩與向量的線性關(guān)系高等代數(shù)屮，判斷向量組的線性相關(guān)性時(shí)，我們的依據(jù)是向量組屮的其屮一個(gè)向 量是否可以由其余的向量線性表出來(lái).這種做法簡(jiǎn)單易懂，但對(duì)一些較為復(fù)雜的這類 問(wèn)題時(shí)解法復(fù)雜，上述方法有一定的局限性.我們叮以用矩陣的秩的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決 這類問(wèn)題首先，有以下的結(jié)論.2.1線性相關(guān)性的判斷定理21設(shè)e pn.令a二匕勺,乞)，其中a是心$矩陣，匕為斤維 列向量，且x = (xpx2,-,xj 貝ijes，*線性相關(guān)o a x=0冇非零解o秩a < s.es，*線性無(wú)關(guān)o a x=0只有零解o秩a = 5.例2.1設(shè)a為斤階方陣，ara2,-,an為斤個(gè)線性無(wú)關(guān)的斤

6、維向量，證明：秩的 充要條件是a a, a a2, , ao”線性無(wú)關(guān).證明 令b=(al9a29 -,afl),那么|fi| 0.先證明必要性 設(shè)秩a”，所以|a|h0.令k、(aa + k2 (aa2) + + kn (aan)=0(2.1.1)用 左乘(2.1.1)式得kxax + k2a2 knan =0.所以k =k2 = = 0.即a ax, a a2, , a %線性無(wú)關(guān).再證明充分性 因?yàn)閍q|, a a2y , a勺線性無(wú)關(guān)，所以aa,aa2,- yaan=ab h0,從而|a|h0,即秩a=n2.2極大線性無(wú)關(guān)組定理2.2（1）（i）:，勺，%，若在（i）中存在廠個(gè)線性無(wú)關(guān)

7、的向量如cr2,-,色，且/0丘（1）都可以由a，冬,，色線性表出，則稱a，冬,，色是 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且稱秩（i） = r.（2）兩個(gè)等價(jià)的的向量具有相同的秩.（3）若（01，02,0加）=（。1，。2,，g$）a，其中a是sxah矩陣,若qs，線 性無(wú)關(guān)，則秩“1，02，0加=秩力.例22設(shè)有向量組（i）=（1,0,2）, a2 = （l ,1,3）, a3=（l,-l,a + 2）（ii ）0 = （l,2,a+ 3）, 02 = （2丄a + 6）, 03 = （2,1,a + 4）.試問(wèn)：當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（【）與（ii）等價(jià)？當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（i ）與（ii） 不等價(jià)？

8、解作初等行變換,有（ess也，02,03）11 ! 122 )=01-1 ! 211<23q + 2 也+ 3g + 6d + 4.02 ! -111、t01-1 ； 211.00a + a-q + 1a-i,（1） 當(dāng)ah-l時(shí),有行列式|印a2 a3 = a + l 0,秩（apa2,a3）=3,故線性方程組 xa 4-x2a2 + x3a3 = p. （i = 1,2,3）均有惟一解.所以伙他，卩3可由向量組（i）線性表示.行列式|01 02 03=6工0,秩（0|,02，03）=3,故ess可由向量組（ii）線性表示. 因此向量組（i）與（ii）等價(jià).102111、（2）當(dāng)a=-

9、1 時(shí)，有（q,&2s/，02，03）t01-1! 211、000!-202丿由于秩(ess"秩(gism丨0|)，線性方程組兀0 +兀2也+兀3冬二0|無(wú)解，故向量0不能由ess線性表示.因此，向量組(i )與(ii)不等價(jià).3矩陣的秩與線性方程組的求解線性方程組問(wèn)題是高等代數(shù)中極其重要的一類問(wèn)題，在解決和討論線性方程組的解 的問(wèn)題時(shí)，我們可以運(yùn)用矩陣的秩的知識(shí)而線性方程組耍解決的問(wèn)題可以歸納為以下 三類問(wèn)題：1. 方程紐是否有解？2. 方程組有解時(shí)，解的個(gè)數(shù)是多少？3. 如何求出解？對(duì)于上述三個(gè)問(wèn)題，無(wú)一不與矩陣的秩有關(guān)，既有下面的定理.3.1齊次線性方程組的求解定理31

10、設(shè)齊次線性方程組+d|2 兀2 + + °"兀” =0，禺 + + avxn = 0,v(3. 1)4"+仏2兀2+ %£ =°系數(shù)矩陣a =(6/,u的秩r(a) = r. k方程組(3.1)的解空間為v.則可以得到下列結(jié)論dim(v) = n-7?(a),這里dim(v)表示方程組(31)解空間的維數(shù).例31求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并寫(xiě)出全部解%! + 2x2 一 七 + 2x4 = 0,v 2x, + 4兀2 + 兀3 + 兀4 = °，x) 2兀2 2兀3 +兀=°解設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為為4,將4用初等行

11、變換化為階梯形矩陣<12-12、q2-12、a =2411->001-1<-1-2-2b000丿因此 秩a=2,基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)=4-2=2所以原方程的同解方程組為兀i + 2兀2 -兀3 + 2兀4 = 0x3 -x4 = 0取兀2 = 1, e =0代入得兀=一2, x3=0得解向量77嚴(yán)(-2丄0,0);取x2 =0,兀4=1代入得兀嚴(yán)一1,兀3=1得解向量72 =(1,0,1,1)所以7厶772為原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 那么方程組的全部解為kg +心2淇中k、人為任意常數(shù).3.2非其次線性方程組的求解定理3.2設(shè)有非齊次線性方程組ax=b(3.2)其屮 a =(x

12、l,x2,.,xj/ ,b = (bl,h2j,.b)y .則冇線性方程組(3.2)有解or(a)=r(a|b),即系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩； 線性方程組(3.2)有唯一解o r(a)= r(ab) =為未知數(shù)的個(gè)數(shù));線性方程組(3.2)有無(wú)窮多組解o/?(a) = r(a|b)v.例32當(dāng)c, d取何值時(shí)，線性方程組兀1 + 兀2 + 尤4 + 兀5 = 1，3x)+ 2x2 + x4 - 3x5 = c,x2 + 2兀3 + 2x4 + £ + 6x5 = 3,5x, +4兀2 +3x3+3x4 -x5 = d.無(wú)解？有解？有解時(shí)，求出i般解.解對(duì)增廣矩陣作一系列初等變換:

13、111 1 11><11 1 1 11、3211-3c0 -1 -2 -2 -6c-3t0 12 2 630 1 2 2 63,5 4 3 3 1d/(0 -1 -2 -2 -6d5/<111111、q11111、00000c012263012263->00000c1°0000d-2/<00000d 2丿從而有:1）當(dāng)cho,或者"2時(shí),r（a）hr（a|b）,故方程組無(wú)解;2）當(dāng)c = 0,且d = 2時(shí)，7?（a）= /?（a|b）= 2</? =5,故方程組有無(wú)窮多組解，ii解中含有n - r =5-2=3個(gè)自由變量;%! =x3+

14、x4+x5-2, 從而有仁一2”2兀性+33）為求出一般解，繼續(xù)對(duì)增廣矩陣施行初等變換，并將c=0, cl =2代入111111、1 0 -1 -1 -5-2、0 12 2 630 1 2 2 63>0 0 0 0 030 0 0 0 00、0 0 0 0 07、0 0 0 0 00/其中"，無(wú)為自由變量，它們可以取任意的實(shí)數(shù)若令=k、+ k* + 5k、一 2兀2 = 2k 2k° 6禺 + 3為所求一般解（其中人人出為任意實(shí)數(shù)）.4矩陣的秩與空間中的點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷空間屮點(diǎn)與點(diǎn)；直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關(guān)系，是代數(shù)知 識(shí)在空間解析幾何上的應(yīng)用，體

15、現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，以下我們用矩陣的秩對(duì)這 兒類關(guān)系作出詳細(xì)的研究.4.1相關(guān)定理定理41設(shè)空間中四個(gè)點(diǎn)門(mén)(兀4= 1,2,3,41111(1)r=4 時(shí),四點(diǎn)異面;(2)廠二3時(shí),四點(diǎn)共而;(3)r=2 時(shí)，四點(diǎn)共線;(4)r=l 吋，四點(diǎn)重合.因?yàn)閍卡=則有證明,故/?二 /?(a)=尺(血)+ 1(1)當(dāng)廠二4吋，/?(短)=3,向量組孫，岳，岳線性無(wú)關(guān)，張成整個(gè)三維空間，所以界面;(2) 當(dāng)一3時(shí)，r(a2)= 2,不妨設(shè)企的前兩行線性無(wú)關(guān)，即向量片心麗線性無(wú)關(guān)，于是該組向量可以將向量岳線性表示，故四點(diǎn)共面，但不共線;(3) 當(dāng)廠2時(shí)，r(a2)= 1,與前面類似分析可得呢，耳可

16、，耳可共線；(4) 當(dāng)廣二1吋，r(a2)= 0,即麗，孫，斤耳二0,四點(diǎn)重合.定理42設(shè)兩空間直線設(shè)炬陣i ajx+ by+ cz+ d = 0, j ax + y + c-)z += 0.l j v+ c3z+ d3= 0,2 ia4x+ *+ %+ d4 = 0.daq矩陣a的秩為r,矩陣3的秩為s,則（1）r二4時(shí)，兩直線異面；（2）r = s=2時(shí)，兩直線重合；（3）r = s=3時(shí)，兩直線相交;（4）r =3, s =2吋，兩直線平行.定理4.3a3x+ b3y+ c3z+ d3 = 0| a.x+ b.y+ cz+ d. = 0,l:i a2x + b2y+ c2z+ d9 =

17、0-9 2 2 g g g i 2 3 b 3 b liila-h-r-rh. g g g of則有（1）當(dāng)7? （a）二7? （b）二3時(shí)，直線厶與平面"和交；特別地，當(dāng)£4 + bxb3 + c© = 0 或者 a2a3 + b2b3 + c2c3 = 0 時(shí),直線 l 與平面垂直;（2）當(dāng)r（a）= 7?（b）=2吋，直線厶在平面上；（3）當(dāng)/?（a）二2, r（b）二3時(shí)，直線與平面平行.證明 聯(lián)立直線厶與平面方程得線性方程組.a, b分別為系數(shù)矩陣和增廣矩陣, 且有 2£ r （可£ 3, r（£?）£ 3.（1）

18、當(dāng)rr（b）=3時(shí)，方程組有唯一解，故直線厶與平面“札（交，當(dāng) a,a3+ b,b3+ c,c3= 0或者+ b2b3 + c2c3 = 0時(shí)，構(gòu)成直線的某一平而法線向量與 平而“的法向量垂直，這時(shí)直線厶與平而垂直；結(jié)論（2）和（3）可類似證明.定理4.4設(shè)平面pt p2的方程分別為a,x+ b,y+ cz+ d = 0嗾 ba.x+ b2y+ c2z+ d2=0.則有（1）當(dāng)7?（a）=2時(shí)，平面刃與卩2相交于一條直線;（2）當(dāng)r（b）=l時(shí)，平面/人與2重合；當(dāng)r（a）=l, r（b）二2時(shí),平面刃與”2平行.4.2定理的應(yīng)用例41用矩陣給出平面上農(nóng)個(gè)點(diǎn)門(mén)（心必）共線的充要條件.解設(shè)直線為

19、y = kx + h幾個(gè)點(diǎn)共線是指線性方程組（把匕b看成未知量） kx、+ b = ”(4. 1.2)8= 0 的位置關(guān)系.kx2+b = y2有解，所以斤個(gè)點(diǎn)pi（xi，y）共線o方程組（4. 1. 2）有解1 x,1 州 >?1'o秩二秩_1兄)x” yft_ 山小嚴(yán)i 兀 + z- 7 = 0 f 3x+ 6y- 3z- 例4.2判斷網(wǎng)直線厶：j宀八和厶2：f宀f- 2x+ y+ ?-7二0 f 2x- y- z解由系數(shù)矩陣21711763811 0進(jìn)行初等變換得a 二11007770a的秩r二3,秩s二2,故兩直線平行.i v+ 7 =（）例4.3判斷直線厶：|與平面“：

20、兀y+込+1=0的位置關(guān)系.解由系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換得則r=2, s=3.即直線乙平行與平而"5矩陣的秩與二次型矩陣的秩與二次型理論有密切的聯(lián)系，我們可以用矩陣的秩的相關(guān)理論來(lái)解決二 次型的問(wèn)題，首先，我們有以下的結(jié)論：5.1復(fù)數(shù)域上二次型的規(guī)范形1復(fù)二次型/（心勺兀戶卩亓+仏時(shí)稱為復(fù)數(shù)域上的規(guī)范性，其中®二1或0 （i二 1, 2,，n ）2任何復(fù)二次型兀ax都可經(jīng)過(guò)非退化線性替換化為規(guī)范形：其中廣二秩a,且規(guī)范形是唯一的.3任何復(fù)對(duì)稱陣a都合同于對(duì)角陣,其中廠二秩a.4兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相等.5.2實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形1實(shí)二次型f(xj,x2,-x

21、n) =6t1ixi2 ?！皩?稱為實(shí)數(shù)域上的規(guī)范形,其中= 1,-1 或0(匸1, 2,n).2慣性定理任何實(shí)二次型經(jīng)過(guò)非退化實(shí)線性替換都可化成標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型中的 正平方項(xiàng)個(gè)數(shù)與負(fù)平方項(xiàng)個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)是不變的，并且若/ (%!,x2,« ) =/?ly12 + + bpyp2 -c,yp+12cqyp+q其中b"0, c.>o(z=l, 2,，p ; 7=1, 2,，q).稱p為正慣性指數(shù)，q為負(fù)慣 性指數(shù)，p-q為符號(hào)差；且秩a = p+q,其屮4為二次型/的矩陣.例5.1求二次型/(x1,x2,-,xn) = x.2+4 兀的秩與符號(hào)差.解設(shè)/(心兀2,心)對(duì)應(yīng)的矩陣

22、為a ,則于是由|2£-a|=(2-1) + 2m_1 (2 一 1) + (n-1)(-2) = (a + l)rt_1 2 -(2n -1)可得a的特征值為所以/(x, a：?,x”)的秩二，/ (西，尤2'x")的符號(hào)差=1 -(斤- 1) = 2-725.3矩陣的秩與二次型的正定設(shè)二次型/(召,勺,£)二兀加，其中a = 4,那么冇以下的結(jié)論：a正定o f的正慣性指數(shù)與秩都等于a負(fù)定o /的負(fù)慣性指數(shù)與秩都等于兀，a半正定o /的正慣性指數(shù)與秩相等.例52設(shè)4為/7階滿秩矩陣，試證明：x (a a) x'是一個(gè)正定二次型，這里 x -(兀,

23、%2證明設(shè)a是滿秩矩陣，令y x ,其中丫二(兒,兒)，貝1 x(a)_1r是非退化線性替換,且x (a a) x二y'二yj+)叮+ 兒2(5. 2. 1)由(5.2. 1)看出，此二次型的正慣性指數(shù)與秩都等于.所以x (a a') x*是止定二次型.例53設(shè)a為加階實(shí)對(duì)稱矩陣，口正定.b為mxn實(shí)矩陣.m為b的轉(zhuǎn)置矩陣. 試證明：b4b為正定矩陣的充分必要條件是秩(fi) = n.證明 先證明充分性 首先(bb)1 =btabvxg/?nxl,xortl秩3二幾，矢口 bxho,而a為正定矩陣，故xt(btab)x =(bx)r a(bx) >0此即刃初為正定矩陣.再

24、證明必要性 用反證法若秩b5,則br = o有非零實(shí)數(shù)解兀°存在，即b x()=0, 但x°ho,由為正加矩陣，知0< x0t (bvab)x() = (bx()t a (bx()(5. 3. 1)另一方而，因?yàn)閎 xo=0,所以(5. 3. 2)(bx0)t a(bx0)由于(5. 3. 1), (5. 3. 2)矛盾,故秩b=n所以brab為正定矩陣的充分必要條件是秩(b)二斤.6矩陣的秩與線性變換線性變換問(wèn)題是高等代數(shù)中的一類重要問(wèn)題，同時(shí)也是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究 對(duì)象.在線性空間中，基于線性空間的一組基，可以線性變換與矩陣的關(guān)系.而矩陣 的秩是矩陣的一個(gè)重要

25、的數(shù)量特征.因此，可以用矩陣的秩來(lái)研究線性變換.6.1矩陣的秩與核的計(jì)算1設(shè)v是p上的維線性空間，b是v的線性變換，則稱集合aaa = o,aev為cr的核，記為十(0)或ker cr2若話爲(wèi),£”為v的一組基,o在基芻禺,£”下的矩陣為人，貝i(i) dim (kercr) = n 一秩 a(ii) 若秩a二心且似二0的基礎(chǔ)解系為x、,x2,x",則ker cr二厶ge，乩),其中纟=(斫4，£)/ (心1,2,/-j且 g，,乩為 ker a的一組基.6.2矩陣的秩與值域的計(jì)算1設(shè)v是p上的維線性空間，b是v的線性變換，則稱集合aaaev為的 值域，

26、記為y v2若£"2,嗎為v的一組基，cr在基£|,02,£”下的矩陣為4,貝ij(i) dim a v 二秩 a(ii) 令人二帆人,")&為人的列向量.若秩a二廠，口&嚴(yán)比,/為a的列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，則 小二厶何。,。)，其中q =(即勺,£)碼() = 1,2,“)且久，%，心為bv的一組基.3 dim (kercr) + dim a v 二dim v -n .例61設(shè)4是”維線性空間v上的線性變換，試證明：秩屮二 是v=a v獷(0).證明 先證明充分性 設(shè)v=avajo),因?yàn)閍2v = a(av)av且v/?g av ,存在a ev f使0 = /kz于是可設(shè)a = ai+a2,其中 ax e av,a2 e a-1(0)則(3 = aa = aal +aa2 = aax = a(at>) = a23 e a2v.此即avo?12v由(6. 1. 1), (6. 1.2)即證明 av=a2v 故秩 a=dim a v =dim a2v =秩 a?再證明必要性設(shè)秩a二秩川