一元一次方程及解法(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元一次方程及解法撰稿：占德杰責編：趙煒一、目標認知學(xué)習(xí)目標：經(jīng)歷“把實際問題抽象為數(shù)學(xué)方程”的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效的數(shù)學(xué)模型，了解一元一次方程及其相關(guān)概念，認識從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步。通過觀察、歸納得出等式的性質(zhì)，能利用它們探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目標（使方程逐步轉(zhuǎn)化為x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想。重點：一元一次方程的解法難點：一元一次方程的解法二、知識要點梳理知識點一：方程的概念1、含有未知數(shù)的等式叫做方程. 2、使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

2、 3、求方程的解的過程叫做解方程。4、方程的兩個特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）。知識點二：一元一次方程的概念1、概念：只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的標準形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)，“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，應(yīng)從以下幾點理解此概念：（1）方程中的未知數(shù)的個數(shù)是1。例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因為未知數(shù)的個數(shù)是兩個，而不 是一個。（2）一元一次方程等號的兩邊都是整式，并且至少有一邊是含有未知數(shù)的整式。例如方程， 其中不是整式，所以它不是一元一次方程

3、。（3）未知數(shù)的次數(shù)是1，如x2+2x-2=0, 在x2項中，未知數(shù)的次數(shù)是2，所以它不是一元一次方程。2、判定：判斷一個方程是不是一元一次方程應(yīng)看它的最終形式，而不是看原始形式。（1）如果一個方程經(jīng)過去分母、去括號、移項、合并同類項等變形能化為axb(a0)， 或axb0(a0)，那么它就是一元一次方程；否則就不是一元一次方程。（2）方程axb或axb0，只有當a0時才是一元一次方程；反之，如果明確指出方程axb或 axb0是一元一次方程，則隱含條件a0.例如方程3x2+5=8x+3x2，化簡成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一個未知數(shù)x，且x的次數(shù)是一次，

4、但化簡后為0x=0，不是一元一次方程。知識點三：等式的性質(zhì)1、等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式。2、等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。即：如果，那么；(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。即：如果，那么；如果，那么在對等式變形時，應(yīng)注意如下幾個方面：(1)根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行，同時加或減、同時乘或除以， 不能漏掉某一邊，并且兩邊加或減、乘或除以的數(shù)必須相同(2)等式性質(zhì)1中，強調(diào)的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定

5、成立， 如x0中，兩邊加上得x，這個等式不成立。(3)等式的性質(zhì)2是等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，因忽略除數(shù)不為0這 一條件而導(dǎo)致出錯，特別是等式的兩邊除以一個式子時，更應(yīng)注意這一條件。 知識點四：合并同類項與移項1、合并同類項：將方程中含有相同字母（字母的指數(shù)也相同）的項進行合并，把一元一次方程變形為：的形式，然后利用等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時除以a，從而得到：2、移項：將方程中的某項改變符號后從一邊移到另一邊，叫做移項. 移項實際上是在方程的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或同一個整式）.要點詮釋：（1）移項的目的：將含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，常數(shù)項都移到方程

6、的另一邊。 這樣我們就能夠合并同類項，而使方程變形為的形式，再將方程兩邊同 時除以a，使x的系數(shù)化為1，得到，即為方程的解。具體過程如下：（2）移項的理論依據(jù)是等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；（3）移項法則“移項必變號”，即移項要變號，不變號不能移項。知識點五：去括號與去分母1、去括號：方程中含有括號時，解方程過程中把括號去掉的過程叫做去括號。 去括號時注意以下兩點：（1）不要漏乘括號內(nèi)的項；（2）注意“+”“-”的改變，即去掉括號后要注意各項（原括號內(nèi)）的符號變化情況。2、去分母：含分數(shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個數(shù)（各分母的最小公倍數(shù)），使方程中的分母為1，這

7、樣的變化過程叫做去分母。去分母時注意以下兩點：（1）不要漏乘不含分母的項；（2）分子是一個整體，去分母后應(yīng)加上括號。知識點六：解一元一次方程的一般步驟解一元一次方程的一般步驟：（1）去分母方程兩邊都乘各系數(shù)分母的最小公倍數(shù)；具體做法為：在方程的兩邊都乘以各分母的 最小公倍數(shù)。要注意不要漏掉不含分母的項，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就錯了， 因為方程右邊忘記乘以6，造成錯誤。（2）去括號利用乘法對加法的分配律去掉括號；按照去括號法則先去小括號，再去中括號，最后 去大括號。特別注意括號前是負號時，去掉負號和括號，括號里的各項都要變號。括號前有數(shù)字 因數(shù)時要注意使用分配律。（3）移項把

8、含未知數(shù)的項移到方程的一邊，常數(shù)項移到另一邊，移項要變號。（4）合并同類項把方程化為axb（a0）的形式. （5）系數(shù)化為1在方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=.注： (1)解方程時，上述步驟中有些變形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據(jù)方程形式 靈活安排求解步驟。熟練后，步驟及檢驗還可以合并簡化。(2)去分母是為了簡化運算，若不使用，也可進行分數(shù)的運算。(3)去括號時，若括號前為“”號，括號內(nèi)各項要改變符號。(4)方程是含有未知數(shù)的等式，所以方程也具有等式的性質(zhì)，可以應(yīng)用等式的性質(zhì)解較簡單的一元一次 方程，步驟一般有兩步： 方程兩邊同時加(或減)同一個數(shù)。 方程兩邊

9、同時乘(或除以)同一個不為0的數(shù)。例如，解方程：3x+5=2解：兩邊都減5，得3x= -3兩邊同時除以3，得x= -1三、規(guī)律方法指導(dǎo)從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部來看，整式及其加減運算是一元一次方程的預(yù)備知識；而從應(yīng)用的角度來看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接通過本章學(xué)習(xí)，不僅可以復(fù)習(xí)有理數(shù)運算和合并同類項、去括號等整式加減運算的內(nèi)容，而且可以進一步體會看似抽象的整式運算在解決實際問題中的用處，從而加深對相關(guān)內(nèi)容的理解并且結(jié)合方程的解法復(fù)習(xí)已學(xué)過的整式的知識，深刻認識數(shù)、式與方程間的聯(lián)系與區(qū)別經(jīng)典例題透析類型一：一元一次方程的概念1判斷下列各式是不是方程？如果是方程，指出已知數(shù)和未知數(shù)，并指出是不是

10、一元一次方程；如果不是，說明為什么？（1）2x15；（2）4812；（3）5y8；（4）2a3b0；（5）6a25x4；（6）2x2x1；（7）x21； （8）ax2a3. 思路點撥：方程是含有未知數(shù)的等式，只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程；方程是等式，兩個代數(shù)式用等號連接起來就是等式,但等式不一定是方程；方程、等式都含有等號，而代數(shù)式不含等號.解：（1）是方程. 2、1、5是已知數(shù)，x是未知數(shù)，且是一元一次方程；（2）不是方程. 因為等式中不含未知數(shù)；（3）不是方程. 因為它是代數(shù)式，而不是等式；（4）是方程. 2、3、0是已知數(shù)，a、b是未知數(shù)，因

11、為含有兩個未知數(shù)，所以不是一元一次方程；（5）不是方程. 因為它是代數(shù)式，而不是等式；（6）是方程. 2、1是已知數(shù)，x是未知數(shù)，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是2，所以不是一元一次方程；（7）不是方程. 因為它不是等式；（8）是方程. 當a是未知數(shù)時，x、2、3是已知數(shù)，且當時，是一元一次方程； 當x是未知數(shù)時，a、2a、3是已知數(shù)且當時，是一元一次方程； 當a、x是未知數(shù)時，2、3是已知數(shù)，不是一元一次方程。. 總結(jié)升華：（1）化簡后未知數(shù)系數(shù)為零時，則此含有未知數(shù)的等式不是方程，如2x132x就不是方程；（2）方程的已知數(shù)包括它前面的符號，當未知數(shù)的系數(shù)是1時，省略的1可看作已知數(shù)，但是一般不寫出

12、，如本例中的（6），x的系數(shù)為1，在寫已知數(shù)時，也可以不寫.舉一反三：變式下列四個方程中，一元一次方程是 （ ）A. x2-1=0 B. x+y=1 C. 12-7=5 D. x=0答案：D類型二：方程的解2檢驗題后面括號里的數(shù)是不是前面方程的解。3y12y1(y2，y4)思路點撥：判斷一個數(shù)是否是方程的解，把這個數(shù)代入方程的兩邊，若方程兩邊相等，則該數(shù)是方程的解；若方程兩邊不相等，則不是方程的解。解：把y2代入方程3y12y1的兩邊，左邊3×215，右邊2×215，左邊右邊，所以y2是方程3y12y1的解。把y4代入方程3y12y1的兩邊，左邊3×4111，右邊

13、2×419，左邊右邊，所以y4不是方程3y12y1的解。舉一反三：變式1（2011廣東湛江）若是關(guān)于的方程的解，則的值為_.答案：-1變式2關(guān)于x的方程ax+3= 4x+1的解為正整數(shù)，則a的值是（ ）A. 2 B3 C2或3 D1或2答案：C類型三：解一元一次方程3解方程：93x5x5思路點撥：可將右邊的5x變號后移到左邊，將左邊的9變號后移到右邊，然后合并化成左邊是含有未知數(shù)的項，右邊是常數(shù)項的方程. 解：93x5x5移項，得3x5x59合并，得8x4系數(shù)化為1，得x總結(jié)升華：解方程時經(jīng)常要“合并”和“移項”，目的是將方程逐步變成axb（a0）的形式，然后利用等式的性質(zhì)，化系數(shù)為

14、1，最終求得未知數(shù)x的值；應(yīng)該特別注意移項要變號，合并則是將所有含相同字母的項的系數(shù)相加.舉一反三：變式解方程：4x=18-2x分析：利用等式的性質(zhì)1，等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。 等式的性質(zhì) 2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。解：根據(jù)等式的性質(zhì)1，在方程兩邊同時加上2x4x+2x=18-2x+2x6x=18根據(jù)等式的性質(zhì)2，在方程兩邊同時除以6，得x=34解方程思路點撥：本題考查去分母的過程，注意不要漏乘方程中的每一項。解：去分母，得4(2x1)4(2x+5)=3(6x7)12去括號，得8x48x2018x2112移項，得8x8x18x2112

15、+4+20合并同類項，得18x9系數(shù)化為1，得x?？偨Y(jié)升華：解一元一次方程的基本思路是把未知數(shù)移到等號的一邊，把常數(shù)項移到等號的另一邊，最后把系數(shù)化成1. 這一過程中注意三點：去括號要依據(jù)符號法則，特別是括號前是負號的情況；移項要變號；去分母時，方程各項都要乘分母的最小公倍數(shù). 舉一反三：變式解方程：解：去分母，得 去括號，得 移項，得 合并同類項，得 系數(shù)化1，得 5解方程x-2x-3(x+4)-6=1思路點撥：方程特點是含有多重括號，去括號時從小括號開始由里向外一層一層去。解：去括號，得x-2x-3x-12-6=1x-2-2x-18=1x+4x+36=1移項，得x+4x=1-36化簡，得5

16、x=-35系數(shù)化為1，得x=-7舉一反三：變式答案：x=5類型四：一元一次方程的綜合應(yīng)用6已知方程是關(guān)于x的一元一次方程；（1）求m的值。（2）寫出關(guān)于x的一元一次方程（3）并解（2）中的方程。解析：（1）根據(jù)一元一次方程的定義，可知 m2。（2）把m2代入原方程得，4x+37（3）4x+37， 兩邊同減，得：4x7 兩邊同除以，得：x7對于有理數(shù)a，b，c，d，規(guī)定一種運算adbc，如1×(2)0×22。那么25時，寫出關(guān)于x的一元一次方程，并解此方程。分析：由題中可看出的運算方式是對角線位置的數(shù)的乘積的差，所以25變形為2×5(4)×(3x)25。解

17、析：25可以化為2×5(4)×(3x)25，即4x30。移項，化簡得：x=-3/48關(guān)于x的方程3x-4= a-bx有無窮多個解，則a=_ ,b=_.解析：由3x-4= a-bx，得：（3+b）x=a+4要使此方程有無窮多個解，則有：所以a= -4, b= -3學(xué)習(xí)成果測評基礎(chǔ)達標：一、選擇題：1下列各式中，是方程的一共有（ ） ； （A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）5個2下列方程中，一元一次方程一共有（ ） ； （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個3如果是方程的解，那么的值（ ）（A） （B）5 （C） 1 （D）4關(guān)于x的方程的解為（ ）（A） （B）

18、 （C） （D） 二、填空題1（2011遵義）方程的解為_2若，則_。3若方程與方程的解相同，則_。4若和方程的解相同，那么_。三、解方程（1）0.48x6 = 40.02x（2）5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)（3） （4）（5） （6）答案與解析：一、 1C 、B 3、 A 4、 D 解析：第1題：考查方程的概念，含有未知數(shù)的等式叫做方程。其中是一般等式， 是不等式， 其余都是方程。注意方程中的未知數(shù)不必都用x表示。第2題：考查一元一次方程的定義。其中經(jīng)過化簡可知是一元一次方程。 是二元一次方程，是一元二次方程，是分式方程。第3題：考查方程的解的概念。把代入方程就可求出。第

19、4題：這是關(guān)于未知數(shù)的方程，其中字母，應(yīng)看成已知數(shù)。通過移項，合并即可。二、 、 3、-3 4、6解析：第1題：考查解方程，直接求解即可。第2題：考查平方和絕對值的非負性，由題意得：，即可求出。第3題：考查方程的解的概念。由題意得出的解為，把它代入即 可求出的值。第4題：考查方程的解得概念。同第題。三、（1）解：移項得：0.48x+0.02x = 4+6 合并同類項得： 0.5x = 10 系數(shù)化為1得： x = 20（2）解：去括號，得 5x-6x-3+7x=6x-20+12x, 移項，得 5x-6x+7x-6x-12x=-20+3 合并同類項，得 -12x=-17, 系數(shù)化為1，得 x=啟

20、發(fā)：方程中帶有括號，先設(shè)法去掉括號。對于有多重括號的方程，應(yīng)先去小括號，再去中括號，最后去大括號，運用分配律去括號時，注意符號不要標錯，并且不要漏乘括號中的項。移項時，要注意變號,最好別跳過移項這一步，因為將移項和合并同類項同步完成，很容易產(chǎn)生錯誤。（3）解：去分母得：5y1 = 14 移項得：5y = 14+1 合并同類項得：5y = 15 系數(shù)化成1得：y = 3（4）解：去分母得：4(2x1)3(5x+1) = 24 去括號得：8x415x3 = 24 移項得：8x15x = 24+4+3 合并同類項得：7x = 31 系數(shù)化成1得：（5）解：原方程可化為： 去分母得： 去括號，移項與合

21、并同類項得： 系數(shù)化成1得：啟發(fā)：分數(shù)線除了可以代替除號“÷”(表示“分子÷分母”；也可以說代替“：”，表示“分子：分母”)以外，還起著括號的作用，分子如果是一個代數(shù)式，應(yīng)該看作一個整體，在去分母時，不要忘了將分子作為一個整體加上括號。（6）解：方程兩邊同乘以5，得 移項，得 方程兩邊同乘以4，得 移項，得 方程兩邊同乘以3，得 移項，得 x=-2啟發(fā)：解這種方程，如果從內(nèi)向外采用乘法對加法的分配律去括號，非常麻煩，這里根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，利用等式的性質(zhì)2，在去掉一個分母的同時，即去掉一個括號，如此進行，并不費力。能力提升：一、選擇題：1、（2011湖北荊州）對于非零的兩個實數(shù)、，規(guī)定，若，則的值為ABCD2、一元一次方程2(3x4) =5(x2)的解是 ( )A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x =23、單項式2ab2m+3與4ab4m1是同類項則m等于 ( )A. 4 B. 3 C. 1 D. 24、方程(1) (2) 2(x +1) = 4 (3) (4) 3x4+2x = 4x3中， 解相同的是 ( )A. (1)