直線與橢圓位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

1、精品教學(xué)教案直線與橢圓的位置關(guān)系（教學(xué)案例）一、教學(xué)目標(biāo)1.理解直線與橢圓的各種位置關(guān)系，能利用方程根的判別式來(lái)研究直線與橢圓的各種位置關(guān)系；2.掌握和運(yùn)用直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)公式；3.初步掌握與橢圓有關(guān)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、垂直等問(wèn)題的一些重要解題技巧；4.進(jìn)一步樹(shù)立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等重要數(shù)學(xué)思想.二、重點(diǎn)難點(diǎn)利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系和有關(guān)弦長(zhǎng)等問(wèn)題.三、教學(xué)方法導(dǎo)學(xué)討論式，多媒體課件輔助教學(xué).四、教學(xué)過(guò)程（一）設(shè)置情境導(dǎo)入新課在初中已經(jīng)研究過(guò)直線與圓的各種位置關(guān)系，通常用圓心到直線的距離的變化來(lái)判斷直線與圓的各種不同的位置關(guān)系.但這種方法能

2、用于直線與橢圓的位置關(guān)系的討論嗎？不能！那么怎么辦？將兩個(gè)方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x (有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于y) 的一元二次方程來(lái)研究、討論.而我們對(duì)一元二次方程是比較熟悉的，那么今天就是用熟悉的“武器”來(lái)研究、討論、解決陌生的直線與橢圓的位置關(guān)系及其有關(guān)問(wèn)題.（二）探索研究問(wèn)題 1： 當(dāng)實(shí)數(shù) m 分別取何值時(shí)，直線l： y=x+m 與橢圓 9x2+16y2=144 相交、相切、相離？分析：將直線和橢圓的方程聯(lián)立，得關(guān)于x 的一元二次方程25x2+32mx+16m2-144=0 ， =576(25- m 2)，當(dāng) (1) >0，即 -5<m<5 時(shí)，直線 l 與橢圓相交；(2

3、)=0，即 m=5，或 m= -5 時(shí)，直線 l 與橢圓相切；(3)<0，即 m< -5 ，或 m>5，時(shí)，直線 l 與橢圓相離 .將曲線位置關(guān)系的研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的討論的問(wèn)題，這是本節(jié)課的核心。 在不同的范圍內(nèi)取值時(shí)，決定了直線與橢圓的不同的位置關(guān)系，體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的哲學(xué)思想。問(wèn)題 2：過(guò)橢圓 x 2y 21 內(nèi)一點(diǎn) M(2 ，1)作橢圓的弦，點(diǎn)M 恰為該弦的中點(diǎn)，求164該弦所在直線 l 的方程 (如圖 )。分析一：設(shè) l： y-1=k( x-2)交橢圓于點(diǎn) A( x1， y1) 、B(x2， y2)，精品教學(xué)教案ylA·MxOB將直線方程代入橢圓方程化

4、為x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)-16=0.則由韋達(dá)定理得 ，故所求直線方程為x+2y-4=0.這個(gè)方法是最基本、最常規(guī)、最通用，也是最重要的方法，必須熟練掌握 .韋達(dá)定理在這里發(fā)揮出很大的作用，以后我們還可以發(fā)現(xiàn)它的更大的作用.知識(shí)就是要做到前后連貫，并組成一個(gè)有機(jī)的整體.分析二：同上所設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A 、B 都在橢圓上，則得2216x14 y1x224 y2216經(jīng)觀察知這兩個(gè)式子除了字母的下標(biāo)不同外，其余都相同，將兩式相減，看能得到什么結(jié)果：(x1+x2) (x1-x2)+4(y1+y2) (y1-y2)=0可以知道式中的x1+ x2=4，y1+y2=2，那么得 4 (x1-x2)

5、+8 (y1- y2)=0.根據(jù)上式能得到什么呢？得到直線l 的斜率，則 .、兩式被稱為同構(gòu)式，就是除了字母的下標(biāo)不同外，其余的結(jié)構(gòu)都相同.第一次用同構(gòu)式來(lái)解題，覺(jué)得非常新穎和奇妙，甚至覺(jué)得不可思議，怎么想起來(lái)的呢？這是探索嘗試的結(jié)果 .可是當(dāng)你掌握了這個(gè)方法，并熟練地解決了幾道題后，你就會(huì)覺(jué)得不新鮮了.許多技能技巧都是這樣，一個(gè)生，二回熟，熟能生巧嘛！分析三：設(shè)A( x， y)，則得x2+4y2=16又 M(2 ，1)是AB的中點(diǎn)，所以B(4- x， 2-y)，又點(diǎn)B 也在橢圓上，則得(4-x) 2+4(2- y) 2=16、兩式當(dāng)然不是同構(gòu)式， 怎么辦？回顧在研究求相交兩圓的公共弦所在直線

6、方程時(shí)，用過(guò)什么方法，那么在這里能不能用呢？大膽嘗試！ -化得 沒(méi)有想到在圓中曾用過(guò)的技巧在這里又發(fā)揮了它的威力。分析四：橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是 (0，2)、(4，0)，M(2 ，1)恰為連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，故所求直線即為連結(jié)這兩點(diǎn)的直線 由巧妙的發(fā)現(xiàn)得到巧妙的解法.雖然這里有一定的偶然性，但這是一種機(jī)遇，解數(shù)學(xué)題精品教學(xué)教案時(shí)若發(fā)現(xiàn)和利用題中的某些隱含條件，充分題目給的機(jī)遇，可使解答大大簡(jiǎn)捷.不過(guò)，這到底不是一種通用的常規(guī)解法.問(wèn)題 3 ： 橢圓 C 的焦點(diǎn)分別為F1 (-2，0)、 F2(2， 0)，橢圓 E 以 C 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過(guò)直線x+y-9=0 上的一點(diǎn)P，當(dāng)橢圓E 的長(zhǎng)

7、軸最短時(shí)，求橢圓E 的方程.分析一：如圖，在直線l上求一點(diǎn)P，使P 到直線l外的兩個(gè)已知點(diǎn)A、 B的距離之和BAlPC最短 .在初中時(shí)解過(guò)此題，作點(diǎn)B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱的點(diǎn) C，連 AC 交l 于點(diǎn) P，則 P 為所求之點(diǎn)，即P 到 A 、 B 兩點(diǎn)的距離之和最短 .利用上面的結(jié)論，即可得橢圓E 的方程為 2x22 y 21 .8577貯存在腦中的初中知識(shí)在這里顯示出它的巨大作用.分析二：由已知可設(shè)橢圓E： x2y21 .a2a 24與直線 l 的方程聯(lián)立，化得關(guān)于x 的一元二次方程，由=0 得解 當(dāng)橢圓 E 與直線 l 相切時(shí)，橢圓E 的長(zhǎng)軸最長(zhǎng)，故得上述解法 .問(wèn)題 4： 若橢圓 ax

8、2+by2=1(a>0，b>0)與直線 l ： x+y=1 交于 A 、B 兩點(diǎn)， M 是 AB 的中點(diǎn)，直線 OM 的斜率為 2，且 OA OB(O 為原點(diǎn) )，求橢圓的方程 .分析：欲求橢圓的方程，只要求出a、b 的值，構(gòu)建關(guān)于 a、b 的方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 .為此，設(shè) A( x1， y1) 、B(x2， y2) ，則 M ( x1x2 , y1y2 ) .22OM 所在直線為 y=2x，與直線 AB 的交點(diǎn)為 ( 1 , 2) ，由橢圓與直線l 的方程消去 y 得33(a+b)x2-2bx+b-1=0 ，則由韋達(dá)定理得ab1b3再設(shè)法求得關(guān)于 a、b 的一個(gè)方程，由已知得

9、OA OB0 x1x2+y1 y2=0.再由韋達(dá)定理得a+b=2精品教學(xué)教案解、可得 a4,b2 ，則所求橢圓方程為4x22y 21 .3333在解析幾何問(wèn)題的解答過(guò)程中，往往有比較麻煩的計(jì)算，不應(yīng)該被這種“簡(jiǎn)單的復(fù)雜計(jì)算”擋住了我們的去路，這也是對(duì)我們意志品質(zhì)的考驗(yàn)和鍛煉.問(wèn)題 4 的變式：將直線 OM 的斜率改變?yōu)? ，將條件“ OA OB ”改為“弦 AB2的長(zhǎng) |AB|為 22 ”，求橢圓的方程 .分析一：由弦長(zhǎng)公式得關(guān)于a、 b 的一個(gè)方程 22a bab22 ，ab再由已知得另一個(gè)關(guān)于 a、 b 的一個(gè)方程b22 .a b解此方程組可得所求橢圓方程為1 x22 y21.33分析二：

10、因?yàn)?M 是 AB 的中點(diǎn)，那么 |AM|=|BM|=2 .又點(diǎn) A 、B 都在直線 l 上，所以得 A (12,2)、B(32, 22) .代入橢圓方程即可得解 .（三）課堂練習(xí)蘇教版課課練 P.103 的 T2、 T3.（四）提煉總結(jié)1.解決橢圓與直線的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般是將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問(wèn)題，從而以“數(shù)”為工具解決“形”的問(wèn)題，這種“數(shù)”與“形”之間的互相轉(zhuǎn)換是多種數(shù)學(xué)思想的充分體現(xiàn)；2.在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，首先要努力設(shè)法運(yùn)用常規(guī)的方法，即“通性、通法”，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一條最重要的準(zhǔn)則，所以必須熟練掌握有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并努力做到融會(huì)貫通和靈活運(yùn)用；3.解決這類(lèi)問(wèn)題并不需要多么高的智商，只要基礎(chǔ)比較扎實(shí)，再加上個(gè)人的良好的個(gè)性品質(zhì)，就能做到無(wú)往而不勝（五）作業(yè)布置.蘇教版課課練P.103 的 T 9、T 10.（六）板書(shū)設(shè)計(jì)直線與橢圓一、直線和橢圓的位置關(guān)系二、探索研究三、提煉總結(jié)問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題123變式題練習(xí)題精品教學(xué)教案教學(xué)后記：通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)， 我深刻感受到一份高質(zhì)量的教學(xué)設(shè)計(jì)可以使一節(jié)課事半功倍，教師講的輕松；學(xué)生學(xué)得愉快。而這一切都得益于新的教學(xué)理念：在民主、平等的課堂氣氛中，師生互促、互動(dòng)，學(xué)生集思廣益，攻克一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)堡壘；本節(jié)課的四個(gè)問(wèn)題的各種解法，完全是由學(xué)生各