2020-2021學年度湖北省武漢市高三四月調(diào)研測試數(shù)學理試題及答案

1、高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試理科數(shù)學一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的 .51.復數(shù) 5 的共軛復數(shù)是（ ）i2A 2 i B 2 i C 2 i D 2 i2.已知集合 M x|x2 1， N x|ax 1，若 N M ，則實數(shù) a的取值集合為（）A1 B 1,1 C1,0D1, 1,03. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t 2,2 ，則輸出的 S 屬于（）A 4,2B 2,2 C 2,4D 4,04. 某幾何體的三視圖如圖所示，則在該幾何體的所有頂點中任取兩個頂點，它們之間距離的最大值為（）A 3B 6C2

2、 3D 2 65. 一張儲蓄卡的密碼共有 6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從 0: 9中任選一個， 某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼最后一位數(shù)字，如果任意按最后一位數(shù)字，不超過2 次就按對的概率為（）AB3 CD101106. 若實數(shù) a，b滿足 a b 1，m log a (log a b ) ， n (logab)2，l log a b2 ，則 m，n，l的大小關系為（ ）A m l nB lC n l m D7.已知直線 y kx 1 與雙曲線2y2 4 的右支有兩個交點，則k 的取值范圍為（）A (0,B1, 25 C (D(1, 25)8.在 ABC中，角 A、 B、C的對應邊分別為

3、a，b， c，條件p：bca2，條件 q：A B C ，那2么條件 p 是條件 q 成立的（A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件1 6 59.在 （x1）6 的展開式中，含 x5項的系數(shù)為（xA 6B6C24D2410.若 x ，y 滿足x12y12，則 M 2x2 y2 2x 的最小值為A 2B2C 4D 4119）11.函數(shù)f(x) 2sin( x3)(0）的圖象在 0,1 上恰有兩個最大值點，則的取值范圍為（ ）A 2,4 B2 ,92 )C13 ,25 )66D2256)12.過點P（2, 1）作拋物線4y 的兩條切線，切點分別為 A，B，PA，PB分別

4、交 x 軸于 E， F 兩點，O為坐標原點，則PEF 與 OAB 的面積之比為（3D1C3B3 A、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分，共 20分.13.已知 sin2cos，則 sincos rrrrrrrr3，crrrrrrr14.已知向量a，b ， c滿足 a b2c 0 ，且1 ， b2，則ab2a c2b c 15.已知 x( 2 ,2)，y f (x)1為奇函數(shù)，f '(x) f(x) tanx0，則不等式f (x)cosx的解集為16.在四面體ABCD 中，AD DB ACCB1，則四面體體積最大時，它的外接球半徑R三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明、證明

5、過程或演算步驟.第 17題第 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答 .第 22 題第 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答一）必考題：共 60 分 .17.已知正數(shù)數(shù)列 an 滿足： a1 2， an an 12n 1an an 12 (n2).1）求 a2， a3；2)設數(shù)列 bn 滿足 bn (an 1)2n2 ，證明：數(shù)列 bn 是等差數(shù)列，并求數(shù)列 an 的通項 an.18.如圖，在棱長為 3的正方體 ABCDA1B1C1D1中， E，F(xiàn) 分別在棱 AB，CD上，且 AE CF 1.1）已知 M 為棱 DD 1上一點，且 D1M 1，求證： B1M 平面 A1EC1.2）求直線 FC1

6、與平面 A1EC1 所成角的正弦值 .19.已知橢圓 ：22x y1，過點 P（1,1）作傾斜角互補的兩條不同直線 l1，l2，設 l1與橢圓 交于 A、B兩點， l2與橢圓交于C， D兩點.AB ，求 的取值范圍 .CD（1）若 P（1,1）為線段 AB的中點，求直線 AB 的方程；（2）記20.在某市高中某學科競賽中，某一個區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示1）求這 4000 名考生的競賽平均成績 x （同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表） ；2）由直方圖可認為考生競賽成績 z服正態(tài)分布 N（ , 2），其中 ， 2 分別取考生的平均成績 x和考生成績的方差 s2 ，那么該區(qū) 4000名

7、考生成績超過 84.41分（含 84.81分）的人數(shù)估計有多少人？3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取 4 名考生，記成績不超過 84.81分的考生人數(shù)為 ，求 P( 3).(精確到 0.001) 附： s2 204.75 ， 204.75 14.31； z: N( , 2) ，則 P(z ) 0.6826， P( 2 z 2 ) 0.84134 0.501.21.已知函數(shù) f (x) xex a(ln x x)， a R.(1)當 a e時，求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間；(2)若 f(x) 有兩個零點，求實數(shù) a 的取值范圍 .(二)選考題：

8、共 10 分 .請考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第 寫清題號 .22.選修 4-4 ：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系 xOy中，以坐標原點 O為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，x 3cos(cos 2sin ) 10， C 的參數(shù)方程為( 為參數(shù)， R).y 2sin(1)寫出 l 和 C的普通方程；(2)在 C上求點 M ，使點 M 到 l的距離最小，并求出最小值 . 23.選修 4-5 ：不等式選講 已知 f (x) ax 2 x 2 .(1)在 a 2時，解不等式 f(x) 1；0.9544；題記分.作答時請l 的極坐標方程為(2)若關于 x的不等

9、式 4 f(x) 4對x R恒成立，求實數(shù) a的取值范圍 .高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試1-5: BDABC6-10: BDABD11、12：CC二、填空題13.214.1315.(0, )16. 15526三、解答題17.(1）由已知a2 a132，而a1 2 ，a2 a1a2222 22 32(a222) ，即 a222a23 0 .、選擇題3.而 a2 0 ，則理科數(shù)學參考答案又由 a3a25 2 ，a23，a3 a22 a395 2(a3 3) ，即 a322a38 0 .而 a30，則 a3 4. a23，a3 4.（ 2）由已知條件可知： an22 an 12(anan 1) 2n 1

10、， (an1)2(an 1 1)2 n2 (n1)2，則 (an1)2n2 (an 1 1)2 (n1)2(a31)222(a21)2120，而 bn(an1)2 n2 ， bn0，數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 . (an1)2n2 .而 an 0，故 ann1.18.解：（1）過 M 作 MTAA1于點 T ，連 B1T ，則 A1T易證：AA1E A1B1T ，于是AA1EA1B1T .由 A1B1TA1TB1 90o ，知AA1EA1TB 1 90o，a2 A1E B1T .顯然 MT面 AA1 B1B ，而 A1E 面 AA1B1B ， MTA1E ，又 B1T I MT T ， A1E面

11、MTB ， A1E MB1 .連 B1D1 ，則 B1D1 A1C1.又 D1MA1C1 ， B1D1I D1M D1 ， A1C1面 MD1B1 ， A1C 1MB1.由 A1EMB1 ， A1C1 MB1， A1EI A1C1A1， B1M面 A1EC1.2）在D1C1 上取一點 N ，使 ND1 1 ，連接EF .易知 A1E/ /FN . V A1 EFC1VNEFC 1VE NFC11 S NFC 3NFC1311113(12 2 3)3 3.對于 A1EC1 ，A1C1A1E 10 ，而 EC1 22 ，由余弦定理可知 cosEA1C110 18 222 10 3 21.20 .

12、A1EC1 的面積 S12 A1C1A1E sinEA1C3 2 10 19203 192由等體積法可知 F 到平面 A1EC1 之距離h滿足13SA1EC1h VA1 EFC1 ，則 13 32 19 h3 ， h619 ，又 FC110 ，設 FC1與平面 AEC1 所成角為 ， sin6 19106 3 190190 9519.解：1）設直線AB 的斜率為 k tan ，方程為y 1 k(x 1) ，代入 x2 2y24 中， x22kx (k1)2 4 0.2 2 22k2)x2 4k(k 1)x 2(k 1)2 4 0.判別式 4(k 1)k2 4(2k2221)2( k 1)2 4

13、 8(3k2 2k 1).設 A(x1,y1)，B(x2, y2)，x1 x24k(k 1)2k 2 1x1x22(k 1)2 42k 2 1 AB 中點為 (1,1)，12(x1x2) 22kk(k2 11)1，則k 12直線的AB 方程為 y 112(x1)，即 x 2y 1 0 .2）由（ 1）知 AB 1 k2x1x2x1 x2)2 4x1x21 k2 8(3k2 2k 1) 2k2 1設直線的 CD 方程為 y 1 k（x1)(k 0).同理可得 CD 1 k2 8(23k2 2k 1) .2k2 1AB CD3k2 2k 10).3k22k 1214k143k2 1 2k 1 3k

14、 1 2k令 t 3k 1 ，k則 g(t) 1t 42 ， t ( ,2 3 U2 3,t2g(t)在(, 2 3 ， 2 3,）分別單調(diào)遞減 2 3g(t) 1 或1 g(t)2 3 .故 2 32 1或 122 3 .6262即2 ,1) U (1, 2.20.解：（1）由題意知：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1 x 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5 ， 4000名考生的競賽平均成績 x為 70.5分.(2)依題意 z服從正態(tài)分布 N( , 2)，其中x 70.5 ，2D204.75

15、 ，14.31，22 z 服從正態(tài)分布 N( , 2) N (70.5,14.31 2 ) ，而 P(z ) P(56.19 z 84.81) 0.6826， P(z1 0.682684.81)0.1587.2競賽成績超過 84.81分的人數(shù)估計為 0.1587 4000 634.8 人 634 人.( 3)全市競賽考生成績不超過84.81分的概率 10.15870.8413而:B(4,0.8413) ， P(3) 1 P(4) 144C44 0.8413 4 10.5010.499.21.解：( 1)定義域為：(0,)，當a e時， f '(x) (1 x)(xex e).x f(x

16、) 在(0,1)時為減函數(shù)；在 (1, )時為增函數(shù) .(2)記 t lnx x，則 t lnx x在(0, )上單增，且 t R. f (x) xex a(ln x x) et at g(t). f(x) 在 x 0上有兩個零點等價于 g(t) et at在 t R上有兩個零點 .在 a 0時， g(t) et在R上單增，且 g(t) 0，故 g(t )無零點；在 a 0時， g'(t) et a 在 R上單增，又 g(0) 1 0，11ag( ) ea 1 0，故 g(t)在 R上只有一個零點；a在 a 0時，由 g'(t) et a 0可知 g(t)在 t ln a時有唯

17、一的一個極小值 g(ln a) a(1 lna).若0 a e，g最小 a(1 ln a) 0， g (t )無零點；若a e， g最小 0， g(t)只有一個零點；若 a e時， g最小 a(1 ln a) 0 ，而 g(0) 1 0 ，lnx由于 f(x) 在 x e時為減函數(shù)，可知： a e時， ea ae a2.sin .從而 g(a) ea a2 0 ，綜上討論可知：a e時 f(x) 有兩個零點，即所求 a的取值范圍是 (e, ). g(x) 在 (0,ln a) 和 (lna, ) 上各有一個零點sin10 0 ，及22.解：( 1)由 l ： cosx cos ， yl 的方程為 x 2y 100.由 x 3cos ， y 2sin，消去2 得 x2 得92y241.2)在 C上取點 M (3cos3cos 4sin 10cos其中sin35，40時，此時 3sin23.解：在x在x,2sin)，則5 5cos(0)10 .d 取最小值 53co