小學(xué)奧數(shù)難題巧解(1)

1、小學(xué)奧數(shù)難題巧解 (1) 1先分解再通分有的學(xué)生通分時用短除法， 找了許多數(shù)試除都不行， 而斷定 57 和 76 為互質(zhì)數(shù)。判斷兩個數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5、,逐個試除。把其中一個分解質(zhì)因數(shù)，看另一個數(shù)能否被這里的某個質(zhì)因數(shù)整除即可。57=3 19，如果 57 和 76 有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是3 或 19。用 3、19 試除，57 ，76=19 3 4=228。26=2 13，65和 91是 13 的倍數(shù)。最小公分母為13 2 5 7=910。2推想與推斷例如，3/17 的分子和分母同時加上什么數(shù)，因為一個分?jǐn)?shù)的分子與分母同時加上一個數(shù)的前后、分母與分子的差17 分母同時擴大 14 2=

2、7( 倍) ，就是加上的數(shù)是 35-17=18 或 21-3=18。3統(tǒng)一單位11 分率的單位 “ 1” 不同，量的性質(zhì)相異的題型，由于數(shù)量間運算無法直接實施，必須統(tǒng)一單位 “ 1” ，才能解答。噸? 分析：為了求出甲、 乙兩堆煤的重量間的倍數(shù)關(guān)系，只須將其中一個量作為標(biāo)準(zhǔn)量，并以此為計量單位去度量另一個量。若甲堆煤的重量為單位若設(shè)乙堆煤的數(shù)量為單位 “ 1” ，則算式為解法二：觀察線段圖各有多少人 ? 部分人數(shù)，從而求出甲隊的人數(shù)。乙隊為 336-154=182(人) 。乙隊- 甲隊=(192-188 ) 7=28 ，甲隊=(336- 28)2=154(人) ，,。4同分子法例 1 某水果商

3、店運來一批梨和桃子，其中梨比桃子多40 千克。已知梨通常用 “兩數(shù)差與倍數(shù) ”關(guān)系解：如果把相關(guān)的分?jǐn)?shù)化為同分子的分?jǐn)?shù)去分析數(shù)量關(guān)系問題比較容易解答。梨和桃的重量共為19 個等份，梨占 10份，桃子占 9 份，每份重 40 千克。梨：40 10=400( 千克) 桃：40 9=360( 千克) 可見，科技書和文藝書的相應(yīng)份數(shù)分別為8 份和 5 份。然后用歸一法求出科技書本數(shù)。例 3 兩人分別從相距 224 千米的 ab兩地同時相向而行， 因甲途中辦事 1 小時而 6 小時后相遇并立即返回原地。當(dāng)甲行2 小時，乙行 4 小時后，分別與ab兩地距離相等，每小時各行多少千米? 所以5通用公式一般的平

4、面圖形都可以用公式(a、b 互為兩個平行的底邊長， h 為兩底間的距離 ) 例 1 一個三角形的底為6cm ，高為 4cm ，求面積。例 2 一個長方形長 8cm ，寬 2cm ，求面積。例 3 一個梯形的上底為12cm ，下底為 18cm ，高為 3cm ，求面積。例 4 一個平行四邊形的底邊長9cm ，高 5cm ，求面積。例 5 一個圓的周長是 12.56cm，半徑是 2cm ，求圓的面積。例 6 一個圓環(huán)， 內(nèi)圓周長 18.84cm，外圓周長 31.4cm，環(huán)寬 2cm ，求環(huán)形面積。例 7 求下圖的面積。 ( 單位：厘米 ) 一般解法： 3.14 30=94.215.7 94.2=1

5、/6s=3.14 152 1/6=117.75(cm2) 6特殊值有些數(shù)學(xué)題， 按一般思路不易求解， 若從給出的特殊值入手， 緊扣條件和問題之間的聯(lián)系，將會優(yōu)化解題思路，很快找到解題捷徑。例 1 如圖，梯形 abcd 被它的一條對角線bd分為兩部分， s dbc 比 s abd大 10cm2 。bc與 ad的和為 5cm ，差為 5cm ，求 s梯? 一般是借助 “輔助線 ”解。其實只要仔細(xì)分析題意， 利用給出的特殊條件可簡捷求解。底，它們等高，由bc=2ad ，知 bdc=2 abd。所以s梯=10 (2+1)=30(cm)。例 2 設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為6 厘米和 8 厘米，用四個

6、這樣的直角三角形拼成如圖所示正方形，求大正方形的邊長。此題用勾股定理求解10。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)， 大正方形和陰影部分小正方形的面積是條件和問題的聯(lián)系紐帶。小正方形的邊長為直角三角形兩條直角邊之差 8-6=2(cm) ，大正方形面積為四個直角三角形的面積和小正方形面積的和。1/2 8 6 4+(8-6)2=100(cm2) 。這個面積是一個特殊值100=10 10，所以大正方形的邊長為10cm 。例 3 四個一樣的長方形和一個小的正方形拼成了一個大正方形(如圖) 大正方形的面積是 49 平方米，小正方形面積是4 平方米。問長方形的短邊長度是幾米?(第一屆 “華羅庚金杯 ”少年數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽題 )

7、 因為 4=2 2 ， 49 =77 ，所以小正方形邊長2cm ，大正方形邊長 7cm 。長方形長寬之和為7cm ，差為 2cm ，即從而可求得，寬為2.5cm。例 4 1992 年奧林匹克決賽題：一個正方形( 如圖)，被分成四個長方形，他們的面積分別是圖中陰影部分是一個正方形，那么它的面積是多少平方米。大正方形邊長為 1 米。仔細(xì)觀察還可發(fā)現(xiàn)小正方形的邊長與長方形、的長和寬有關(guān)。只要求出 的長和 的寬即可求得小正方形的邊長了。7順推例 1 永明在去農(nóng)安時速45 千米的客車上發(fā)現(xiàn)第一塊里程碑上的數(shù)是ab;過了 1小時見第二塊里程碑上的數(shù)是ba;又過了 1 小時， 見第三塊里程碑上的數(shù)是a0b

8、。經(jīng)研究很快明白了，這三塊里程碑上的數(shù)分別是16、61、106。試說明算理 ? 思路一 ba 與 ab的差，只能是兩位數(shù)或一位數(shù)。車勻速前進(jìn)，b必大于 a。a0b與 ba的差必等于 ba與 ab的差，不會是三位數(shù)。a只能是 1，若是 2 以上的數(shù)，則 a0b與 ba的差肯定是三位數(shù)了。由下表知：思路二：由速度一定知ba-ab=a0b-ba 。寫成十進(jìn)數(shù)，化簡(10b+a)-(10a + b)=(100a + b)-(10b+a) 10b+a-10a-b=100a+b-10b-a 9b-9a=99a-9b b=6a b是一位數(shù)，且只能是一位數(shù)。故a=1，b=6 。a和 b的數(shù)字確定了，其它隨之出

9、現(xiàn)。例 2 美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 (19821983)第二次 2 題：1 個面包和 6 個雞蛋價值 1.80 元，同樣價格下， 2 個面包和 4 個雞蛋價值 2.40 元。問 1 個面包多少錢。由 2 個面包和 4 個雞蛋價值 2.40 元，可知， 1 個面包和 2 個雞蛋價值 2.402=1.20( 元)。又由 1 個面包和 6 個雞蛋價值 1.80 元，知 4 個雞蛋價值 1.80-1.20=0.60( 元) 。所以 1 個面包價值 (2.40- 0.60) 2=0.90( 元) 。8奧數(shù)難題：豎式填空之巧填除法例題1 例 1 一個三位數(shù)， 其十位數(shù)字是 0，且能被一個一位數(shù)整除； 如果被

10、另一個一位數(shù)除則余 3。請?zhí)钌纤羞m合的情況。9豎式填空之巧填除法例題3 例 4 第五冊數(shù)學(xué)思考題：首尾觀察：觀察式 (1) ，知商的百位上是 6; 再觀察式 (2) ，知商的個位上是2。則被除數(shù)為 4816。例 5 美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，第四次(1981 年 2 月) 題 5 ：在右邊的除法算式中，方格表示擦掉的數(shù)字，a和 b表示商的數(shù)字。求a和 b的值。 a b a b 由 b 5 =432，知 b=8;進(jìn)而知 a 54= 6，a=3。10奧數(shù)難題：豎式填空之巧填乘法例題2 例 2 空，并確定被乘數(shù)小數(shù)點的位置。由積的末尾是 “ 30 ” ，知第一部分積為230；積的最高位是 “ 1” ，

11、第二部分積的最高上也為1；被乘數(shù)和第二部分積都是三位數(shù)，根據(jù)第二部分積的最高位上是1，可確定被乘數(shù)和乘數(shù)的最高位上也都為1；被乘數(shù)最低位上是 “ 5” ，而積的末尾是 0，乘數(shù)的最低位上可能是2、4、6、8 中的一個。由被乘數(shù)最高位上是1，第一部分積的最高位上是 “2”，知乘數(shù)的最低位上為 2；乘數(shù)是三位數(shù)，而只有兩個部分積，知乘數(shù)的中間一位上為0；由被乘數(shù)最低位上是 “ 5” ，乘數(shù)的最低位上是2，第一部分積的末尾是30，知被乘數(shù)中間一位上為1；由被乘數(shù)和乘數(shù)，求出第二部分積115，終積 117.30；最后，由乘數(shù)是一位小數(shù)，積有兩位小數(shù)，知被乘數(shù)為一位小數(shù)。即右式11奧數(shù)難題：豎式填空之巧

12、填乘法例題4 例 4 下式中每個 號，都只表示某個素數(shù) ( 即 2、3、5、7) ，請你確定這個算式。由素數(shù)數(shù)碼構(gòu)成的三位數(shù)與一位素數(shù)相乘，積僅是由素數(shù)碼構(gòu)成的四位數(shù)，只有四種：325 7 2275 555 5 2775 755 5 3775 77532325 進(jìn)一步，不難得到12奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題：最大兩位數(shù)的和 200，和的最高位只能是1，b1； ab 10 ，方可形成進(jìn)位。a9，c0。13牛吃草難題練習(xí)有三塊草地，面積分別是5，15，24 畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問第三塊地可供多少

13、頭牛吃 80 天？【解析】這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。把每頭牛每天吃的草看作1 份。因為第一塊草地 5 畝面積原有草量 5 畝面積 30 天長的草 10 30300 份所以每畝面積原有草量和每畝面積30 天長的草是 300 560 份因為第二塊草地 15 畝面積原有草量 15畝面積 45天長的草 28 451260份所以每畝面積原有草量和每畝面積45 天長的草是 1260 1584 份所以 453015 天，每畝面積長 846024份所以，每畝面積每天長24 151.6 份所以，每畝原有草量6030 1.612 份第三塊地面積是 24 畝，所以每天要長1.6 2438.4 份，

14、原有草就有 24 12288份新生長的每天就要用38.4 頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃 80 天，因此 288 803.6 頭牛所以，一共需要 38.43.642 頭牛來吃。兩種解法：解法一：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1，則每畝 30天的總草量為： 10*30/5=60；每畝 45 天的總草量為： 28*45/15=84 那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為 60-1.6*30=12，那么 24 畝原有草量為 12*24=288，24 畝 80 天新長草量為 24*1.6*80=3072，24 畝 80 天共有草量 3072+2

15、88=3360，所有 3360/80=42(頭)。解法二： 10 頭牛 30天吃 5 畝可推出 30 頭牛 30 天吃 15 畝，根據(jù) 28 頭牛 45 天吃 15 木，可以推出 15 畝每天新長草量 (28*45-30*30)/(45-30)=24；15 畝原有草量：1260-24*45=180；15 畝 80 天所需牛 180/80+24(頭)24 畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42 頭。14馬吃草難題練習(xí)20 匹馬 72 天可吃完 32 公頃牧草， 16 匹馬 54 天可吃完 24 公頃的草假設(shè)每公頃牧草原有草量相等，且每公頃草每天的生長速度相同那么多少匹馬36 天可吃

16、完 40 公頃的牧草？分析：同例 1 一樣，解這個題的關(guān)鍵在于求出每公頃每天新長的草量及每公頃原有草量即可設(shè) 1 匹馬吃一天的草量為一份20 匹馬 72 天吃 32 公頃的牧草，相當(dāng)于一公頃原有牧草加上72 天新長的草量，可供20 72 32=45匹馬吃一天，即每公頃原有牧草加上 72 天新長的草量為 45 份同樣，由 16匹馬 54 天吃 24公頃的草量，知每公頃原有牧草加上54 天新長的草量為 16 54 24=36份這兩者的差正好對應(yīng)了每公頃 72-54=18 天新長的草量，于是求得每公頃每天新長的草量，從而求出每公頃原有草量，這樣問題便能得到解決解： （1）每公頃每天新長的草量（20

17、72 32-1654 24） （72-54）=0.5（份）（2）每公頃原有草量20 72 32-0.572=9（份）或 16 54 24-0.554=9（份）（3）40 公頃原有草量9 40=360（份）（4）40 公頃 36天新長的草量0.5 36 40=720（份）（5）40 公頃的牧草 36天吃完所需馬匹數(shù)（360+720） 36=30（匹）答：30匹馬 36 天可吃完 40 公頃的牧草15交叉的梯子在兩棟房屋之間的巷道里有兩個梯子靠在墻上。ab 長 8m，cd 長 10m。兩個梯子的交叉點距地面4m。請問這兩棟房屋相距多遠(yuǎn)？分析與解答：這個題目歷史悠久，但并不如想象的那么容易。根據(jù)勾股

18、定理，可得ac2102-a2=82-b2 因此 a2-b236 (1) 利用相似三角形的特性，可得：重新整理 (2)式得：將 b 代入(1)式得：整理之后得到下列四次方程式：a4-8a3-36a2 288a-5760 用試誤法，或是更復(fù)雜的數(shù)值分析法，可以得到：9.25a9.255 因此 ac 3.8m還有一個類似的問題， 也是聽起來簡單， 但實際去做卻相當(dāng)困難： 用一條繩子把一只羊拴在一塊圓形草地邊緣的木樁上。如果羊只能吃到一半草地的草，繩子長度是多少？16奧數(shù)難題：同分母法噸? 都平均分成 15 份，甲庫中的 9 份相當(dāng)于乙?guī)熘械?0 份，由此得出甲庫與乙?guī)斓拇婕Z數(shù)之比為10 9 ?，F(xiàn)有糧

19、乙?guī)欤?570-300=270(噸) 乙?guī)煸屑Z： 570-400=170(噸) 17退法著名的我國數(shù)學(xué)家華羅庚指出，善于“退”，足夠地 “退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個決竅。(1) 從復(fù)雜退到簡單千克，還剩下 20 千克。這袋米重多少千克? 后剩 19 2=38( 千克) 所求 40 2=80( 千克) (2) 從一般退到特殊例 2 一只輪船往返于甲、乙碼頭一次，問：靜水中航行所花時間長，還是流水中航行所花時間長，還是所花時間一樣長。這樣的問題，一時很難作出解答。我們可以把問題足夠地“退”，“退”到一種非常特殊的情況： 假定船速等于水速， 船在逆水航行時將停止不前。這就是說，船無論花費多長時間，也無法在這樣的流水中完成兩碼頭之間的往返航行。而在靜水中航行的話，往返一次所花時間總是“往”(或“返”) 時的 2 倍。因此在流水中花的時間最長。如 時速 3 千米的一只小船，往返一段12 千米的行程。如果水時速1 千米，需幾小時 ?若是靜水，需幾小時 ? (3) 從抽象退到具體此題比較抽象， 且由于“標(biāo)準(zhǔn)量 ”、“比較量 ”前后變化， 增加了題目難度。把它從抽象退到具體，不妨假設(shè)女生人數(shù)是30(所設(shè)數(shù)是 3 的倍數(shù)簡18奧數(shù)難題：割補法還少 2 噸，這時，正好運完。這批貨共幾噸? 這批貨是 10 噸。19統(tǒng)一單位12 臨時