一次函數(shù)與三角形面積

1、一次函數(shù)相關(guān)的面積問題一次函數(shù)相關(guān)的面積問題思路：畫出草圖，把要求的圖形構(gòu)建出來，根據(jù)面積公式，把直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)計算出來，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成線段，代入面積公式求解。規(guī)則圖形 （公式法）不規(guī)則圖形 （切割法）不含參數(shù)問題含參數(shù)問題 （用參數(shù)表示點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化成線段）注意：坐標(biāo)的正負(fù)、線段的非負(fù)性。求面積時，盡量使底或高中的一者確定下來（通過對圖像的觀察，確定底和高） ，然后根據(jù)面積公式，建立等式。1、求直線 y = -2x +4，y = 2x -4 及 y 軸圍成的三角形的面積。2、已知正比例函數(shù) y = 2x 與一次函數(shù) y = x +2 相交于點(diǎn) P，則在 x 上是否存在一點(diǎn) A，使 SPOA=

2、4?若存在，求出點(diǎn)有坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。3、如下圖，一次函數(shù)的圖像交正比例函數(shù)的圖像于 M 點(diǎn)，交 x 軸于點(diǎn) N（-6，0） ，已知點(diǎn) M 在第二象限，其橫坐標(biāo)為-4，若 SNOM=15，求正比例函數(shù)的解析式。NyMOx4、如圖，直線1l 的解析表達(dá)式為33yx ，且1l 與x軸交于點(diǎn)D，直線2l 經(jīng)過點(diǎn)AB，直線1l ，2l 交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求直線2l 的解析表達(dá)式；（3）求ADC的面積；（4）在直線2l 上存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得ADP與ADC的面積相等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)l1l2xyDO3BCA32（4，0）圖 115、如圖，直線 L 的解析表達(dá)式為 y

3、 = -x +2，且與x軸、y 軸交于點(diǎn)21A、B，在 y 軸上有一點(diǎn) C（0，4） ，動點(diǎn) M 從 A 點(diǎn)以每秒 1 個單位的速度沿 x 軸向左移動。（1）求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）COM 的面積 S 與 M 的移動時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)何值時COMAOB，并求出此時 M 點(diǎn)的坐標(biāo)。OCMAxyB一次函數(shù)（動態(tài)問題）一次函數(shù)（動態(tài)問題）舉一反三：舉一反三：如圖（十二） ，直線 的解析式為，它與軸、軸分別相交于l4yx xy兩點(diǎn)平行于直線 的直線從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方形以每秒 1 個單位長AB、lmOx度的速度運(yùn)動，它與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為 秒（xyMN、t）

4、04t （1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用含 的代數(shù)式表示的面積；AB、tMON1S（3）以為對角線作矩形，記和重合部分的面積為，MNOMPNMPNOAB2S當(dāng)時，試探究與 之2t 42St間的函數(shù)關(guān)系式；在直線的運(yùn)動過程中，當(dāng) 為mt何值時，為面積的？2SOAB516OMAPNylmxBOMAPNylmxBEPF圖十二【答案】解 （1）當(dāng)時，；當(dāng)時，； 0 x 4y 0y 4x (4 0)0 4AB，（，）（2），； 1OMOAMNABONOB，211122OMONtSOM ONt，（3）當(dāng)時，易知點(diǎn)在的外面，則點(diǎn)的坐標(biāo)為,24t POABP()tt，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足即，同理，則F4xtyt ，( 4

5、)F tt，(4)Ett ， 所以24PFPEttt(4- )2MPNPEFOMNPEFSSSSS； 2221111324248822222tPE PFttttt ()()當(dāng)時，解得02t 222115154 4221622Stt ，兩個都不合題意，舍去；當(dāng)時，125052tt ，24t ，解得，22358822Stt 34733tt，綜上得，當(dāng)或時，為的面積的73t 3t 2SOAB516模仿操練：模仿操練：如圖，直線與兩坐標(biāo)軸分別相交于 A.B 點(diǎn)，點(diǎn) M 是線段 AB 上4xy任意一點(diǎn)（A.B 兩點(diǎn)除外） ，過 M 分別作 MCOA 于點(diǎn) C，MDOB 于 D（1）當(dāng)點(diǎn) M 在 AB 上

6、運(yùn)動時，你認(rèn)為四邊形 OCMD 的周長是否發(fā)生變化？并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動到什么位置時，四邊形 OCMD 的面積有最大值？最大值是多少？（3）當(dāng)四邊形 OCMD 為正方形時，將四邊形 OCMD 沿著 x 軸的正方向移動，設(shè)平移的距離為，正方形 OCMD 與AOB 重疊部分的面積為 S試求 S 與的)40 aa（a函數(shù)關(guān)系式并畫出該函數(shù)的圖象EDBCAQP6、在中，ABC現(xiàn)有兩個動點(diǎn),4,5,DBCCD3cm,CRtACcm BCcm點(diǎn)在上，且以P、Q 分別從點(diǎn) A 和點(diǎn) B 同時出發(fā)，其中點(diǎn) P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向終點(diǎn) C 移動；點(diǎn) Q 以 1.25cm/s 的速度

7、沿 BC 向終點(diǎn) C 移動。過點(diǎn) P 作 PEBC 交 AD 于點(diǎn) E，連結(jié)EQ。設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為 x 秒。（1）用含 x 的代數(shù)式表示 AE、DE 的長度；（2）當(dāng)點(diǎn) Q 在 BD（不包括點(diǎn) B、D）上移動時，設(shè)的面積為，求與EDQ2()y cmy的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；xx（3）當(dāng)為何值時，為直角三角形。xEDQ7、如圖 1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在正半軸上，且(0 4 3)A ，Bx動點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒個單位的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)30ABO PABAB3動時間為 秒在軸上取兩點(diǎn)作等邊txMN，PMN（1）求直線的解析式；AB（2）求等邊的邊長（用 的代數(shù)式表示） ，

8、并求出當(dāng)?shù)冗叺捻旤c(diǎn)運(yùn)PMNtPMNM動到與原點(diǎn)重合時 的值；Ot（3）如果取的中點(diǎn)，以為邊在內(nèi)部作如圖 2 所示的矩形，OBDODRtAOBODCE點(diǎn)在線段上設(shè)等邊和矩形重疊部分的面積為，請求出當(dāng)CABPMNODCES秒時與 的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值02tStS（圖 1）yAPMONBx（圖 2）yACODBxE8、兩塊完全相同的直角三角板 ABC 和 DEF 如圖 1 所示放置，點(diǎn) C、F 重合，且BC、DF 在一條直線上，其中 AC=DF=4，BC=EF=3固定 RtABC 不動，讓 RtDEF 沿 CB 向左平移，直到點(diǎn) F 和點(diǎn) B 重合為止設(shè) FC=x，兩個三角形重疊陰影部分的面

9、積為 y（1）如圖 2，求當(dāng) x=時，y 的值是多少？21（2）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) E 移動到 AB 上時，求 x、y 的值；（3）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；9、 （重慶課改卷）如圖 1 所示，一張三角形紙片 ABC，ACB=90,AC=8,BC=6.沿斜邊AB 的中線 CD 把這張紙片剪成和兩個三角形（如圖 2 所示）.將紙11AC D22BC D片沿直線（AB）方向平移（點(diǎn)始終在同一直線上） ，當(dāng)點(diǎn)11AC D2D B12,A D D B于點(diǎn) B 重合時，停止平移.在平移過程中，與交于點(diǎn) E,與1D11C D2BC1AC分別交于點(diǎn) F、P.222C DBC、（1）當(dāng)平移到如圖 3 所示

10、的位置時，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并11AC D1D E2D F證明你的猜想；（2）設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請寫出與的21D Dx11AC D22BC Dyyx函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值；使得重疊部分的面積等于原面xABC積的？若不存在，請說明理由. 14 CBDA圖 1PEFAD1BC1D2C2圖 3C2D2C1BD1A圖 2ACQBP10、已知：如圖，ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q 同時從 A、B 兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿 AB、BC 方向勻速移動，它們的速度都是 1cm/s，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) B 時，P、Q 兩點(diǎn)停止運(yùn)動

11、設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動時間為 t（s） ，解答下列問題：（1）當(dāng) t 為何值時，PBQ 是直角三角形?（2）設(shè)四邊形 APQC 的面積為 y（cm2） ，求 y 與 t 的關(guān)系式；是否存在某一時刻 t，使四邊形 APQC 的面積是ABC 面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的 t 值；不存在，說明理由；三角形面積與函數(shù)解析式的幾種題型一、利用面積求解析式一、利用面積求解析式1、直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 9,則=_.bxy 2b（分類討論）2、已知直線 y=x+3 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，與線段AB 交于點(diǎn) C，把,AOB 的面積分為 2：l 兩部分，求直線

12、名的解析式3、如圖,已知直線 PA：與軸交于 A,與軸交于 Q,另一條直線)0( nnxyxy軸交于 B,與直線 PA 交于 Pxnmmxy與)(2求: (1)A,B,Q,P 四點(diǎn)的坐標(biāo)(用或表示)mn(2)若 AB=2,且S四邊形PQOB=,求兩個函數(shù)的解析式.654、已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，另一條直線2xyxyAB經(jīng)過點(diǎn)，且把分成兩部分bkxy)0(k)0 , 1 (CAOB（1）若被分成的兩部分面積相等，則和的值A(chǔ)OBkb（2）若被分成的兩部分面積比為 1：5，則和的值A(chǔ)OBkb 5、已知一次函數(shù)的圖象與 y 軸、x 軸分別交于點(diǎn) A、B，直線經(jīng)332yx ykxb過 OA 上的

13、三分之一點(diǎn) D，且交 x 軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C，如果，求直線AOBDOCSS的解析式y(tǒng)kxb二、利用解析式求面積二、利用解析式求面積1、直線過點(diǎn) A（1，5）和點(diǎn)且平行于直線，O 為坐標(biāo)原bkxy)5,(mBxy點(diǎn)，求的面積.AOB2、 如圖，所示，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于bkxyABxC求：（1）一次函數(shù)的解析式；（2）的面積AOC3、已知:直線與直線,它們的交點(diǎn) C 的坐標(biāo)是_,設(shè)兩直線42 xy3 xy與軸分別交于 A,B,則 SABC=_,設(shè)兩直線與軸交于 P,Q,則xySPCQ=_.4、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(2,-1),則這兩個函數(shù)的411xkyxky22圖象與軸

14、圍成的三角形面積是_.x5、已知，直線 y=2x+3 與直線 y=-2x-1.(1)求兩直線交點(diǎn) C 的坐標(biāo);(2)求ABC 的面積.(3)在直線 BC 上能否找到點(diǎn) P,使得SAPC=6，若能，請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不能請說明理由。6、如圖，直線 y-x+4 與 y 軸交于點(diǎn) A，與直線 yx+交于點(diǎn) B，且直線345454yx+與 x 軸交于點(diǎn) C，求ABC 的面積。5454BACO7、已知直線ykxb經(jīng)過點(diǎn)A（0，6） ，且平行于直線2yx .（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象；（2）如果這條直線經(jīng)過點(diǎn)P（m，2） ，求m的值；（3）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線OP解析式；（4）求直線y

15、kxb和直線 OP 與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積。3、關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系關(guān)于面積的函數(shù)關(guān)系1、已知點(diǎn) A（x，y）在第一象限內(nèi)，且 x+y=10，點(diǎn) B（4，0） ，OAB 的面積為 S.（1）求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出 x 的取值范圍，并畫出函數(shù)的圖像；（2）OAB 的面積為 6 時，求 A 點(diǎn)的坐標(biāo)；AFEoyx2、如圖，直線與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) E、F，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（-8，0） ，點(diǎn)6ykxA 的坐標(biāo)為（-6，0） 。（1）求的值；k（2）若點(diǎn) P（，）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn) P 的運(yùn)動過程中，試寫xy出OPA 的面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

16、自變量 x 的取值范圍；（3）探究：當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到什么位置時，OPA 的面積為，并說明理由。2784、如圖(1),在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm,點(diǎn) P 從 A 出發(fā), 沿 ABCD 路線運(yùn)動,到 D 停止;點(diǎn) Q 從 D 出發(fā),沿 DCBA 路線運(yùn)動,到 A 停止. 若點(diǎn) P、點(diǎn) Q 同時出發(fā),點(diǎn) P 的速度為 1cm/s,點(diǎn) Q 的速度為 2cm/s,as 時點(diǎn) P、點(diǎn) Q 同時改變速度,點(diǎn) P 的速度變?yōu)?bcm/s,點(diǎn) Q 的速度變?yōu)?dcm/s .圖(2)是點(diǎn) P 出發(fā) x 秒后APD 的面積 S1(cm2)與x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象;圖(3)是點(diǎn) Q 出發(fā) x

17、秒后AQD 的面積 S2(cm2)與 x(s)的函數(shù)關(guān)系圖象.(1)參照圖(2),求 a、b 及圖(2)中 c 的值;(2)求 d 的值;(3)設(shè)點(diǎn) P 離開點(diǎn) A 的路程為 y1(cm),點(diǎn) Q 到 A 還需走的路程為 y2(cm), 請分別寫出動點(diǎn) P、Q 改變速度后 y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動時間 x(s)的函數(shù)關(guān)系式,并求出 P、Q 相遇時x 的值;(4)當(dāng)點(diǎn) Q 出發(fā)_s 時,點(diǎn) P、點(diǎn) Q 在運(yùn)動路線上相距的路程為 25cm.42-2-4-55QPOA(1)PQCBADx(秒)(2)20840caOS1(cm2)x(秒)(3)2240OS2(cm2)8如圖，直線l1過A（0，2） ，B（2，0）兩點(diǎn)，直線l2：ymxb過點(diǎn)（1，0） ，且把AOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)的那部