2018版高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2第2課時(shí)排列的應(yīng)用學(xué)案蘇教版選修2-3

1、第 2 課時(shí)排列的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解 2 掌握幾種有限制條件的排列， 能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.ET知識(shí)梳理-知識(shí)點(diǎn)排列及其應(yīng)用i.排列數(shù)公式m“An=_ (n,*mEN ,me n)At=_ =_ (叫做n的階乘).另外，我們規(guī)定 0! =_ 2應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題的基本步驟題型探究類型一無限制條件的排列問題例 1 (1)有 7 本不同的書，從中選 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法?有 7 種不同的書，要買 3 本送給 3 名同學(xué)，每人各 1 本，共有多少種不同的送法？反思與感悟 典型的排列問題，用排列

2、數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù).排列的概念很清楚，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”.即在排列問 題中-2 -元素不能重復(fù)選取，而在用分步計(jì)數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復(fù)選取.跟蹤訓(xùn)練 1 (1)有 5 個(gè)不同的科研小課題， 從中選 3 個(gè)由高二(6)班的 3 個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行 研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法？(2)有 5 個(gè)不同的科研小課題，高二(6)班的 3 個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一個(gè)課題， 共有多少種不同的報(bào)名方法？類型二排隊(duì)問題命題角度 1 元素“相鄰”與“不相鄰”問題例 23 名男生，4 名女生，這 7 個(gè)人站成一排在下列情

3、況下，各有多少種不同的站法.(1) 男、女各站在一起；(2) 男生必須排在一起；(3) 男生不能排在一起；(4) 男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.-3 -反思與感悟 處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則元素相 鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排 列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將 不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素. 跟蹤訓(xùn)練 2 排一張有 5 個(gè)歌唱節(jié)目和 4 個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌唱節(jié)目

4、與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？命題角度 2 定序問題例 37 人站成一排.(1)甲必須在乙的左邊(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？甲、乙、丙三人自左向右的順序不變(不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法?-4 -反思與感悟 這類問題的解法是采用分類法.n個(gè)不同元素的全排列有 啟種排法，m個(gè)不同元 素的全排列有 A 種排法因此 An種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有 A 類，而且每一分類 的排法數(shù)是一樣的當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有 A 種排法.跟蹤訓(xùn)練 37 名師生排成一排照相，其中老師 1 人，女生 2 人，男生 4 人，若 4 名男生的身高都不等，按從高到低的順序站，有多少種不

5、同的站法？命題角度 3 特殊元素與特殊位置問題 例 4 從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的 7 名同學(xué)中選出 5 名同學(xué)排成一列，求解下列問題:(1) 甲不在首位的排法有多少種？(2) 甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？(3) 甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種?(4) 甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種?- 5 -反思與感悟 “在”與“不在”排列問題解題原則及方法(1) 原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入 手，原則是誰特殊誰優(yōu)先(2) 方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置 入手時(shí)，先安排特殊位置，

6、再安排其他位置提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮，都要貫徹到底不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考 慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤跟蹤訓(xùn)練 4 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第 一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法？-6 -類型三數(shù)字排列問題例 5 用 0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字?（1）六位奇數(shù)；（2）個(gè)位數(shù)字不是 5 的六位數(shù)；不大于 4 310 的四位偶數(shù).反思與感悟數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析，找出解題的思路.常見附加條件有：

7、（1）首位不能為 0; （2）有無重復(fù)數(shù)字；（3）奇偶數(shù)；（4）某數(shù)的倍數(shù)；（5）大于（或小于）某數(shù).跟蹤訓(xùn)練 5 用 0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）能被 5 整除的五位數(shù)；能被 3 整除的五位數(shù)；若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列an，則 240 135 是第幾項(xiàng).-7 -當(dāng)堂訓(xùn)練1. 6 位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有_ 種.2._3 名男生和 3 名女生排成一排，男生不相鄰的排法有 _種.3 用數(shù)字 1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 _.4. 從 6 名短跑運(yùn)動(dòng)員中選

8、出 4 人參加 4X100 m 接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有種參賽方案.5.用數(shù)字 0,1,2,3,4,5_ 可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比 20 000 大的五位偶數(shù)共 _ 個(gè).廠規(guī)律與方法 - 求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊兀素或特殊位置捆綁法把相鄰兀素看作一個(gè)整體與其他兀素一起排列，冋時(shí)注意捆綁兀素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的兀素的排列，再將不相鄰的兀素插在前面兀 素排列的空檔中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法合案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)n!1.

9、n（n1）（n2）（n1）n（n1） （n2）2In!1題型探究例 1 解（1）從 7 本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué)，相當(dāng)于從 7 個(gè)元素中任取 3 個(gè)元素的 一個(gè)排列，-8 -所以共有 A?= 7X6X5= 210（種）不同的送法.（2）從 7 種不同的書中買 3 本書，這 3 本書并不要求都不相同，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 7X7X7=343（種）不同的送法.跟蹤訓(xùn)練 1 解（1）從 5 個(gè)不同的課題中選出3 個(gè)，由興趣小組進(jìn)行研究，對(duì)應(yīng)于從5 個(gè)不同元素中取出 3 個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同的安排方法有A5= 5X4X3= 60（種）.（2）由題意知 3 個(gè)興趣小組可能報(bào)同一科研

10、課題，因此元素可以重復(fù)，不是排列問題.由于每個(gè)興趣小組都有5 種不同的選擇，且 3 個(gè)小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步計(jì)數(shù)原理得共有 5X5X5= 125（種）報(bào)名方法.例 2 /解（1）（相鄰問題捆綁法）男生必須站在一起，即把 3 名男生進(jìn)行全排列，有足種排法，女生必須站在一起，即把4 名女生進(jìn)行全排列，有 A4種排法，全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有盤種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有 A3A42= 288（種）排法.（2）（捆綁法）把所有男生看作一個(gè)元素，與4 名女生組成 5 個(gè)元素全排列，故有 A A；= 720（種）不同的排法.（3）（不相鄰問題插空法）先排女生有 A4種排法，把

11、 3 名男生安排在 4 名女生隔成的 5 個(gè)空中，有種排法，故有A4A5=1 440（種）不同的排法.（4）先排男生有 A3種排法.讓女生插空，有AA4=144（種）不同的排法.跟蹤訓(xùn)練 2 解（1）先排歌唱節(jié)目有 A5種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有 6 個(gè)空位，從中選 4 個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有 A 種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有AA4= 43 200（種）方法.（2）先排舞蹈節(jié)目有 A4種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5 個(gè)空位，恰好供 5 個(gè)歌唱節(jié)目放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有A；A5= 2 880（種）方法.A例 3 解（1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種

12、數(shù)的一半，故有A2= 2 520（種）不同的排法. 甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的AA故有A=840（種）不同的排法.跟蹤訓(xùn)練 3 解 7 人全排列中，4 名男生不考慮身高順序的站法有A4種，而由高到低有從左、A7、到右和從右到左的不冋的站法，所以共有2 AJ=420（種）不冋的站法.例 4 解（1）方法一 把同學(xué)作為研究對(duì)象.第一類：不含甲，此時(shí)只需從甲以外的其他6 名同學(xué)中取出 5 名放在 5 個(gè)位置上，有 Al種.-9 -第二類：含有甲，甲不在首位：先從4 個(gè)位置中選出 1 個(gè)放甲，再從甲以外的 6 名同學(xué)中選出 4 名排在沒有甲的

13、位置上，有 A4種排法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，含有甲時(shí)共有4XA4種排法.由分類計(jì)數(shù)原理，共有 AU4XA4= 2 160（種）排法.方法二把位置作為研究對(duì)象.第一步，從甲以外的 6 名同學(xué)中選 1 名排在首位，有 足種方法.第二步，從占據(jù)首位以外的6 名同學(xué)中選 4 名排在除首位以外的其他4 個(gè)位置上，有 A4種方法.由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有A62 160（種）排法.方法三（間接法）即先不考慮限制條件，從7 名同學(xué)中選出 5 名進(jìn)行排列，然后把不滿足條件的排列去掉.不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有A5種；甲在首位的情況有 A 種，所以符合要求的排法有 A7- A= 2 160（種）.（2）

14、把位置作為研究對(duì)象，先滿足特殊位置.第一步，從甲以外的 6 名同學(xué)中選 2 名排在首末 2 個(gè)位置上，有 足種方法.第二步，從未排上的 5 名同學(xué)中選出 3 名排在中間 3 個(gè)位置上，有 A3種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，有AbA5= 1 800（種）方法.（3）把位置作為研究對(duì)象.第一步，從甲、乙以外的 5 名同學(xué)中選 2 名排在首末 2 個(gè)位置，有 A2種方法.第二步，從未排上的 5 名同學(xué)中選出 3 名排在中間 3 個(gè)位置上，有 A3種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有AAl= 1 200（種）方法.用間接法.總的可能情況是 A；種，減去甲在首位的 A6種，再減去乙在末位的 A6種.注意到甲在首位

15、同時(shí)乙在末位的情況被減去了兩次，所以還需補(bǔ)回一次A1種，所以共有 A7-2A6+A= 1 860（種）排法.跟蹤訓(xùn)練 4 解 6 門課總的排法是AL其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有A5種排法；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有A5種排法，但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，這種情況有 A4種排法因此符合條件的排法有A 2A5+A4=504（種）.例 5 解（1）第一步，排個(gè)位，有 入種排法；第二步，排十萬位，有A4種排法；第三步，排其他位，有A4種排法.故共有AAA4=288（個(gè)）六位奇數(shù).（2）方法一（直接法）十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0 與不排 0 而有所不同，因此需分兩類.第

16、一類，當(dāng)個(gè)位排 0 時(shí)，有 A5個(gè)；第二類，當(dāng)個(gè)位不排 0 時(shí)，有 A&A：個(gè).-10 -故符合題意的六位數(shù)共有A+AJAA：=504（個(gè)）.方法二（排除法）0 在十萬位和 5 在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù)，這兩類排列中都含有 0 在十萬位和5 在個(gè)位的情況.故符合題意的六位數(shù)共有A 2A5+A4=504（個(gè)）.（3）分三種情況，具體如下：1當(dāng)千位上排 1,3 時(shí)，有 A2朋個(gè).2當(dāng)千位上排 2 時(shí)，有AA2個(gè).3當(dāng)千位上排 4 時(shí)，形如 4 0X2,4 2X0的各有?足個(gè)；形如 4 1XX的有 AA 個(gè)；形如 4 3XX的只有 4 310 和 4 302 這兩個(gè)數(shù).故共有 AAA4+A2AJ+ 2 入+AJA1+ 2= 110（ 個(gè)）.跟蹤訓(xùn)練 5 解（1）個(gè)位上的數(shù)字必須是 0 或 5.個(gè)位上是 0，有 A 個(gè)；個(gè)位上是 5,若不含 0, 則有A4個(gè)；若含 0,但 0 不作首位，則 0 的位置有A種排法，其余各位有A4種排法，故共有 A5+ AS+A3A3=216（個(gè)）能被 5 整除的五