平行四邊形知識點與經(jīng)典例題2

1、 平行四邊形一、 基礎知識平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。有一個角是直角的平行四邊形是矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。性質(zhì)1、對邊平行且相等。2、對角相等，鄰角互補。3、對角線互相平分1、四個角都是直角。2、對角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相等3、兩條對角線相等判定1、定義：2、判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（2）

2、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形。（2）有三個角是直角的四邊形是矩形。1、定義：2、判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再證一個角是直角。1、定義：先判斷是梯形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。3、對角線相等的梯形是等腰梯形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形二、1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形

3、的第三邊，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題（圖1）CABDEF例1、如圖1，平行四邊形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F. 求證：BAE =DCF.OABCDEF（圖2）例2、如圖2，矩形ABCD中，AC及BD交于O點，BEAC于E，CFBD于F.求證：BE = CF. 例3、已知：如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，點E、F分別在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求證：BEC =CFB.ABCD圖3EF例4、如圖6，E、F分別是 平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點

4、，且AE = CF.ADBCEF(圖6)MN（1）求證：ABECDF；（2）若M、N分別是BE、DF的中點，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論. 例5、如圖7 的對角線AC的垂直平分線及邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).，求證：四邊形AFCE是菱形.圖7ABCDEFO例6、如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.（1）如果，則DECBFA（請你填上一個能使結(jié)論成立的一個條件）；（2）證明你的結(jié)論.圖8BCDAEFABCD圖9EGOF例7、如圖9，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，對角線AC和BD相交于點O，E是BC

5、邊上一個動點（點E不及B、C兩點重合），EFBD交AC于點F，EGAC交BD于點C.（1）求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；（2）請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明.備用圖（1）備用圖（2）圖13例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設計兩種方案（平分方案畫在備用圖13(1)、(2)上），并給予合理的解釋.四、練習一、選擇題1.下列命題正確的是（ ）(A)、一組對邊相等，另一組對邊平行的

6、四邊形一定是平行四邊形 (B)、對角線相等的四邊形一定是矩形(C)、兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形 (D)、在兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2.已知平行四邊形ABCD的周長32, 5AB=3BC,則AC的取值范圍為( )A. 6<AC<10；B. 6<AC<16；C. 10<AC<16；D. 4<AC<163.兩個全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）44延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E，使BEBD，連結(jié)DE交BC于F，若DAB120°,CFE135°

7、，AB1，則AC 的長為（）（A）1（B）1.2（C）（D）1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，則BD的長是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若順次連結(jié)一個四邊形各邊中點所得的圖形是矩形，那么這個四邊形的對角線()（A）互相垂直（B）相等 （C）互相平分（D）互相垂直且相等7.如圖，等腰ABC中，D是BC邊上的一點，DEAC，DFAB，AB=5那么四邊形AFDE的周長是（ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20 (第7題） （第8題） （第9題） （第10題）8.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A

8、落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm9. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AC將梯形分成兩個三角形，其中ACD是周長為18 cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長是( )(A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm10.如圖，在周長為20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于點O，OEBD交AD于E，則ABE的周長為（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmABCDEF圖 2RPDCBAEF第12題圖11. 如圖2，四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊，

9、使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF若CD6，則AF等于 （）（A）（B）（C）（D） 12.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當點P在CD上從C向D移動而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是 （ )A、線段EF的長逐漸增大 B、線段EF的長逐漸減小 C、線段EF的長不變 D、線段EF的長及點P13. 在梯形ABCD中，AD/BC，對角線ACBD，且，BD=12c m，則梯形中位線的長等于（ ）黃藍紫橙紅綠AGEDHCFB第14題A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 國家級歷史文化名城金華，風光秀麗，花木蔥蘢某廣

10、場上一個形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍、綠、橙、紫6種顏色的花如果有，那么下列說法中錯誤的是（ ）A紅花、綠花種植面積一定相等 B紫花、橙花種植面積一定相等C紅花、藍花種植面積一定相等 D藍花、黃花種植面積一定相等2、 填空題1.如果四邊形四個內(nèi)角之比1：2：3：4，則這四邊形為形。2.若正方形的對角線長為2cm，則正方形的面積為。3.若矩形一個內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個矩形周長是4.已知：平行四邊形ABCD的周長是30cm，對角線AC，BD相交于點O，AOB的周長比BOC的周長長5cm ，則這個平行四邊形的各邊長為。5. 已知：平行四邊形ABC

11、D中， AEBC交CB的延長線于點E，AFCD交CD的延長線于點F，ABBCCDDA32cm，BCAB，EAF2C，則BE長為，則C.6. 在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限內(nèi)找一點D，使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點D的坐標是第10題圖DABCPMNCFDBEAP（第9題）ABCDEFO圖87.已知：如圖8，正方形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，E、F分別是邊AB、BC上的點，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，則EF的長為。（1）（2）圖98 如圖9（1)是一個等腰梯形，由6個這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2

12、)所示的一個菱形對于圖10(1)中的等腰梯形，請寫出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰及底邊長度之間關(guān)系的一個正確結(jié)論：9如圖，在四邊形中，是對角線的中點，分別是的中點，則的度數(shù)是10如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則PM+PN的最小值是_11. 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應滿足的一個條件是。 （12題） （13題） （14題）12、如圖所示，O為矩形ABCD的對角線交點，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15°，則COF=

13、_13. 如圖，矩形的對角線和相交于點，過點的直線分別交和于點E、F，則圖中陰影部分的面積為14、如圖，矩形的面積為，順次連結(jié)各邊中點得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點得到四邊形，依此類推，求四邊形的面積是。ADBCFE15、如圖已知O是ABCD的對角線交點，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周長等于。ABDCOABDCEABDCO16、在平行四邊形ABCD中，CB+D,則A，D。17、一個平行四邊形的周長為70cm，兩邊的差是10cm，則平行四邊形各邊長為cm。18、已知菱形的一條對角線長為12cm，面積為30cm2，則這個菱形的另一條對角線長為_cm。19、菱形ABCD中，A60

14、o，對角線BD長為7cm，則此菱形周長cm。20、如果一個正方形的對角線長為，那么它的面積。21、如圖2矩形ABCD的兩條對角線相交于O,AOB60o,AB8,則矩形對角線的長。22、如圖3,等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5則CDE周長。21、正方形的對稱軸有條22、如圖4，BD是ABCD的對角線，點E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個條件是23、要從一張長為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長為18cm，寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出張。3、 解答題1.如圖，在四邊形ABCD中，A=60°,B=D=90°,

15、BC=2,CD=3,求AB的長。2.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2,BAD=120°,對角線AC平分BCD，求等腰梯形ABCD的周長。ABCDEFD3.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C及A重合，點D落到D 處，折痕為EF（1）求證：ABEADF；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論4已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，對角線AC、BD相交于點E，ADB=60°，BD=10，BEED=41，求梯形ABCD的腰長.5. 如圖，菱形ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，BEAF60°，BA

16、E18°求CEF的度數(shù)。ABCDMNE(第6題)6.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明7. 如圖，四邊形ABCD中，一組對邊AB=DC=4，另一組對邊ADBC，對角線BD及邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點，且ABD=30°求：（1）MH的長（2）MN的長。8. 如圖所示，在ABC中，BAC=90°,ADB,BE平分ABC,EFBC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論。9

17、.如圖，ABCD是正方形，CEBD，BEBD，BE交DC于點F，求證：（1）BEC30°（2）DEDF10.如圖，在正方形ABCD中，P為對角線BD上一點，PEBC，垂足為E， PFCD，垂足為F，求證：EFAP11. 如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E,交BC于點F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求證：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,DAB=60°,求四邊形ABCD的面積.10如圖所示，已知在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，求證：MNBC11已知：如圖，E為ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CED

18、C，連結(jié)AE分別交BC、BD于點F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF求證：AB2OF12.如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，點A處有一動點E以1cms的速度由點A向點B運動，同時點C處也有一動點F以2cms的速度由點C向點D運動，設運動的時間為x（s），四邊形EBFD的面積為y（cm2），求y及x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。21，如圖16，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BCD的平分線CF交邊AB于F，ADC的平分線DG交邊AB于G.（1）線段AF及GB相等嗎？ 圖16（2）請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得EFG為等腰直角三角形,并說明理由.圖17OFDBEC

19、A·圖1822，如圖17，已知ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點E.（1）試說明線段CD及FA相等的理由； （2）若使FBCF，ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并說明你的理由(不要再增添輔助線).23，如圖，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形ECDBAO24，已知：如圖19，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且DEBF.請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等

20、（只須證明一組線段相等即可）.（1）連結(jié)_；（2）猜想：_=_；（3）證明：25，如圖20，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結(jié)EB，過點A作AMBE，垂足為M，AM交BD于點F.(1)試說明OEOF；OC圖19DABEF圖21EFOCMDAB圖20EMFCODBA(2)如圖21，若點E在AC的延長線上，AMBE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結(jié)論“OEOF”還成立嗎?如果成立，請給出說明理由；如果不成立，請說明理由.13.如圖在直角梯形ABCD中, ADBC, B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從A開始沿AD

21、邊向D以1cm/s的速度運動,動點Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運動,P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設運動的時間t,t分別為何值時,四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形?A B Q C D P 14APBDDQC已知：如圖，在直角梯形ABCD中，B90o,ADBC，AD24cm，BC26cm，動點P從A點開始沿AD邊向D以1cm/秒的速度運動，動點Q從C點開始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運動，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其一點到端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒，t分別為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？等腰梯形？.在ABC

22、中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP，接切線及拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設計，并畫出圖形說明。（1）在ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線及拼圖示意圖。15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形（圖甲）；將余下的部分分成4個全等的圖形（圖已）仿照示例，請你將一個正三角形割去

23、四分之一后余下的部分。（1）分成3個全等的圖形（在圖一中畫出示意圖）；（2）分成四個全等的圖形（在圖二中畫出示意圖）；（3）你還能利用所得的4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎？若能，畫出大致的示意圖。16.如圖是王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺要想從A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分成面積相等的兩部分.請你為王大爺設計一條引水渠的方案，畫出圖形,并簡要寫出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：17. (1)如圖25-1，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD.求證:EFBEFD; (2) 如圖25-2在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明. (3) 如圖25-3在四邊形ABCD中，ABAD，B+ADC180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)