注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)考試基本公式匯總(數(shù)物化電工程)

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備一、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：2(arcsin x)1(tgx)sec x1x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )ax ln a1 x2(log a x)1(arcctgx )1x ln a1x2基本積分表：tgxdxln cosxCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin2 xcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscx ct

2、gxdxcscxCa2x2arctgCxaaa xdxaCdx1xaCln ax2a2lnxashxdxchxC2adx1 ln axCchxdxshxCa2x22aaxdxarcsin xCdxa 2ln( xx2a2 )Ca2x2ax 22sin n xdx2cosn xdxn 1I nI n 200nx2a2dxxx2a2a2x2a2)C2ln( x2x2a2 dxx x 2a2a2 ln xx2a2C22a2x2dxxa2x2a 2xC2arcsina2三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u 2uxdx2duu21u2 ，tg，1u212名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備一些初等

3、函數(shù)：雙曲正弦 : shxexe x2兩個(gè)重要極限：lim sin x1x 0xexe x雙曲余弦 : chx2shxexe雙曲正切 : thxchxexearshxln( xx21）archxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1xlim (11 )xe 2.7182818284 59045.x xxx三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180 °-sin -cos -tg -ctg 180 °

4、+-sin -cos tg ctg 270 °-cos -sin ctg tg 270 °+-cos sin -ctg -tg 360 °-sin cos -tg -ctg 360 °+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sin2cos2cos()coscossinsinsinsin2 cossintg()tgtg221 tgtgcoscos2coscosctgctg12ctg()2ctgctgcoscos2 sinsin22·倍角公式：sin 22 s

5、incoscos 22cos211 2sin 2cos2sin 2sin 33sin4 sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg1 3tg 2tg 2tg 21名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備·半角公式：sin1 coscos1cos2222tg1cos1 cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin x2arccos xarctgx2arcct

6、gx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：( uv ) ( n )nC nk u ( n k ) v ( k )k 0u ( n ) vnu ( n 1) vn( n 1) u ( n 2 ) vn (n 1) ( n k 1) u ( n k ) v ( k )uv ( n )2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a )f ( )( ba)柯西中值定理：f (b )f ( a)f( )F (b )F ( a)F( )當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx , 其中 ytg平均曲率： Ks.:從M點(diǎn)到 M點(diǎn)，切線

7、斜率的傾角變M 點(diǎn)的曲率：Klimdy.0sds2s(1 y)3直線：K 0;半徑為a 的圓：K1 .a定積分的近似計(jì)算：bba ( y0 y1矩形法：f ( x)yn 1 )anbba1梯形法：f ( x)yn )y1y n 1 ( y0an2bba ( y 0拋物線法：f ( x)y n )2( y 2y 4y n 2 )a3 n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力：Fp A引力： Fk m1 m2,k為引力系數(shù)r 2b1函數(shù)的平均值：f ( x)dxyba a1b均方根：f 2 (t )dtba a化量；s： M M 弧長(zhǎng)。4 ( y1y3y n 1 )名師推薦精心整理多元函數(shù)微分法

8、及應(yīng)用全微分： dzzdxzduuuuxdydxdydzyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y )xf y ( x, y )y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u ( t ), v(t )dzzuzvdtutvtzf u ( x, y ), v( x, y)zzuzvxuxvx當(dāng) uu ( x, y)， vv( x, y )時(shí)，duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：學(xué)習(xí)必備隱函數(shù)F ( x, y)，dyF x，0dxF y隱函數(shù)F ( x, y, z)，zF x，0xF z隱函數(shù)方程組：F ( x, y, u , v)0G ( x, y, u , v)0u

9、1(F,G)v1xJ( x , v)xJu1(F,G)v1yJ( y, v)yJd 2 yx (F x)y (dx 2F yzF yyF z(F,G)FFJuv( u , v)GGuv(F ,G)(u , x)(F,G)(u , y )F x )dyF ydxFuF vGuG v多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)f x ( x0 , y0 )，令：f xx ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 ) 0ACB2時(shí)， A0, (x0, y0 )為極大值0, y0 )為極小值2A 0, (x0則：ACB時(shí)，無(wú)極 值0ACB2時(shí)不確定0 ,重積分及其應(yīng)用：f ( x, y )dxdyf ( r c

10、os, r sin)rdrdDD2曲面z的面積A1zzf ( x, y )xyDM xx( x, y) d平面薄片的重心：xD,M( x , y) dDA,f xy ( x0 , y0 )2dxdyM yDyMDB,f yy ( x0 , y0 )Cy ( x, y) d ( x, y ) d平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2( x, y) d,對(duì)于y軸 I yx 2( x, y ) dDD平面薄片（位于xoy 平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn) M(0 ,0, a ), ( a0 )的引力：F F x , F y , F z ，其中：( x, y) xdF yf( x, y) ydF zfa( x,

11、 y) xdFxf3，3，3D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D ( x 2y 2a 2 ) 2名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1qq 2q n11q n1q等差數(shù)列：123n(n1) n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1111 是發(fā)散的23n級(jí)數(shù)審斂法：、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limnu n，則時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定12、比值審斂法：時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3sn u1u 2u n;limsn 存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù) u1u2u3u4(或 u1 u

12、2u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足unun1u1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rn un 1。lim un，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 s0n絕對(duì)收斂與條件收斂：(1) u1u 2un，其中 u n 為任意實(shí)數(shù)；( 2) u1u2u3u n如果 ( 2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；如果 ( 2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1 發(fā)散，而(1) n 收斂；nn級(jí)數(shù)：1收斂；n 2p級(jí)數(shù)：1 時(shí)發(fā)散n pp1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備1 x x 2x 3x nx1時(shí)，收斂于11xx1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a 0a1 x2a n xn

13、，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全a 2 xxR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使xR時(shí)發(fā)散 ，其中 R稱為收斂半徑。xR時(shí)不定10時(shí)， R求收斂半徑的方法：設(shè)lima n 1，其中 a n， a n1是 (3)的系數(shù)，則0時(shí)， Ra nn時(shí)，R 0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)： f ( x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f (n ) ( x0 ) ( xx0 ) n2!n!余項(xiàng)： Rnf (n1) ( ) (xx0 ) n 1 , f (x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的 充要條件是：lim Rn0(n1)!n時(shí)即為麥克勞林公式：f ( x)f (0)f

14、(0) xf (0)2f ( n) (0)xnx0 02!xn!一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：(1 x) m1mxm(m1)x2m(m1)(m n1)xn( 1x 1)2!n!sin x xx3x5(1) n 1x2n1(x)3!5!(2n1)!歐拉公式：cosxeixeeix2cosx i sin x或eixsin xe2ixix三角級(jí)數(shù)：f (t) A0An sin(n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0，anAn sin n，bnAn cos n， tx。正交性：sin nx, cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 在1,sin x,cosx,sin 2

15、x, cos2x , 上的積分 0。傅立葉級(jí)數(shù)：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備f ( x )a0( an cos nx，周期22n 1bn sin nx)an1f ( x) cos nxdx( n0,1,2)其中1bnf ( x) sinnxdx( n1,2,3)112111211（相加）325 282 23 2426111211121（相減）224 26 2242 2324212正弦級(jí)數(shù)：a n，bn2f ( x ) sin nxdxn1,2,3f ( x )是奇函數(shù)0bn sin nx0余弦級(jí)數(shù)：bn0，an2f ( x) cos nxdxn0,1,2f ( x)a0a ncos nx是偶函數(shù)2

16、0周期為2l 的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：一、 向量代數(shù)1、向量的有關(guān)概念：向量間的夾角、向量的方向角、方向余弦、向量在數(shù)軸上的投影向量的坐標(biāo)aax, ay, azax iay jaz k在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影模長(zhǎng)：aax2a2ya 2z方向余弦：axax， cosayay，cos| a |ax2ay2az2| a |ax2ay2az2cosazaz| a |ax2ay2az20,cos,cos單位向量 acos2、向量的運(yùn)算：線性運(yùn)算：加法ab 、 減法ab 、數(shù)乘a乘積運(yùn)算：數(shù)量積、向量積- 向量的數(shù)量積a ba ba b cosax bxaybyazbz幾何意義； a b0a a 在 b 上的

17、投影b名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備2性質(zhì)：（ 1） a a aaax2a y2az2（ 2） ab0abax bxa ybyazbz0微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf (x, y)或P( x, y)dx Q(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g( y)dy的形式，解法：f (x) dxg ( y) dyf (x)dx得： G( y)F (x)C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成 dyf (x, y)( x, y)，即寫成 y 的函數(shù)，解法：dxx設(shè)uy ，則 dyuxdu，udu， dxdu分離變量，積分后將y 代替 ，xdxdxdx(u)(u) u

18、uxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dyP ( x) yQ ( x)dx當(dāng) Q( x )0時(shí) ,為齊次方程，yCeP ( x ) dx當(dāng) Q( x )0時(shí)，為非齊次方程，y(P ( x ) dxP ( x ) dxQ( x )edxC ) e、貝努力方程： dyP ( x) yQ ( x ) yn，0,1)2(ndx全微分方程：如果P(x, y)dxQ(x, y)dy0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：du(x, y)，其中：u，uP(x, y)dx Q(x, y)dy 0P(x, y)Q(x, y)xyu(x, y)應(yīng)該是該全微分方程的通解。C二階微分方程：2ydy

19、， f ( x)時(shí)為齊次d0dx2P(x)dxQ( x) yf (x)時(shí)為非齊次f ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程：( )r 2prq0，其中r 2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是 (*)式中y , y , y的系數(shù)；名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備3、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫 出(*) 式的通解：(*) 式的通解r1，r2的形式兩個(gè)不相等實(shí)根(240)r1 xr2 xpqyc1 ec2 e(240)r1 x兩個(gè)相等實(shí)根pqy(c1c2 x)e一對(duì)共軛復(fù)根 (p24q0)yex( c1 cos x c2 si

20、n x)r1i ，r2ip ，4qp 222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf ( x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型，為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn (x)sinx型二、空間解析幾何（一）空間直角坐標(biāo)系（三個(gè)坐標(biāo)軸的選取符合右手系）空間兩點(diǎn)距離公式 PQ(x2 x1 )2( y2 y1 ) 2(z2 z1 ) 2（二）空間平面、直線方程1、 空間平面方程a、 點(diǎn)法式A( xx0 )B( yy0 )C(zz0 )0b、 一般式AxByCz D0c、 截距式xyz1abcd、 點(diǎn)到平面的距離 dAx0By0Cz0DA2B 2C 22、 空間直

21、線方程a、 一般式A1 x B1 y C1 z D10A2 x B 2 y C2 z D20b、 點(diǎn)向式（對(duì)稱式）xx0yy0zz0（分母為0，相應(yīng)的分子也理解為0）lmnxx0ltc、 參數(shù)式y(tǒng)y0mtzz0kt名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備3、空間線、面間的關(guān)系a、 兩平面間的夾角：兩平面的法向量n1 ， n2 的夾角（通常取銳角）兩平面位置關(guān)系：1 /2n1/ n2A1B1C1A2B2C212n1n2A1 A2B1B2C1C20平面1 與2斜交 ，b、兩直線間的夾角：兩直線的方向向量的夾角（取銳角）兩直線位置關(guān)系：L1 / L2a1/ a2l 1m1n1l 2m2n2L1L2a1a2l1l 2

22、m1m2n1n20b、 平面與直線間的夾角線面夾角：當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線之間的夾角角）稱為直線與平面的夾角。當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，（22線面位置關(guān)系：L /anlAmBnC 0La / nlmnABCa0( an cosnxnx，周期2lf ( x )lbn sin)2n 1lan1 lf ( x) cos nx dx( n0,1,2)其中l(wèi)ll1 lnxbnf ( x ) sin( n1,2,3 )lldxl（取銳）二、物理學(xué)一、熱學(xué)1、 PVM RT；PnkT ； P2 n ；3 kT ；i kT ； EMi RT3222dN2、麥?zhǔn)戏植迹?f v，表示單位速度間

23、隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。Ndv最概然速率 v p 1.4RT ；平均速率 v1.6 RT ；方均根速率 v21.7RT3、平均碰撞次數(shù)Z2 d 2 vn ；平均自由程12 d 2 n4、等溫過(guò)程PVC ；等壓過(guò)程VC ；等容過(guò)程 P C ；絕熱過(guò)程比等溫線陡。TT名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備V2V2MRT ln V2Mi R T總功 APdV ；等溫過(guò)程A TPdV， EV1V1V12熱一律的應(yīng)用：功是過(guò)程曲線下面的面積，QEA等容 A0，QVEMi R T；等壓 EMi R T ， QPMi1 R T222等溫 E0，QTM RT ln V2；絕熱過(guò)程 Q0V15、順時(shí)針：正循環(huán)，熱機(jī)效率

24、A 凈Q 放Q 吸1 -Q吸卡諾循環(huán)1-T2；T2T1T1 -T2二、波動(dòng)1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式 yAcost0 ，2/Tkm波動(dòng)方程 yAcostxAcost2 xu00x - x 0yA c o s t0u2、波的能量：動(dòng)能和勢(shì)能的大小相等，方向、相位相同；波能量不守恒；平均能量密度1A 2 223、駐波：振幅相同，方向相反的兩列波的疊加。相鄰波腹（波節(jié)）距離為半波長(zhǎng)。'uv 0，其中'為波源頻率， v0 為觀察者4、多普勒效應(yīng)：v s為觀察者接收的頻率，u速度， vs 為波源速度。觀察者向著聲源運(yùn)動(dòng)時(shí)，v0 前取正號(hào)，遠(yuǎn)離取負(fù)號(hào)；波源向著觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，v s 前取負(fù)號(hào)，遠(yuǎn)離取正號(hào)。三、光學(xué)1、干涉：光程差n2r2- n1r1k22k1，相位差2雙縫干涉：相鄰明（或暗）條紋中心間距Dxd薄膜干涉：劈尖2ne，半波損失，從光疏到光密的反射光；el22n2、衍射：名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備2k1明紋2單縫衍射 a sin2kk暗紋02中央明紋3、光學(xué)儀器分辨率：最小分辨角