繪制根軌跡的基本法則

1、4.2繪制根軌跡的基本法則本節(jié)討論根軌跡增益K （或開(kāi)環(huán)增益K ）變化時(shí)繪制根軌跡的法則。熟練地掌握這些法則，可以幫助我們方便快速地繪制系統(tǒng)的根軌跡，這對(duì)于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)是非常有益的。法則 1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)；如果開(kāi)環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù) m 少于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n ，則有 (nm) 條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別是指根軌跡增益K0 和時(shí)的根軌跡點(diǎn)。將幅值條件式（ 4-9）改寫(xiě)為nnp j | ( s p j ) | sn m|1K*j 1j 1s(4-11)mmzi | (s zi ) | 1i 1i1s可見(jiàn)當(dāng) s= p j 時(shí)， K *0 ；當(dāng) s=

2、 zi 時(shí)， K *；當(dāng) |s|且 nm 時(shí)， K *。法則 2 根軌跡的分支數(shù)，對(duì)稱性和連續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)與開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)m 、開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù) n 中的大者相等，根軌跡連續(xù)并且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在s 平面上的變化軌跡。因此，根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致，即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)都存在慣性， 反映在傳遞函數(shù)上必有nm 。所以一般講， 根軌跡分支數(shù)就等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程，依代數(shù)定理特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。由對(duì)稱性，只須畫(huà)出s 平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部的根軌跡即可對(duì)稱

3、畫(huà)出。特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益K 的函數(shù)， K 從零連續(xù)變到無(wú)窮時(shí)，特征方程的系數(shù)是連續(xù)變化的，因而特征根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。法則 3 實(shí)軸上的根軌跡： 實(shí)軸上的某一區(qū)域， 若其右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、 極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、 極點(diǎn)分布如圖4-5所示。圖中，s0 是實(shí)軸上的點(diǎn)，i (i1,2,3) 是各開(kāi)環(huán)零點(diǎn)到s0 點(diǎn)向量的相角，j ( j1,2,3,4) 是各開(kāi)環(huán)極點(diǎn)到s0 點(diǎn)向量的相角。由圖4-5可見(jiàn)，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸上任意一點(diǎn)（包括 s0 點(diǎn)）的向量之相角和為2。對(duì)復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)，情況同樣如此。因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考

4、慮開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。圖4-5 中， s0點(diǎn)左邊的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0 點(diǎn)的向量之相角均為零，而s0 點(diǎn)右邊開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0 點(diǎn)的向量之相角均為，故只有落在 s0 右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)，才有可能對(duì) s0的相角條件造成影響，且這些開(kāi)環(huán)零、 極點(diǎn)提供的相角均為。如果令i 代表 s 點(diǎn)之右所有開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)到s 點(diǎn)的向量相角之和，j代表 s點(diǎn)之右所有開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)000極點(diǎn)到 s0 點(diǎn)的向量相角之和，那么，s0 點(diǎn)位于根軌跡上的充分必要條件是下列相角條件成立：m0n0ij(2k1)（ k0,1,2,）i 1j 1由于 與表示的方向相同，于是等效有：m0n 0ij(2k1)（ k0,1,2

5、,）i 1j 1式中， m0 、 n0 分別表示在 s0 右側(cè)實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)。式中 (2k1) 為奇數(shù)。于是本法則得證。不難判斷，圖 4-5實(shí)軸上，區(qū)段p1 , z1， p4 , z2以及, z3 均為實(shí)軸上的根軌跡。法則 4根軌跡的漸近線：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n 大于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m 時(shí)，有 n m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a 、交點(diǎn)為a 的一組漸近線趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有(2k1)anmk =0，± 1，± 2， nm 1nm（ 4-12 ）p jzij 1i1anm證明漸近線就是s時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對(duì)稱與實(shí)軸。根軌跡方程式（ 4-8 ）可寫(xiě)成K *m

6、(s zi )smbm 1 sm 1b1sb0 =G(s)H ( s)i1= K *1(4-13 ）np j)snan 1 sn 1a1 s a0(sj1mn式中， bm 1( zi ) ， an1(p j ) 分別為系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之和及開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和。i 1j 1當(dāng) K 時(shí)，由于nm，應(yīng)有 s。式（4-13 ）可近似表示為sn m 1an 1bm 1K *sbm 1即有sn m 1an 1 bm 1K *s11n m*或an 1bm 1Ks 1n ms將上式左端用牛頓二項(xiàng)式定理展開(kāi)，并取線性項(xiàng)近似，有an 1bm 1K*1s 1n m(nm) san 1bm 1令nm*1有sKn m以1 1 e

7、j (2k 1) ， k 0, 1,2, 代入上式，有1j2k 1sK * n m en m這就是當(dāng) s 時(shí)根軌跡的漸近線方程。它表明漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為nmp jzij 1i 1amn漸近線與實(shí)軸夾角為a本法則得證。(2k1)nm（ k =0，± 1，± 2 ）例 4-2單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為K * ( s1)G(s)2s 2)s( s 4)( s2試根據(jù)已知的基本法則，繪制根軌跡的漸近線。解將開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)在s 平面上，如圖4-6所示。根據(jù)法則，系統(tǒng)有4 條根軌跡分支，且有n m =3 條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角為41 j 11j1 15a

8、413( 2k1),a134三條漸近線如圖4-6 所示。法則 5根軌跡的分離點(diǎn)： 兩條或兩條以上根軌跡分支在s 平面上相遇又分離的點(diǎn)，稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d 是方程n1m1（4-14 ）j1 dp ji1 dzi的解。證明由根軌跡方程（4-8 ），有K *m(szi )1i 10n(sp j)j1所以閉環(huán)特征方程為np j） K *mD(s)(s( szi )0j 1i1np j） K *m或( s(s zi )（ 4-15 ）j1i 1根軌跡在 s 平面相遇， 說(shuō)明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)。設(shè)重根為 d ，根據(jù)代數(shù)中重根條件，有dnK *mD (s)( sp j)(szi )0ds

9、j 1i 1或dn(s p j )K * d m( s zi )ds j1ds i 1將式（ 4-16 ）、式（ 4-15 ）等號(hào)兩端對(duì)應(yīng)相除、得dnp j )dmzi )ds j( sds i(s11nm( sp j )( szi )j1i1nmd ln(s p j )d ln( s zi )j 1i 1dsds有nd ln( sp j )md ln(szi )dsdsj 1i 1n1m1于是有（ 4-16 ）（ 4-17 ）j1 sp ji 1 szi從上式解出的s 中，經(jīng)檢驗(yàn)可得分離點(diǎn)d 。本法則得證。例 4-3 控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為K * ( s2)G( s) H (s)1)( s4

10、)s( s試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 將系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于s 平面，如圖4-7 所示。根據(jù)法則，系統(tǒng)有 3條根軌跡分支，且有 nm =2 條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：根據(jù)法則3，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為：4,2，1,0 漸近線：根據(jù)法則 4，根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角為a1423312a(2k1)312 分離點(diǎn)：根據(jù)法則5，分離點(diǎn)坐標(biāo)為1111dd 1d 4d2經(jīng)整理得(d4)(d 24d2)0故 d14 ， d23.414 ， d30.586，顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上1,0 間，故取d0.586 。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-7 所示。法則6根軌跡與虛軸的

11、交點(diǎn)：若根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令sj，然后分別令方程的實(shí)部和虛部均為零，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的K 值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)在相應(yīng)K 值下處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)去求出交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的K值。此處的根軌跡增益稱為臨界根軌跡增益。例 4-4 某單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G( s)K *s(s1)( s5)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解根軌跡繪制如下： 實(shí)軸上的根軌跡：a 漸近線：a, 5， 1,01 523(2k1),33 分離點(diǎn)：1110d d1d5經(jīng)整理得3d 212d50解出d13.5d20.47顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上

12、1,0 間，故取 d0.47 。 與虛軸交點(diǎn)：方法 1 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D (s)s36s25sK *0令 sj ，則D( j ) ( j ) 36( j ) 25( j ) K *j 36 2j 5K *0令實(shí)部、虛部分別為零，有K*620350解得05K *0K *30顯然第一組解是根軌跡的起點(diǎn)，故舍去。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為sj 5 ，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益 K*30 。方法 2用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。列勞斯表為s315s26K *s1(30 K*) 60s0K *當(dāng) K *30 時(shí)， s1 行元素全為零， 系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由 s2 行的輔助方程求得：F ( s) 6s

13、2K *K*300得 s j 5 為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖 4-8 所示。法則7根軌跡的起始角和終止角：根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角， 以表示；根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角，以zi 表示。起始角、終止角可直接利用相角條件求出。例 4-5設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G( s)K * ( s1.5)( s2 j )(s2j )2.5)( s 0.5j1.5)( s0.5j1.5)s(s試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。pi解將開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于s 平面上，繪制根軌跡步驟如下： 實(shí)軸上的根軌跡：1.5,0 ，, 2.5 起始角和終止

14、角：先求起始角。設(shè)s 是由 p2 出發(fā)的根軌跡分支對(duì)應(yīng) K * =時(shí)的一點(diǎn)， s 到 p2 的距離無(wú)限小，則矢量p s 的相角即為起始角。作各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到s 的向2量。由于除 p2 之外，其余開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)指向s 的矢量與指向p2 的矢量等價(jià)，所以它們指向p2 的矢量等價(jià)于指向s 的矢量。根據(jù)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)坐標(biāo)可以算出各矢量的相角。由相角條件（ 4-10）得mnij( 12)3( p212 ) 4 (2k 1)i1j1解得起始角p279 （見(jiàn)圖4-9）。同理，作各開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)到復(fù)數(shù)零點(diǎn)（2j ）的向量，可算出復(fù)數(shù)零點(diǎn)（2j ）處的終止角2 =145（見(jiàn)圖 4-9）。作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10

15、所示。法則 8根之和：當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G ( s) H ( s) 的分子、分母階次差（n m ）大于等于 2 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和。nnipinm 2式中， 1,2 ,i 1i1， p1 , p2 ,pn 為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。n 為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）證明設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為K * ( sz1 )(sz2 ) (szm )G(s)H (s)( s p1 )( s p2 ) (s pn )K * smbm 1K * sm 1K * b0snan 1sn 1a2 sn 2a0n式中an 1( pi )（4-18 ）i1設(shè) nm 2 ，即 mn 2 ，系統(tǒng)閉環(huán)特征式為D (s

16、)(snan 1 sn 1an 2 sn2a0 )(K * smK * bm 1 sm 1K * b0 )snan 1sn 1(an 2K * )sn 2(a0 K * b0 ) =(s1 )( s2 ) (sn )另外，根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng) n 個(gè)閉環(huán)特征根1 、 2 、 、 n 可得系統(tǒng)閉環(huán)特征式為nnD (s)sn(i )sn 1(i )（ 4-19 ）i 1i 1可見(jiàn)，當(dāng) n m2 時(shí)，特征方程第二項(xiàng)系數(shù)與K 無(wú)關(guān)。比較系數(shù)并考慮式（4-18 ）有nn(i )( pi )an 1（ 4-20 ）i 1i 1式（ 4-20 ）表明，當(dāng) n m2 時(shí)，隨著 K的增大，若一部分極點(diǎn)總體向右移動(dòng)，則另

17、一部分極點(diǎn)必然總體上向左移動(dòng)，且左、右移動(dòng)的距離增量之和為0。利用根之和法則可以確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，判定分離點(diǎn)所在范圍。例 4-6 某單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G( s)K *s(s1)( s2)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡，并求臨界根軌跡增益及該增益對(duì)應(yīng)的的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。解系統(tǒng)有3 條根軌跡分支，且有nm =3 條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。繪制根軌跡步驟如下： 軸上的根軌跡：, 2 ，1,0 漸近線：aa1213(2k1),33 分離點(diǎn)：111dd 1d02經(jīng)整理得32620dd故d11.577d20.423顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上1,0 間，故取 d0.423 。由于滿足 n m2 ，閉環(huán)根之和為常數(shù)，當(dāng)K

18、 * 增大時(shí)，兩支根軌跡向右移動(dòng)的速度慢于一支向左的根軌跡速度，因此分離點(diǎn)d0.5是合理的。 與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D (s) s33s22sK *0令 sj ，則D ( j)( j) 33( j) 22( j)K *j332j 2K *0令實(shí)部、虛部分別為零，有K *320230解得02K*0K *6顯然第一組解是根軌跡的起點(diǎn)，故舍去。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為1, 2j 2 ，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為 K *6 ，因?yàn)楫?dāng) 0K *6是系統(tǒng)穩(wěn)定，故K *6 為臨界根軌跡增益，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由根之和法則求得：0121231j 2 j 233系統(tǒng)根軌跡如圖4-11 所示。根據(jù)以上繪制根軌跡的法則，不難繪出系統(tǒng)的根軌跡。具體繪制某一根軌跡