2018年秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3拋物線2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案

1、 232 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握拋物線的幾何性質(zhì).(重點)2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及 相關(guān)問題.(重點)3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題. (難點) 自主預(yù)習(xí)探新知 1.拋物線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 2 y = 2px(p 0) y2=- 2px( p 0) 2 x = 2py(p 0) x2=- 2py(p 0) 圖形 i II yr w 卜 iit1 性 質(zhì) 焦占 八、八、 (2,0 ) (-p 0) 1 ( ,-另 準(zhǔn)線 p x =-2 x=2 p y 一 2 y-2 范圍 x0, y R xW0, y R y0, x R y0)的焦點F,

2、與拋物線交于 A(xi, yi)、0X2, y2)兩點，由拋 p p 物線的定義知，| AF = xi + 2，I BF = X2+ 2，故|AE| = xi+ X2+ p. 3直線與拋物線的位置關(guān)系 直線y = kx + b與拋物線y= 2px( p0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組 f y= kx + b,號丄 2 2 2 f 2 rN 解的個數(shù)，即二次方程 kx+ 2( kb - p)x+ b = 0 解的個數(shù). y = 2px 當(dāng)k工0時，若 0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若 = 0 時，直線與拋物 線有一個公共點；若 0, b0)的兩條漸近線與拋物線 y2= 2px(p0)的

3、準(zhǔn)線分別交 a b -Tk 于A, B兩點，0為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為 2,A AOB的面積為;3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn) 方程. : 護，交點橫坐標(biāo)為土 1 ,則 拋物線過點(1 , - 3)或(1, -罔，設(shè)拋物線方程為 y2= 2px或y2= 2px( p0) 則 2p= 3，從而拋物線方程為 y2= 3x或y2= 3x. 答案 y2= 3x 或 y2= 3x A(Xi, yi) , B(X2, y2)兩點，若 xi + X2= 6, A. 10 B C. D 3. | AE| = Xi + X2+ p= 6 + 2= 8. 2 已知過拋物線y= 4x的焦點F的直線交該拋物線于 A, B 兩

4、點，| AF| = 2，則 | BF| = 【導(dǎo)學(xué)號：97792102】 合作探究攻 J r 1 解(1)根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標(biāo)為土 (1，-. 3)或( =4，解得 - =3, a ，B - P， 3p 2 ， 難 3 c a2 + b2 (2)由已知得- =2,所以一 a a 即漸近線方程為y= . 3x. 而拋物線準(zhǔn)線方程為 x = pp,4 從而 AOB勺面積為壓.2=W，可得p = 2.因為拋物線開口向右，所以其標(biāo)準(zhǔn)方 程為y2 = 4x. 規(guī)律方法拋物線各元素間的關(guān)系 拋物線的焦點始終在對稱軸上， 頂點就是拋物線與對稱軸的交點， 準(zhǔn)線始終與對稱軸垂 直，準(zhǔn)線與對稱軸

5、的交點和焦點關(guān)于頂點對稱， 頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線的距離為 P 2. 跟蹤訓(xùn)練 1 邊長為 1 的等邊三角形 AOB O為坐標(biāo)原點，ABL x軸，以O(shè)為頂點且過 A B的拋 物線方程是( ) A. y2=fx c y2= x D y2= fx C 設(shè)拋物線方程為y2= ax(a= 0).又A (取點A在x軸上方)，則有 4 = a,解得a= f，所以拋物線方程為 y2= fx.故選 C. 6 6 (2)已知過拋物線y2= 2px(p0)的焦點，斜率為 2 2 的直線交拋物線于 A(xi, yi) , B(X2, y2)( xi0)的焦點時，弦長| AB = xi + X2 + p. (

6、3) “中點弦”問題解題策略兩法6 綽一 獰葡!交點的坐掾牝入掀帥境的方程. 作至由 4 舟廠嚴求斜再由點斜戎 曲 1 設(shè)宜圾方程，并與拋物圾時方程聯(lián)立. /CL 涓去玄(戒門得關(guān)于的一元 二次方程，由根與系藪的關(guān)系.得 根之和坤為中點飆(或橫)坐標(biāo)的a 從而求屛串 跟蹤訓(xùn)練 2. (1)已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在 x軸上，直線y= x與拋物線C交于A B兩點若P(2,2)為AB的中點，則拋物線 C的方程為 _ . 2 2 y = 4x 設(shè)拋物線 C的方程為 y= 2px(p0) , A(xi, yi), 0X2, y2). y2 yi 又x x = i， yi+ y2= 4,所以

7、2p= 4. X2 Xi 因此拋物線C的方程為y2= 4x. (2)直線l過拋物線y2 = 4x的焦點，與拋物線交于 A, B兩點，若| AB| = 8，求直線I的 方程 【導(dǎo)學(xué)號：97792103】 解因為拋物線y2= 4x的焦點坐標(biāo)為(i,0), 若直線I與x軸垂直，則直線I的方程為x= i, 此時|AB = 4，不合題意, 所以可設(shè)所求直線I的方程為y= k(x i), 所以所求直線I的方程為x + y i= 0 或x y i = 0. 1*3! 3( . 直線與拋物線的位置關(guān)系 仞 已知直線y = kx k及拋物線y2= 2px(p0)，則( ) y2 = 2pxi 則 y2 = 2p

8、x2 ，整理得 y2- yi 2p X2 xi yi + y2 由宀1， y = 4x, 得 k2x2 (2k2+ 4)x+ k2= 0, 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 Xi+ X2 = 2k2 + 4 又AB過焦點，由拋物線的定義可知 一 2k2+ 4 - | AB = Xi + X2 + p= 2 + 2= 8, k 所以 2k2 + 4 =6,解得 k= i. 7 A. 直線與拋物線有一個公共點 B. 直線與拋物線有兩個公共點8 C.直線與拋物線有一個或兩個公共點 D.直線與拋物線可能沒有公共點 (2)已知拋物線的方程為 y2= 4x,直線I過定點P( 2,1)，斜率為k, k為何值時，直 線

9、I與拋物線y2= 4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？ 思路探究(1)直線y= kx k過定點(1,0)，根據(jù)定點與拋物線的位置關(guān)系判斷. (2)直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)“ ”的正負判斷. 解析(1)直線方程可化為y = k(x 1)，因此直線恒過定點 y2 = 2px( p0)的內(nèi)部，因此直線與拋物線有一個或兩個公共點，故選 (1,0)，點(1,0)在拋物線 C. 答案C 由題意，直線l的方程為y 1= k(x+ 2) y1=k x+2 , C 2 , (*) it J y = 4x 由方程組 2 可得 ky 4y + 4(2 k+ 1) = 0. I：當(dāng)k = 0 時，由方程得

10、y = 1, 把 y = 1 代入 y2= 4x,得 x= 1, 這時，直線I與拋物線只有一個公共點 n：當(dāng)k工0時，方程的判別式為 2 = 16(2 k + k 1). a. 由= 0, 即卩 2k2+ k 1 = 0，解得k = 1 或k = 1，所以方程只有一個解，從而方 程組(*) V T 只有一個解，這時直線 I與拋物線只有一個公共點. b. 2 1 由 0,即 2k + k 10,解得一 1k-, 2 于是，當(dāng)1k2，且 心0時，方程有兩個解, 疋， 從而方程組(*)有兩個解，這時直線I與拋物線有兩個公共點. C.由 0,解得 k2.于 1 是k2 時，方程沒有實 數(shù)解，從而方程組

11、(*)沒有解，直線I與拋物線無公共點. 1 綜上，當(dāng)k = 0 或k = 1 或k= 2 時，直線I與拋物線只有一個公共點. 當(dāng)1k1，且k0時直線I與拋物線有兩個公共點. 9 1 當(dāng)k2 時，直線I與拋物線無公共點. 規(guī)律方法 直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法 設(shè)直線| : y= kx + b,拋物線：y2= 2px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得： 2 2 2 k x + (2 kb 2p)x + b = 0. (1) 若k2 = 0,此時直線與拋物線有一個交點， 該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸 重合 (2) 若k2豐0,當(dāng) 0 時，直線與拋物線相交，有兩個交點； 當(dāng) = 0

12、 時，直線與拋物線相切，有一個交點； ，當(dāng) 0)，則由點P(1,2)在拋物線上，得 22 =2px 1,解得 p= 2, 則點 A到直線 4x + 3y 8 = 0 的距離 d = 2 C 2) 3t3 當(dāng) t = I 時, =13t 耳+ 20=3t - 5 3 3 5 d有最小值 3. 法二：如圖，設(shè)與直線 4x+ 3y 8= 0 平行的拋物線的切線方程 為 4x + + = f 2 .y= x， 由* 4x+ 3y + n= 0, 消去 y 得 2 = , 4 = 16+ 12m= 0, n= 3. 3 最20 亍 4 5 = 3. VL x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點F(1,2) ,

13、 A(X1, yi) , B(X2, y2)均在拋物線上. AB的斜率為定值. 【導(dǎo)學(xué)號：97792104】 如圖 2-3-5 所示，拋物線關(guān)于 圖 2-3-5 12 故所求拋物線的方程是 y2=4x，準(zhǔn)線方程是x= 1. 證明：因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，所以kFA=- kpB，即汙=-財13 4 yi y2 ，得 yi + y2= 4,故直線 AB的斜率 kAB= x-X y2 十 2 Xi X2 母題探究：1.(變條件) 若本例題改為：如圖 2-3-6，已知直線l : y= 2x 4 交拋物線y2= 4x于A, B兩點，試 在拋物線AOB段曲線上求一點 P,使APAB的面積最大

14、，并求出這個最大面積.如何求解? 2.(變條件)若本例改為：在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)點F(1,0)，直線l : x = 1, 點P在直線I上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQL FR PQL I. (i)求動點Q的軌跡方程; (2)記Q的軌跡為曲線 E,過點F作兩條互相垂直的直線交曲線 E的弦為AB CD設(shè)AB CD的中點分別為 M N求證：直線 MN過定點(3,0).如何求解? 又A(xi, yi) , B(X2, y2)均在拋物線上，所以 X1=普, y2 X2= 4， 從而有 yi 2 y2 2 2 - 5-1 4 yi + 2 y= 2x 4, x= 4, 亠 x= 1, 2

15、解得 或 y = 4x, iy= 4 y 2 由圖可知，A(4,4) , B(1 , 2), 則 | AB = 3 5. 設(shè)P(X0, y)為拋物線 |2x y0 4| 1 d= 5 = 5 AOB這段曲線上一點，d為點P到直線AB的距離，則 2 A 2 y04 | 1 2 嘉(y0-1)- 9|. 2 2yo4,A(yo 1) 90) x= my+ 1, (2)證明：設(shè) A(xi, yi)，巳 X2, y2), M( XM, y”),直線 AB x= my+1( m 0)，則 * 2 y = 4x, 2 yi + y2 2 2 消去 x 得 y 4my- 4= 0.于是，有 yM= 產(chǎn)=2r

16、r,XM= m- y”+ 1= 2m+ 1,即 M2 m+ 1,2 n).同 2 ，萬程為 y 2m=-2 (x 2m m1 m1 16 當(dāng)堂達標(biāo)固雙基 1.頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為 3 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) x2= 3y A. C. B. y2= 6 x 2 , D. x = 6 y 由題意知拋物線方程為 X2= 2 py,且 2= 3，即p = 6，因此拋物線方程為 x2= 12y. 2. 若拋物線y2= 2x上有兩點 A B且AB垂直于x軸，若|AB = 2 .2，則拋物線的焦點 到直線AB的距離為( 1 A2 1 C6 1 D 8 A 線段AB所在的直線的

17、方程為 x= 1，拋物線的焦點坐標(biāo)為 1 0，則焦點到直線AB m 嚴m(xù) 2 1)，即mx+ (1 m)y 3m= 0.顯然，不論為何值，(3,0)均滿足方程，所以直線 MN過定 m點(3,0). 規(guī)律方法應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧 (1) 拋物線的中點弦問題用點差法較簡便. (2) 軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對 稱軸所在直線斜率的關(guān)系. (3) 在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法 很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化. 圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問

18、題中的幾何量，通過 運算找到定點、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點、定值. 理, +1，- m. 因此，直線MN的斜率kMN= - 加+1 2 2m+- m 17 1 1 的距離為 1 2= 2 3. _ 已知AB是過拋物線 2x2= y的焦點的弦，若|AB = 4,則AB的中點的縱坐標(biāo)是 _ 15 沁 8 設(shè) A(X1，y1)，B(X2，y2)， 2 1 由拋物線 2x = y，可得p = 4, AB = y1 + y2+ p = 4, 1 15 二屮 + y2 = 4 ;= 丁， 4 4 V1 + V2 15 故 AB 的中點的縱坐標(biāo)是 J=. 2 8 4. _ 若直線x y= 2 與拋物線y2= 4x交于A, B兩點，貝懺段AB的中點坐標(biāo)是 _ 【導(dǎo)學(xué)號：97792105】 (4,2)由 F 心得 x2-8X+ 4 = 0, 18 y = 4x 設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2)，則 X1+ X2= 8, y1 + y2=