數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春30學習教案

1、會計學1數(shù)理方程數(shù)理方程(fngchng)與特殊函數(shù)楊春與特殊函數(shù)楊春30第一頁，共175頁。2數(shù)學物理(wl)方程總復習本次課主要(zhyo)內(nèi)容一、偏微分方程理論與分離(fnl)變量法二、 行波法與積分變換法三、 格林函數(shù)、貝塞爾函數(shù)、勒讓得多項式第1頁/共174頁第二頁，共175頁。31、定解問題(wnt)的建立2、方程(fngchng)的化簡4、函數(shù)(hnsh)(一)、偏微分方程理論一、偏微分方程理論與分離變量法3、二階線性偏微分方程理論第2頁/共174頁第三頁，共175頁。41、定解問題(wnt)的建立 寫出定解問題(wnt)，需要建立偏微分方程、寫出邊界條件(包括銜接條件，自然條件

2、）和初始條件。 建立偏微分方程的主要(zhyo)方法是微元法(1).明確物理過程與研究對象(待研究物理量);(2).進行微元分析； 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達這種作用。第3頁/共174頁第四頁，共175頁。5如何(rh)寫出三類邊界條件？(1)、明確(mngqu)環(huán)境影響通過的所有邊界；(2)、分析邊界所處(su ch)的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫出表達邊界狀況的表達式。(3).化簡、整理算式。第4頁/共174頁第五頁，共175頁。6例1 一根半徑為r,密度為，比熱為c，熱傳導系數(shù)為k的勻質桿。如果同截面上的溫度(wnd)相同，其側面與溫度(wnd)為u1的介質

3、發(fā)生熱交換，且熱交換系數(shù)為k1.求桿上溫度(wnd)滿足的方程解：物理量為桿上溫度(wnd)u(x,t),取微元x,x+dxx+dxxx在dt時間里，微元段獲得(hud)的熱量為：(, )( , )xxk uxdx t Sux t S dt第5頁/共174頁第六頁，共175頁。7該熱量(rling)一部分Q1用于微元段升溫，另一部分Q2從側面流出1tQc Sdxu dt211()2Qk uurdxdt所以，微元段滿足(mnz)的方程為：(, )( , )xxk uxdx t Sux t S dt11()2tc Sdxu dtk uurdxdt112()xxtkkuuuucc r所以(suy)，

4、方程為：第6頁/共174頁第七頁，共175頁。8(1)、寫出特征方程：(2)、計算(j sun)211122220dydyaaadxdx2121122aa a (3)、作變換(binhun)(a)、0 12(,)(,)xyxy2、方程(fngchng)的化簡第7頁/共174頁第八頁，共175頁。9(b)、0 12(,)(,)xyxy12( , )( , )x yx y ic第8頁/共174頁第九頁，共175頁。10(c)、0 (,)()xyxy或( , )x yc第9頁/共174頁第十頁，共175頁。11(4)、求出變換(binhun)方程：1 11 21 11 22 12 22 12 2Ta

5、aaaQQaaaa12,bLc bLc cc ff其中(qzhng)：xyxyQ第10頁/共174頁第十一頁，共175頁。12二階線性方程(xin xn fn chn)分類：2121122aa a 0 (1) 雙曲型 0 拋物型0 橢圓型 (2) (3) 說明：分類(fn li)也指點的鄰域內(nèi)的分類(fn li)！第11頁/共174頁第十二頁，共175頁。13例2 化下面(xi mian)方程為標準型4520 xxxyyyxyuuuuu2dyidx解：212112210aa a 方程(fngchng)屬于橢圓型2yxx第12頁/共174頁第十三頁，共175頁。14 2110 xyxyQ所以(s

6、uy)1 11 21 11 22 12 22 12 2TaaaaQQaaaa211221102510 第13頁/共174頁第十四頁，共175頁。15100110bLc21,0bLccf0uuu可得 標準型：第14頁/共174頁第十五頁，共175頁。163、二階線性偏微分方程(wi fn fn chn)理論(1). 線性算子(sun z) T為算子(sun z)，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，稱T為線性算子(sun z)(2). 二階線性偏微分算子 cybxbyayxaxaL21222221222112第15頁/共174頁第十六頁，共175頁。17于是(ysh) 二階線性偏

7、微分方程fcuububuauauayxyyxyxx212212112可以(ky)簡記為：fLu 齊次形式(xngsh)為：0Lu 第16頁/共174頁第十七頁，共175頁。18原理(yunl)1：(1)iiLufin 11nniiiiiiLcuc f意義(yy)：欲求疊加原理(yunl)Luf的解，如果1niiifc f且求出(1)iLufin 的解為：(1)iuin 則1niiic u為方程Luf的解第17頁/共174頁第十八頁，共175頁。19(1,2,)iiLuf i11iiiiiiLcuc f說明：原理2是原理1的有條件推廣。條件是算子(sun z)L與和號能交換次序。疊加原理(yun

8、l)原理(yunl)2：第18頁/共174頁第十九頁，共175頁。20其中，M表示(biosh)自變量組，M0為參數(shù)組 .0,MMfLu 設u(M,M0)滿足線性方程(xin xn fn chn)(線性定解條件)疊加原理(yunl)原理3：且積分00(),vU Mu MMdM收斂，并滿足L中出現(xiàn)的偏導數(shù)與積分號交換次序所需要的條件，那么U(M)滿足方程(或定解條件）第19頁/共174頁第二十頁，共175頁。2100(),vLU MfMMdM疊加原理(yunl)說明：原理3可以(ky)理解為：若0,MMfLu 那么(n me)：00(),vLU MfMMdM00(),vU Mu MMdM第20頁

9、/共174頁第二十一頁，共175頁。22疊加原理(yunl)定理：非齊次線性方程的一般解等于(dngy)對應的齊次線性微分方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。例3 求泊松方程(fngchng) ：的一般解。2221212uxy解:(1)先求出方程的一個特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：441uxy第21頁/共174頁第二十二頁，共175頁。23(2)、求對應(duyng)齊次方程通解xiy 對應(duyng)齊次方程為：20u作變換(binhun)：則齊次方程化為：0uu再作變換：ab第22頁/共174頁第二十三頁，共175頁。24方程(fngchng)化為：u f

10、 x iyg x iy0abu齊次方程(fngchng)通解為：原方程(fngchng)通解為：44()u f x iyg x iyxy第23頁/共174頁第二十四頁，共175頁。25齊次化原理(yunl)1齊次化原理(yunl)232, (,)0,ttLMRttfMt 0, 0)0,( ,00322tttuutRMMtfLutu.0,;tuW t Md如果(rgu)(, ; )W M t滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：第24頁/共174頁第二十五頁，共175頁。26齊次化原理(yunl)20)0,( ,03tutRMMtfLutu,3MftRMLtt.0,;tuW t Md如果(rgu)

11、(, ; )W M t滿足(mnz)方程：那么非齊次柯西問題的解為：第25頁/共174頁第二十六頁，共175頁。27例4、若V(x,t,)是定解問題(wnt)2000,0,0 .txxxxLthua uucuuu.0( , ), ;tu x tV x td是定解問題(wnt)的解，則：22000 ,0 ,0 .tx xxxLthIRua uuccuuu的解第26頁/共174頁第二十七頁，共175頁。282.0( , , )ttuVI RdV x tttc證明(zhngmng)：首先，00tu其次，因V(x,t,)是齊次定解問題的解，因此(ync)，不難證明00,0,xx Luu2220()tt

12、xxxxhVhI Rua uua VV dctcc2IRc第27頁/共174頁第二十八頁，共175頁。29解的適定性(dng xng) 滿足解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性的解稱為(chn wi)解的適定性。 解的穩(wěn)定性是指若定解條件有微小(wixio)變化，其解也只有微小(wixio)變化 只有解滿足穩(wěn)定性，其解才有意義，因定解條件常為實驗數(shù)據(jù)，有測量誤差。第28頁/共174頁第二十九頁，共175頁。30 (1)、 定義(dngy) 函數(shù)是指滿足下面(xi mian)兩個條件的函數(shù) 4、 函數(shù)(hnsh)0000 ,(1 ) .(),xxxxxx 0001 ,(,)( 2 ) .()0 ,(,)b

13、axabxxd xxab 幾點說明：第29頁/共174頁第三十頁，共175頁。31 (a) 、 幾何(j h)意義曲線(qxin)峰無限高，無限窄！但曲線(qxin)下面積為1。 (b)、物理(wl)意義x0 x(x-x0) 定義中條件(1)反映物理量集中在x0處，該處稱為點源；條件(2)反映物理量有限。第30頁/共174頁第三十一頁，共175頁。32 例5、兩端固定(gdng)的長為L的弦，密度為，初始時刻在x0處受到?jīng)_量I的作用。求初速度和定解問題。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,t txxuxx第31頁/共174頁第三十二頁，共175頁。33(2) 由動量定理(dn lin

14、dn l)F t= mv得：0LtIu dx所以(suy)有：0000(),0,ttIxxxxuxx定解問題(wnt)為：20000000,0(),0,0,ttxxxx Ltttua uuuIxxxxuuxx第32頁/共174頁第三十三頁，共175頁。34 (2)、 性質(xngzh)(a)篩選(shixun)性質：對任意連續(xù)函數(shù)(x),有：00() ( )()xxx dxx第33頁/共174頁第三十四頁，共175頁。35所以(suy)，0 xx證明(zhngmng)：由于(b)函數(shù)(hnsh)是偶函數(shù)(hnsh),即：()( )xx有0()0 xx00() ( )()xxx dxx證明：由于

15、對任意連續(xù)函數(shù)(x),有() ( )(0)( ) ( )xx dxxx dx所以，()( )xx第34頁/共174頁第三十五頁，共175頁。36函數(shù)(hnsh)的導數(shù)定義(dngy)：設定義(dngy)的算符(n)稱為(x)的n階導數(shù)。1( )f xC由( )( )( ) ( )( 1)(0)nnnx f x dxf 第35頁/共174頁第三十六頁，共175頁。37 例6、求證(qizhng)：01()4MMr 其中(qzhng)證明：當M不等于M0時，直接(zhji)計算可得：03,M MR222000()()()rxxyyzz104 r第36頁/共174頁第三十七頁，共175頁。38 另一

16、方面：11()144KSdVdSrrr 01()4MMr 所以(suy)：第37頁/共174頁第三十八頁，共175頁。39(1)、分離(fnl)變量(2)、求解(qi ji)固有值問題(3)、求解其它(qt)常微分方程對應于固有值的解1、分離變量法求定解的步驟(4)、寫出疊加解，利用其余條件定出疊加系數(shù)。(二)、分離變量方法 2、常涉及的幾種固有值問題第38頁/共174頁第三十九頁，共175頁。400(1),(0)0,( )0XXXX L222(1,2,3)nnnL( )sin,(1,2,)nnn xXxBnL0(2),(0)0,( )0XXXX L222(0,1,2,3)nnnL( )cos

17、,(0,1,2,)nnn xXxBnL第39頁/共174頁第四十頁，共175頁。410(3),(0)0,( )0XXXX L2221()2(0,1, 2, 3)nnnL12( )sin,(1,2,)nnnXxBx nL0(4),(0)0,( )0XXXX L2221()2(0,1, 2,3)nnnL12( )cos,(0,1,2,)nnnXxBx nL第40頁/共174頁第四十一頁，共175頁。420(5),(2 )( ) 2(0,1,2,3 )nnn( )cossin,(0,1,2,)nnnAnBnn第41頁/共174頁第四十二頁，共175頁。433、固有函數(shù)(hnsh)值方法1211112

18、222( , ),(0,)( ,)( ,)0(2)( ,)( ,)0(0, )0,(0, )0txxxtLWLWf x ttxxxaW t xW t xaW t xW t xWxWx定解問題(wnt)一般形式：求解(qi ji)步驟：第42頁/共174頁第四十三頁，共175頁。44(1)、求下面齊次定解問題(wnt)對應的固有值問題(wnt)12111122220,(0,)( ,)( ,)0( ,)( ,)0txxxLWLWtxxxW t xW t xW t xW t x固有(gyu)函數(shù)為：Xn(x)(2)、令一般(ybn)解為：( , )( )( )nnW x tT t Xx第43頁/共1

19、74頁第四十四頁，共175頁。45(3)、將一般解代入泛定方程并把自由項按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得到(d do)Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解問題初值條件(tiojin)得出T n(t)的初值條件(tiojin)；(5)、由常數(shù)(chngsh)變易法求出T n(t) 。第44頁/共174頁第四十五頁，共175頁。46齊次化原理(yunl)14、齊次化原理(yunl)求解232, (,)0,ttLMRttfMt 0, 0)0,( ,00322tttuutRMMtfLutu.0,;tuW t Md如果(rgu)(, ; )W M t滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：第45頁/共17

20、4頁第四十六頁，共175頁。47齊次化原理(yunl)20)0,( ,03tutRMMtfLutu,3MftRMLtt.0,;tuW t Md如果(rgu)(, ; )W M t滿足(mnz)方程：那么非齊次柯西問題的解為：第46頁/共174頁第四十七頁，共175頁。485、邊界條件齊次化方法(fngf)(1)、一般(ybn)方法采用未知函數(shù)(hnsh)代換法：),(),(),(txWtxVtxu選擇適當?shù)腤(x,t)，使關于V(x,t)定解問題邊界條件是齊次的。(2)、特殊情形下齊次化方法如果方程自由項和邊界條件表達式均與t無關，則可以令：( , )( , )( )u x tV x tW x

21、第47頁/共174頁第四十八頁，共175頁。49可以(ky)把關于V(x,t)的定解問題直接化為齊次方程和齊次邊界條件。第48頁/共174頁第四十九頁，共175頁。502222200022sincos,(0,0)3,643(1),sinxx Lttuuaxxxl ttxlluuxuuxltl解：令 )(),(),(xWtxVtxu將其代入定解問題(wnt)中得：例6 求如下(rxi)定解問題 第49頁/共174頁第五十頁，共175頁。512022( )sincos03,6xx la WxxxllWW2224( )sin3 132lxW xxall22222000,(0,0)043(1)( ),

22、xx LttVVaxL ttxVVxVVW xxltl可將其分解(fnji)為：22000022( )sincos,(0,0)3,64( )3(1),sinttxxxxx Lx LtttVa Va Wxxxxl tllVWVWxVW xVxll于是(ysh)得：第50頁/共174頁第五十一頁，共175頁。521( , )cossinsinnnnn an anV x tCtDtxlll由分離變量(binling)得一般解為：由初值條件(tiojin)得：由傅立葉級數(shù)(j sh)展開得：13(1)( )sinnnxnWxCxll14sincosnnnanaxDxlll第51頁/共174頁第五十二頁

23、，共175頁。5322202sinsin32lnlnnCxxdxlall2220,4,432nlna024sinsinlnnDxxdxn all0,4,44nlna第52頁/共174頁第五十三頁，共175頁。54所以(suy)，定解問題的解為：22 2444( , )cossinsin324lalaxV x tttalall 原定解問題(wnt)的解為：222222444( , )cossinsin3244sin3 132lalaxu x tttalalllxxall 第53頁/共174頁第五十四頁，共175頁。55注：圓域、扇形域等圓弧形邊界圍城的區(qū)域(qy)上的定解問題分離變量求解，要在極

24、坐標下進行。求解時要注意自然條件的使用。例7 在扇形(shn xn)域0,00的狀態(tài)完全由以該點為心，at為半徑的球面上的初始擾動決定；2) 當初始擾動限制在空間某局部范圍內(nèi)時，擾動有清晰的“前鋒”與“陣尾”，即惠更斯原理成立。第70頁/共174頁第七十一頁，共175頁。72答：(a)公式(gngsh)為：(5)二維齊次波動方程(fngchng)柯西問題的泊松公式是什么？公式的物理意義是什么？(b) 物理意義：1)空間任意一點M在任意時刻(shk)t0的狀態(tài)完全由以該點為心，at為半徑的圓盤域上的初始擾動決定；2)局部初始擾動對二維空間上任意一點的擾動有持續(xù)后效，波的傳播有清晰的前鋒而無后鋒，

25、惠更斯原理不成立。22 22001(cos ,sin)( , , )2atxryru x y trdrdata tr 22 22001(cos ,sin)2atxryrrdrdaa tr 第71頁/共174頁第七十二頁，共175頁。732、典型(dinxng)題型(1)利用(lyng)行波法求解例1、求下面(xi mian)柯西問題的解：0,303202022222yyyuxuyuyxuxu解：特征方程為：03222dxdxdydy21,3CyxCyx特征線方程為： 第72頁/共174頁第七十三頁，共175頁。74yxyx3令：變換(binhun)原方程化成標準型： 02u2212( )( )

26、(3)()ufffxyfxy通解(tngji)為 : 代入條件(tiojin)得：0)()3(3)()3(21221xfxfxxfxf第73頁/共174頁第七十四頁，共175頁。75CxxfCxxf222143)(41)(22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu例2、求波動方程(fngchng)的古沙問題200(,0)(1)( )(2)( ),( (0)(0)0)(3)ttxxx attx atua uatxat tuxux第74頁/共174頁第七十五頁，共175頁。7612( , )()()u x tf xatfxat解：方程(fngchng)通解為：由(2)得：12(0)(2

27、)( )(4)ffxx又由(3)得：12(2 )(0)( )(5)fxfx由(4)與(5)得：1221( )( )(0)2( )( )(0)2xf xfxfxf第75頁/共174頁第七十六頁，共175頁。7712( , )()()(0)(0)22xatxatu x tff所以(suy)：又由(4)得：12(0)(0)(0)ff所以(suy)：( , )()()(0)22xatxatu x t(2)半無界問題(wnt)的求解采用延拓或行波方法求解第76頁/共174頁第七十七頁，共175頁。78例3、半無限長桿的端點受到縱向力F(t)=Asint的作用(zuyng)，求解桿的振動。解：定解問題(w

28、nt)為：Fun|x=0.YS0 x2000(0,0)(1)( ),( )(3)sin(3)ttxxtttxxua uxtuxuxAutYS 第77頁/共174頁第七十八頁，共175頁。79解：方法(fngf)1：延拓法首先，當xat時，端點的影響(yngxing)沒有傳到，所以有： atxatxdaatxatxtxu.2121),(其次(qc)，當xat時，端點的影響已經(jīng)傳到，所以定解問題必須考慮邊界影響。將定解問題作延拓：1( ),0( )( ),0 xxxxx1( ),0( )( ),0 xxxxx延拓后的定解問題的解為： .11( , )22x atx atu x txatxatda第

29、78頁/共174頁第七十九頁，共175頁。80欲使延拓后的解限制在x0上時為原定解問題(wnt)的解，只需讓延拓解滿足邊界條件，即：為此(wi c)：令0111222xxuatatatataa sinAtYS0atat 只要(zhyo)：1( )()xx又令11sin22AatattaaYS 第79頁/共174頁第八十頁，共175頁。81得到(d do)：所以(suy)有：111sin22AatattaaYS 12()sinaAxxxYSa所以(suy)當x0時：(2) 求像函數(shù)(hnsh)(3) 求原像函數(shù)(hnsh)1( , ) ( , )u x yFuy( )0A當0時：( )0B像函數(shù)

30、為：( , )( )yutfe第105頁/共174頁第一百零六頁，共175頁。1071( , ) ( , )u x yFuy1( )yFfe由卷積定理 ：1( )yg xFe這里(zhl)：11( )( )*( )yFfeFFf xg x( )*( )f xg x221yxy第106頁/共174頁第一百零七頁，共175頁。108于是(ysh)得定解為： 221( , )( )*yu x tf xxy .22.1()yfdxy第107頁/共174頁第一百零八頁，共175頁。109例14、求解(qi ji)如下定解問題：2000,(0,0)0,0,0ttxxxxtttua ugxtuuuu 0第1

31、08頁/共174頁第一百零九頁，共175頁。11022220/0,0 xxxd uas ug sdxuu解:(1)作針對于時間(shjin)變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)(hnsh)：31(1)sxauges 第109頁/共174頁第一百一十頁，共175頁。111211321 t 2sxaxgtaLugLexsgxatxaa (3)、求原像函數(shù)(hnsh)：例15、求解(qi ji)如下定解問題(習題5.4第5題)：000,(0,0)0( ) xxttttttxuaubucu xtuuut第110頁/共174頁第一百一十一頁，共175頁。11222220()()2xd ubasbs

32、c uasudxau()2ba sxaue 解:(1)作針對(zhndu)于時間變量的Laplace變換 (2)、求像函數(shù)(hnsh)：第111頁/共174頁第一百一十二頁，共175頁。113()112122() t0 tba sxabxa sxabxaLuLeeLeeta xa xa x (3)、求原像函數(shù)(hnsh)：第112頁/共174頁第一百一十三頁，共175頁。114三、格林函數(shù)(hnsh)、貝塞爾函數(shù)(hnsh)、勒讓得多項式(一)、Green函數(shù)(hnsh)問題(二)、貝塞爾函數(shù)(hnsh)問題 (三)、勒讓得多項式問題第113頁/共174頁第一百一十四頁，共175頁。(一)、G

33、reen函數(shù)(hnsh)問題1、三個格林公式(gngsh)第一格林公式(gngsh)：設u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導數(shù)，它們在V中有二階偏導，則：SVVu v dSuvdVu vdV 第二格林公式：設u (x, y, z) ,V (x, y, z)在SSV上有一階連續(xù)偏導數(shù)，它們在V中有二階偏導，則：SVu vv udSu vv u dV 第114頁/共174頁第一百一十五頁，共175頁。116設M0，M是V中的點，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)滿足第一格林公式(gngsh)條件，則有：000011111()44MMMMMMSVuu Mu

34、dSudVrnnrr第三(d sn)格林公式：M0MSVxyz第115頁/共174頁第一百一十六頁，共175頁。117例1、寫出穩(wěn)態(tài)場方程(fngchng)洛平問題的解。要求(yoqi):(1)掌握三個公式的推導；(2)穩(wěn)態(tài)場方程(fngchng)洛平問題的解。解:(1)泊松方程洛平問題為：(,), (,)(,), (,), (xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn 連 續(xù) ）連 續(xù) ）011111()( )( )( )44SVu MMMdSf M dVrn rr 第116頁/共174頁第一百一十七頁，共175頁。118拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題為：0 , (

35、,)(,) , (,) , (x xy yz zSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn 連續(xù)）連續(xù)）0111()()()4Su MMMdSrnr例2、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題的解0 , (,)1 ,0SSuxyzVuun第117頁/共174頁第一百一十八頁，共175頁。119解：由第三(d sn)格林公式：0011()4MMSu MdSn r ( , , ),( , , )( , , ),0SSux y zx y zVuux y zn 例3、求拉普拉斯方程(fngchng)洛平問題的解解：由第三(d sn)格林公式：0001111()( , , )44MMMMSVu MdSx

36、 y z dVn rr第118頁/共174頁第一百一十九頁，共175頁。1202、調和函數(shù)要求:(1)掌握概念和性質(xngzh)的證明；(2 ) 性質的應用(極值(j zh)原理)(),()Suf MMVuM例4、求證泊松方程(fngchng)狄氏問題的解是唯一的、穩(wěn)定的。證明：泊松方程狄氏問題為：(a ) 解的唯一性證明：設定解問題有兩個解u1與u2,則：第119頁/共174頁第一百二十頁，共175頁。121令:U=u1-u2,則：11(),()Suf MMVuM22(),()Suf MMVuM0,0SUMVU由極值(j zh)原理有： ，即0U 12uu(b ) 解的穩(wěn)定性證明(zhng

37、mng)：設在S上給定(i dn)了函數(shù) 使得： 且： ,* 11(),()Suf MMVuM22(),*()Suf MMVuM*第120頁/共174頁第一百二十一頁，共175頁。122令:U=u1-u2,則：0,*SUMVU由極值(j zh)原理有： 即證明了穩(wěn)定性。U3、泊松方程(fngchng)狄氏問題格林函數(shù)要求:(1)掌握(zhngw)狄氏問題格林函數(shù)概念和性質(2)泊松方程、拉氏方程狄氏問題解的積分表達式(3) 特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)和對應的解的積分表達式例5、什么是泊松方程狄氏問題格林函數(shù)？物理意義是什么？第121頁/共174頁第一百二十二頁，共175頁。123答: (1)泊

38、松方程狄氏問題(wnt)格林函數(shù)定義為：(a) 若G(M,M0)滿足(mnz)：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 則稱G(M,M0)為定義(dngy)在VS上的三維狄氏格林函數(shù)。(b) 若G(M,M0)滿足：0000(,)(),(,)0SLG M MMMM MDG M M 則稱G(M,M0)為定義在DS上的平面狄氏格林函數(shù)。(2) 物理意義是:第122頁/共174頁第一百二十三頁，共175頁。124(a) 物理意義：首先，對于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：空間中M0點處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點電荷，在M處產(chǎn)生(chnshng

39、)的電勢為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=1/4r； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以(ky)理解為：接地導電殼內(nèi)M0處有正點電荷和它在邊界面上產(chǎn)生的感應電荷在殼內(nèi)M處產(chǎn)生的電勢的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。（b) 物理意義：首先(shuxin)，對于方程G(M,M0 )=-(M-M0)來說，其物理意義是：平面中M0點處有一電量為(真空中的介電常數(shù)）的正點電荷，在M處產(chǎn)生的電勢為G(M,M0),其大小為G(M,M0)=1/2lnr； 其次，狄氏格林函數(shù)定解問題可以理解為：接地導電圈內(nèi)M0處有正點電荷和它在邊界上產(chǎn)生的感應電荷在圈內(nèi)M

40、處產(chǎn)生的電勢的疊加為G(M,M0),其大小為G(M,M0)= 1/4lnr +v(x,y)。第123頁/共174頁第一百二十四頁，共175頁。125例6、三維泊松方程狄氏格林函數(shù)的性質(xngzh)是什么？答：三維泊松方程(fngchng)狄氏格林函數(shù)的性質主要有：(1) 狄氏格林函數(shù)在除去M=M0點外處處滿足拉氏方程(fngchng)。當MM0時，G(M,M0)趨于無窮大，其階數(shù)和1/rMM0相同。(2) 在邊界上格林函數(shù)恒等于零。(3) 在區(qū)域V內(nèi)，有：0010(,)4M MG MMr(4) Green函數(shù)具有對稱性(物理上稱為互易性 )，即 );();(1221MMGMMG第124頁/共

41、174頁第一百二十五頁，共175頁。126例7、三維泊松方程狄氏問題(wnt)解的積分表達式是什么？答：000(,)()(,)SVG M Mu MudSG M MfdVn例8、二維泊松方程(fngchng)狄氏問題解的積分表達式是什么？0()(,)LDGuMd SG fxy dn 答：例9、教材重點介紹(jisho)了幾種特殊區(qū)域上狄氏問題格林函數(shù)？采用什么方法求？第125頁/共174頁第一百二十六頁，共175頁。127答: (1)球域、半空間(kngjin)；圓域、半平面、第一象限。平面(pngmin)上的求法類似。求三維空間中區(qū)域VS上狄氏格林函數(shù),可考慮一接地導體殼S，在VS內(nèi)M0處放置

42、(fngzh)電量為0的正點電荷，由格林函數(shù)物理意義：G(M,M0)等于V內(nèi)電荷0與感應電荷在M處產(chǎn)生的電勢的疊加。這可以通過如下方法求：在V外找一個M0關于S的像點，在該點放置(fngzh)一負電荷，使它與0在S上產(chǎn)生的電勢疊加為零，則它們在M處的電勢疊加等于G(M,M0).(2) 采用鏡像法例10、回憶球域、半空間；圓域、半平面、第一象限內(nèi)的格林函數(shù)表達式第126頁/共174頁第一百二十七頁，共175頁。128答: (1)球域00011111(,)44RG M Mrrrrr20100rRrrr(2)上半空間(kngjin)010111(,)4M MM MGMMrr2222220000001

43、114()()()xxyyzzxxyyzz第127頁/共174頁第一百二十八頁，共175頁。129(3) 上半平面(pngmin)狄氏問題的Green函數(shù) 0101111(,)22MMMMG M MLnLnrr(4) 圓域上狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 100011(,)lnln22MMMMrRG MMrr(5) 第一象限上狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 第128頁/共174頁第一百二十九頁

44、，共175頁。130例11、寫出球域、半空間；圓域、半平面、第一(dy)象限內(nèi)的泊松方程狄氏問題解的積分表達式解：(1) 球域內(nèi)泊松方程(fngchng)狄式問題解的積分表達式：由于(yuy)泊松方程狄氏問題的解為：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn在球面上SSGGnr第129頁/共174頁第一百三十頁，共175頁。131在球域上，由于(yuy)：00011111(,)44RG M Mrrrrr2222000111111442cos2cosRrrrrrrrrr224202002001111442cos2cosRrRRrrrrrrrr第130頁/共174頁第一百三十

45、一頁，共175頁。132220322200142cosSRrGnRRrRr 所以(suy)：所以(suy)，球域上狄氏問題的解為：220032220001()42cos(,)SVRru MdSRRrRrG M MfdV第131頁/共174頁第一百三十二頁，共175頁。133(2) 上半空間(kngjin)狄式問題的解000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn泊松方程(fngchng)狄氏問題的解為：01003314MMMMzzzzGGnzrr 由于(yuy)：0322200014()zxxyyz第132頁/共174頁第一百三十三頁，共175頁。134.00003.2222

46、0000,1,2( , , ) (,)Vx y zu xyzdxdyxxyyzf x y z G M Mdxdydz 所以上半空間(kngjin)泊松方程狄氏問題的解為：而上半空間拉氏方程(fngchng)狄氏問題的解為：.00003.2222000,1,2x y zu xyzdxdyxxyyz 第133頁/共174頁第一百三十四頁，共175頁。135(3) 上半平面內(nèi)泊松方程狄式問題(wnt)解的積分表達式：GGny 022001()yxxy 0022001()( )( , )()Dyu MxdxGf x y dxxy所以(suy)得：拉氏方程(fngchng)狄氏解為： 0022001()

47、( )()yu Mxdxxxy第134頁/共174頁第一百三十五頁，共175頁。136例11*、求上半平面(pngmin)上拉氏方程狄氏解，邊界條件為： 解：由公式(gngsh)：00,0(, 0 ),0 xuxux00220000220001()( )()1()yu Mxdxxxyyudxxxy第135頁/共174頁第一百三十六頁，共175頁)uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001()()1yxxu ydyxxyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000arctan2uxy(4) 圓域上狄氏問題(

48、wnt)的解 第136頁/共174頁第一百三十七頁，共175頁。138解：LRGGnr因為(yn wi)：2202200122cosRrR RRrr 例12、求圓域上泊松與拉氏方程(fngchng)狄氏解。0()(,)LDGu MdSG fxy dn 所以(suy)：LRGGnr220022001()(,)22cosLDRru MdSG fxy dR RR rr所以，狄氏解為：第137頁/共174頁第一百三十八頁，共175頁。13900222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以(suy)：由于(yuy)：00cosO MO MO MO M所以(suy)，在極坐標系下，有：0

49、coscos()222002200001()()( ,)22cos()DRru MdGfrrdrdRRrr 從而，在極坐標下，圓域上泊松方程狄氏解為：在極坐標下，圓域上拉氏方程狄氏解為：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 第138頁/共174頁第一百三十九頁，共175頁。140例13、求圓域上拉氏方程(fngchng)狄氏解。(1)、解法(ji f)1:(格林函數(shù)法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 選極坐標系，設圓內(nèi)M0(r0,0),則：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 220200001c

50、os*212cos()radrr第139頁/共174頁第一百四十頁，共175頁。141利用函數(shù)(hnsh)冪級數(shù)展開可得：采用級數(shù)展開(zhn ki)法計算積分*220200001cos*212cos()raIdrr200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以(suy)，得：220200001cos*212cos()raIdrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 第140頁/共174頁第一百四十一頁，共175頁。14220001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossin

51、sinmmmmaarmm drmmd 2000coscoscosard 20001coscoscosmmarmm d 00cosar當 時：( )cosba 22002000011()()212cos()ru Mdrr 第141頁/共174頁第一百四十二頁，共175頁。143而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbdrrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以(suy)，有：0000( ,)cosu rbar第142頁/共174頁第一百四十三頁，共1

52、75頁。144( , )( ) ( )uR 1、分離(fnl)變量：0112 RRR2RRR 代入方程(fngchng)得：整理(zhngl)后可令比值為：解法2:(分離變量法)第143頁/共174頁第一百四十四頁，共175頁。145200RRR 得兩個常微分方程(wi fn fn chn)如下：2、求解固有(gyu)值問題 20第144頁/共174頁第一百四十五頁，共175頁。146(1) 0時，令=2 得： sincosba結合(jih)周期條件，只能取正整數(shù)。于是得固有值：21,2,)n n（固有(gyu)函數(shù)為： cossin(1,2)nnnanbnn第145頁/共174頁第一百四十六

53、頁，共175頁。1473、求歐拉方程(fngchng)的解20(0)RRRR (1)、對應(duyng)于0= 0的解為：0()lnRCD由有限性得：D=0,于是(ysh)有：0()RC第146頁/共174頁第一百四十七頁，共175頁。148(2)、對應(duyng)于n= n2(n=1,2.)2(1)0D DRDRn R作變換(binhun)：=et 得：22n Rdt2d R即 ：()nnnnnRCD由有限性得：Dn=0,于是(ysh)有：()nnnRC第147頁/共174頁第一百四十八頁，共175頁。1494、求定解()(0,1, 2,)nnnRCn一般(ybn)解為：10sincos2

54、),(nnnnnbnaau由邊界條件(1)得：01coscossin2nnnaaanbn第148頁/共174頁第一百四十九頁，共175頁。150所以，比較(bjio)系數(shù)得：010,1,0(1),0nnaaanb( , )cosu ra所以(suy)，(1)的解為：由邊界條件(2)得：01coscossin2nnnabaanbn所以(suy)，比較系數(shù)得：012 ,1,0(1),0nnab aanb所以，(2)的解為：( , )cosu rba第149頁/共174頁第一百五十頁，共175頁。151(5) 第一象限(xingxin)上狄氏問題的Green函數(shù)為： 0123011111111(,)

55、lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyyxxyyxxyy 例13、求第一(dy)象限上拉氏方程狄氏解。解：假定(jidng)定解問題為：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux第150頁/共174頁第一百五十一頁，共175頁。152由于(yuy)1:0Lx 其中(qzhng)：GGnx 0()(,)LDGu MdSG fxy dn LGdSn 1212LLGGdSdSnn 2:0Ly 對于(duy)L1:對于L2:GGny 第151頁/共174頁第一百五十二頁，共175頁。15

56、300yyGGny 對于(duy)L2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()yxxy 00 xxGGny 022001()xyyx 第152頁/共174頁第一百五十三頁，共175頁。154所以(suy)，拉氏解為：000012002222000011( , )( )( )()()xyu x yydyxdxy yxx xy例14、求上半圓(bnyun)域上狄氏問題格林函數(shù)格林函數(shù)滿足(mnz)的定解問題為：200,()()(1)0(2),0(3)RGMMGG 第153頁/共174頁第一百五十四頁，共17

57、5頁。155M0M1M1M0Mxy設想在 放置(fngzh)電量為0的電荷000(,)M (1)對于 在 放置(fngzh)電量為-0的電荷，則能夠使邊界條件(3)滿足，但不能使(2)滿足。0,100(,)M(2)若要同時使(2)滿足，對于圓周(yunzhu)邊界來說，M0的對稱點為：第154頁/共174頁第一百五十五頁，共175頁。156在M1放置電量(dinling)為 的電荷00R對于(duy) M1的對稱點為：0,100(,)RM100(,)RM置電量(dinling)為 的電荷00R四個電荷的疊加滿足邊界條件，所以得到格林函數(shù)：00110001111(,)lnln221111lnln

58、22M MM MM MM MGMMRR第155頁/共174頁第一百五十六頁，共175頁。1574、三種典型方程的基本(jbn)解問題要求: (1) 知道三種典型方程的基本(jbn)解的定義、基本(jbn)解表達式；(2)能利用基本解求相應(xingyng)的定解問題。例16、敘述泊松方程基本解的定義；寫出其基本解；并求出 的一個特解。0()Mu答: (1)方程 的解稱為泊松方程 的基本解。(,)uxyz (,)ufxyz (2) 基本解為：1,04Urr第156頁/共174頁第一百五十七頁，共175頁。158(3) 特解應該為基本(jbn)解與函數(shù)f的卷積。設U*為特解，則有：300000()

59、1()1*44(,)RMMUUfdMrr M M注：平面(pngmin)泊松方程基本解為：11ln,02Urr例17、敘述熱傳導方程柯西問題基本(jbn)解的定義；寫出其基本(jbn)解；在此基礎上求出如下定解問題：20, (,0 )()txxtua uxR tux答: (1) 定解問題：第157頁/共174頁第一百五十八頁，共175頁。15920, (,0 )()txxtua uxR tux的解，稱為(chn wi)如下定解問題的基本解。20, (,0 )()txxtua uxR tux(2) 基本(jbn)解為：2241(, )2xatUx teat(3) 定解為基本解與初始(ch sh)

60、函數(shù)的卷積。設u為定解，則有：22()41( , )*( )2sxa tu x tUs edsat第158頁/共174頁第一百五十九頁，共175頁。160注：二維、三維類似(li s)。20(1), (0,0 )(0 , )0 ,( , )00txxtxua uAxl tlutu l tu例18、敘述熱傳導方程混合(hnh)問題基本解的定義；寫出其基本解；在此基礎上求出如下定解問題：200()()(0, )( , )0( , 0)0 xxua uxxtttutu l tu x答: (1) 定解問題(wnt)第159頁/共174頁第一百六十頁，共175頁。161的解稱為(chn wi)如下定解問