高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題練習(xí)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高三專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數(shù)在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D若D 恒成立則有(10

2、)若對、，恒成立，則.若對，使得,則.若對，使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)幾何意義：角度一求切線方程1(2014·洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則過曲線yx3上一點(diǎn)P(a，b)的切線方程為()A3xy20 B4x3y10C3xy20或3x4y10 D3xy20或4x3y10解析：選A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin

3、 2x2cos 2x，則af32sin2cos1.由yx3得y3x2，過曲線yx3上一點(diǎn)P(a，b)的切線的斜率k3a23×123.又ba3，則b1，所以切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，故過曲線yx3上的點(diǎn)P的切線方程為y13(x1)，即3xy20.角度二求切點(diǎn)坐標(biāo)2(2013·遼寧五校第二次聯(lián)考)曲線y3ln xx2在點(diǎn)P0處的切線方程為4xy10，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：選C由題意知y14，解得x1，此時(shí)4×1y10，解得y3，點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)角度三求參數(shù)的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m&l

4、t;0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m等于()A1 B3C4 D2解析：選Df(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，于是解得m2，故選D.考點(diǎn)二：判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。典例1已知函數(shù)f(x)x2ex試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明解：f(x)x2ex，f(x)在R上單調(diào)遞減，f(x)2xex，只要證明f(x)0恒成立即可設(shè)g(x)f(x)2xex，則g(x)2ex，當(dāng)xln

5、2時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(，ln 2)時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x(ln 2，)時(shí)，g(x)<0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 22<0，f(x)<0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞減典例2(2012·北京高考改編)已知函數(shù)f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a24b時(shí)，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，由已知可得解得ab3.(2)令F(x)f(x)g(x)x3ax2x1，F(xiàn)(x)3x22ax，令F(x)0，

6、得x1，x2，a>0，x1<x2，由F(x)>0得，x<或x>；由F(x)<0得，<x<.單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間為.針對訓(xùn)練(2013·重慶高考)設(shè)f(x) a(x5)26ln x，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：(1)因?yàn)閒(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y16a(68a)·(x1)，由點(diǎn)(0,6)在切線上

7、可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x>0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln 2，在x3處取得極小值f(3)26ln 3.考點(diǎn)三：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍典例(2014·山西診斷)已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)

8、間(1，)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln xx2x，其定義域是(0，)，f(x)2x1，令f(x)0，即0，解得x或x1.x>0，x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減(2)顯然函數(shù)f(x)ln xa2x2ax的定義域?yàn)?0，)，f(x)2a2xa.當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，不合題意當(dāng)a>0時(shí)，f(x)0(x>0)等價(jià)于(2ax1)·(ax1)0(x>0)，即x，此時(shí)f(x)的

9、單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a1.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)0(x>0)等價(jià)于(2ax1)·(ax1)0(x>0)，即x，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得a. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)針對訓(xùn)練(2014·荊州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a>0)，當(dāng)x

10、(，0)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2<0成立，即x(2，1)時(shí)，a<max2，當(dāng)且僅當(dāng)“x”即x時(shí)等號成立，所以滿足要求的a的取值范圍是(，2)考點(diǎn)四：用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題典例(2013·福建高考節(jié)選)已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解(

11、1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)<0；x(ln a，)，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值

12、 典例已知函數(shù)f(x)ln xax(aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x>0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a>0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>時(shí)，f(x)<0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.當(dāng)2，即0<a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)a.當(dāng)1&

13、lt;<2，即<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a，當(dāng)<a<ln 2時(shí)，最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a<1時(shí)，最小值為f(2)ln 22a.綜上可知，當(dāng)0<a<ln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)aln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是ln 22a.針對訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)aln xbx2(x>0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，當(dāng)xe

14、時(shí)，令f(x)>0得x<1；令f(x)<0，得1<xe，f(x)在上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減，f(x)maxf(1).考點(diǎn)六：用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值、最值問題典例(2013·北京豐臺高三期末)已知函數(shù)f(x)(a>0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值解(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因?yàn)閑x>0，所以yf(x)的零點(diǎn)就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點(diǎn)，且f(x)與g(x)符號相同又因?yàn)閍>0，所以3<x<0時(shí)，

15、g(x)>0，即f(x)>0，當(dāng)x<3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)減區(qū)間是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點(diǎn)，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因?yàn)閒(x)的單調(diào)增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)減區(qū)間是(，3)，(0，)，所以f(0)5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e5>5f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.針對訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，曲線yf(x)在點(diǎn)x1處的切線為l

16、：3xy10，若x時(shí)，yf(x)有極值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.當(dāng)x1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2ab0，當(dāng)x時(shí)，yf(x)有極值，則f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以f(1)4.所以1abc4.所以c5.(2)由(1)，可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解之，得x12，x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值為13，最小

17、值為.考點(diǎn)七：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題及參數(shù)求解典例(2013·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)2kex(x2)

18、2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.()若1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，x1)上單調(diào)遞減，在(x1，)上單調(diào)遞增，故F(x)在2，)上的最小值為F(x1)而F(x1)2x12x4x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)上單調(diào)遞增，而F(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立()若ke2，則F(2)2ke222e2&

19、#183;(ke2)0.從而當(dāng)x2時(shí)，f(x)kg(x)不可能恒成立綜上，k的取值范圍是1，e2針對訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)x2exxex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x2,2時(shí)，不等式f(x)>m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若x0，則f(x)0；若x<0，則1ex>0，所以f(x)<0；若x>0，則1ex<0，所以f(x)<0.f(x)在(，)上為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上單調(diào)遞減故f(x)minf(2)2e2，m<2e2時(shí)，不等式f(x)>m恒成立故m的取值范圍為