(完整word版)高三專題復(fù)習(xí)：直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案),推薦文檔

1、【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第1頁(yè)共 7 頁(yè)專題:圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)】圓的定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形如：（x a）2（y b）2r2這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。-說(shuō)明：1 1、若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時(shí)a b 0,則圓的方程就是x2y2r2。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要 a,b,ra,b,r 三個(gè)量確定了且 r r 0 0,圓的方程就給定了。圓的一般方程的特點(diǎn)：（i i）x2和 y2的系數(shù)相同，不等于零；（iiii）沒(méi)有 xyxy 這樣的二次項(xiàng)。（三）

2、直線與圓的位置關(guān)系1 1、直線與圓位置關(guān)系的種類（1 1）相離-求距離；2 2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法:幾何方法主要步驟:（1 1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2 2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離就是說(shuō)要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件-確定 a,b,ra,b,r,可以根據(jù)3 3 個(gè)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)解決。將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(y的程都可以:成: :x22yDxb)2Ey2 2 2r，展開(kāi)可得x y 2 ax 2byF 0。0的方程的曲線是不是圓?0左邊配方得：（xD2ED)(y/(1)與標(biāo)準(zhǔn)y2Dx Ey4Fy2Dx Ey20時(shí)，方程x2 2

3、 2a b r 0。可見(jiàn)，任何一個(gè)圓.D2E24F)2方程x2y2Dx Ey0表示以（-,-）為圓2 2F0只有實(shí)數(shù)解，解為xD E，y亍所以表示一個(gè)F 0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形。y Dx Ey F 0稱為圓的一般方程. .相切-求切線;（3 3） 相交-求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)。（二） 圓的一般方程【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第2頁(yè)共 7 頁(yè)（3 3）作判斷：當(dāng) drdr 時(shí)，直線與圓相離；當(dāng) d d= r r 時(shí)，直線與圓相切；當(dāng) drdr 時(shí)，直線與圓相交。 代數(shù)方法主要步驟：【高考專題資料】整理人：智名堂文韜y2r2上時(shí)，切線方程為：x)x yy r2；2 2 2a) (y b) r

4、上時(shí)，切線方程為：(xa)(x a) (yb)(y b) r類型一：圓的方程B(3, 2)且圓心在直線y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.變式 1 1：求過(guò)兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且被直線y 0平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 變式 2 2：求過(guò)兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓上所有的點(diǎn)均關(guān)于直線y 0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，貝U點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，貝U點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑,則點(diǎn)在圓內(nèi).解法一：(待定系數(shù)法解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)判斷方法直線f與矗c的位置關(guān)系r At+/jv+c=o |(x-a)2A)2= r比較圓心

5、到直線1的距離d與圓的半 徑r的大小相交兩組不同的實(shí)數(shù)解d r(3)(4)求出其的值，比較與 0 0 的大?。寒?dāng) 000 時(shí)，直線與圓相交。(1)把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組(2)利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程圓的切線方程總結(jié)：當(dāng)(X。，y)在圓x2當(dāng)點(diǎn)(X。，y)在圓(x【典型例題】分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心例 1 1 求過(guò)兩點(diǎn)A(1,4)、設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2 2a) (yb).圓心在y0上，故b 0.圓的方程為(xa)2又該圓過(guò)A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn).(1(3a)216a)242r2解之得

6、：ar1,r220.所以所求圓的方程為(x 1)2y220因?yàn)閳A過(guò)A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn),所以圓心C必在線段AB的垂直平分線I上，又因?yàn)閗AB【高考專題資料】整理人：智名堂文韜的斜率為 1 1,又AB的中點(diǎn)為(2,3)，故AB的垂直平分線I的方程為：y 3又知圓心在直線y 0上，故圓心坐標(biāo)為C( 1,0)半徑r第 2 頁(yè)共 7頁(yè)AC(1 1)242、20.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第5頁(yè)共 7 頁(yè)化簡(jiǎn)整理得t26t 5 0.解得：t 1或t 5圓心是(1,3)， 半徑為 5或圓心是(5,15)， 半徑為5. 5. 所求圓的方程為(x 1)2(y 3)25或(x 5)2(y 15

7、)2125.說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例 4 4、已知圓O: x2y24，求過(guò)點(diǎn)P 2,4與圓O相切的切線.解：點(diǎn)P 2,4不在圓O上，切線PT的直線方程可設(shè)為y kx 2 4r -2. .解得k3所以y -x 2.1 k24,4因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見(jiàn)另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為x 2.故所求圓的方程為(xd | PC7(2 1)例 2 2： 求過(guò)三點(diǎn)O O(0 0,0 0),解：設(shè)圓的方程為：X X2242M

8、 M ( 1 1,+ y y2配方：(x x 4 4 )2+例 3 3:求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5),r.點(diǎn)P在圓外.1 1), N N (4 4, 2 2)的圓的方程，并求出這個(gè)圓的圓心和半徑。 +DxDx + EyEy + F F =0 0,將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程0 0, D D =8 8, E E =3 3 )2= 2525 圓心:F F =(y+且與直線x 2y 0和2x y6 6圓方程為：x x2+ y y28x8x + 6y6y = 0 0(4(4,3 3 ),半徑 r r = 5 50都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A，故只需確定圓心坐標(biāo).又圓

9、與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線x 2y 0與2xy 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上,又圓心x 2y 0和2xy 0的距離相等x 2y52y.兩直線交角的平分線方程是x 3y 0或3x y0.又圓過(guò)點(diǎn)A(0,5)，圓心C只能在直線3x y 0上.設(shè)圓心C(t,3t) /C到直線2x y0的距離等于.t2(3t5)2.根據(jù)d4即3x 4y 100【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第6頁(yè)共 7 頁(yè)說(shuō)明：上述解題過(guò)程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0 0 解決(也要注意漏解).還可以運(yùn)

10、用2xx yy r,求出切點(diǎn)坐標(biāo)x、y的值來(lái)解決，此時(shí)沒(méi)有漏解.例 5 5、自點(diǎn) A(-3,3)A(-3,3)發(fā)出的光線 I I 射到 x x 軸上，被 x x 軸反射，其反射光線所在直線與圓x2y24x 4y 7 0相切, 求光線所在直線方程。例 6 6、兩圓Ci：x2y2DixEiyFi0與C2：x2y2D?xE?yF20相交于A、B兩點(diǎn)，求它們的公共弦AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線AB的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁.為了避免 求交點(diǎn)，可以采用 設(shè)而不求的技巧.解：設(shè)兩圓Ci、C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y),則有：2Xo2y。Dix0EiyFi0

11、2X。2y。D2x0E2y0F20得：(DiD2)x0(EiE2)yFiF20./A、B的坐標(biāo)滿足方程(DiD2)X(EiE2)yFiF20.方程(DiD2)x (EiE2)yFiF20是過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程.又過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為(DiD2)x (EiE2)yFiF20.說(shuō)明：上述解法中，巧妙地避開(kāi)了求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo).從解題的角度上說(shuō)，這是一種設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛.

12、例 7 7、求過(guò)點(diǎn)M (3,i)，且與圓(x i)2y24相切的直線丨的方程.解：設(shè)切線方程為y i k(x 3)，即kx y 3k i 0 ,圓心(i,0)到切線丨的距離等于半徑2,Ik 3k il33-2，解得k,切線方程為y i -(x 3)，即3x 4y i3 0, k2i244當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x 3，圓心(i,0)到此直線的距離等于半徑2，故直線x 3也適合題意。所以，所求的直線丨的方程是3x 4y i3 0或x 3.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第7頁(yè)共 7 頁(yè)補(bǔ)充：圓x2y2Dx Ey F 0的切點(diǎn)弦方程:第8頁(yè)共 7 頁(yè)【高考專題資料】整理人：智名堂文

13、韜證明；設(shè)f(屯BIC：十十亍+。工十馬十幷一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作圓C的妁兩管切誠(chéng)，切點(diǎn) I、叭團(tuán)直找AB妁方卷是：倉(cāng);1+】姑丁 +芒蘭D +丄三工疋+尸0*證明：曰甲和幾何知誤昜,弦AB是國(guó)?與尿只0汐直經(jīng)喝慮的圜的相交弦.DE以P,C尙更徑奘點(diǎn)的同的方程是：總*=X工X)* 3 +7)(尹-3 J一0,洋：xyr -yoy + 21-11E+ F - 0,類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題J3，故弦長(zhǎng)AB 2 右2d22，從而 OABOAB 是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為AOB . .3例 1010、圓 C C：(x 1)2(y 2)225，直線(2m 1)x (m 1)y 7m 40(m R),(I

14、)證明：不論 m m 取何值時(shí)，I與 C C 恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(n)求最短弦長(zhǎng)所在直線方程。分析：本題最關(guān)鍵的是直線交點(diǎn)系方程的轉(zhuǎn)化，挖掘出直線恒過(guò)定點(diǎn)。再探究定點(diǎn)在圓內(nèi)，下一步只需要去探究 點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線方程是什么。類型四：直線與圓的位置關(guān)系2 2例 1111、已知直線3x y 2 3 0和圓x y4，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系例 8 8、求直線l:3x y 60被圓C：x2y22x4y 0截例 9 9、直線X3x y 2 30截圓x2y24得的劣弧所對(duì)的圓心角為解：依題意得，弦心距d又兀 十十 Qh 十)十尸=0 =*+”！*-*-+*:D第9頁(yè)共 7 頁(yè)例 1212、若直線y

15、 x m與曲線y . 4 x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第10頁(yè)共 7 頁(yè)2 m 2或m 2 2. .- l1與。1相切，與圓。1有一個(gè)公共點(diǎn)；I2與圓。1相交，與圓。1有兩個(gè)公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3 3 個(gè).類型五：圓中的最值問(wèn)題(2)(2)已知圓O2:(x 2)2y21,P(x, y)為圓上任一點(diǎn)求 匚2的最大、最小值，求x 2y的最大、最小x 1值.分析：(1)(1)、兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決本題類比于20172017 年高考理科全國(guó)二卷 1212 題，這類型題目的處理方法就是通過(guò)幾何意義用線性規(guī)劃的思路

16、來(lái)處理，或者用圓的參數(shù)方程， 分別把 x,x,y y表示出來(lái)，通過(guò)研究三角函數(shù)的最值研究。解：(1)(1)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離 d d；加上半徑 1 1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2等于圓心到原點(diǎn)的距離d；減去半徑1.所以d1. 32421 6d232421 4.解：曲線y .4 x2表示半圓x2y24( y 0),利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是例 1313、圓(x 3)2(y 3)29上到直線3x 4y 110的距離為 1 1 的點(diǎn)有幾個(gè)?分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答.2 2解法一：圓(x 3) (y 3)9的圓

17、心為。1(3,3)，半徑r 3設(shè)圓心Q到3 3 4 3 11直線3x 4y 110的距離為d，則d23如圖，在圓心O13242同側(cè)，與直線3x 4y 110平行且距離為 1 1 的直線|1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.又r d 3 21.與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3 3 個(gè).解法3x 4y 11 0,且與之距離為 1 1 的直線和圓的交點(diǎn).設(shè)所求直線為3x 4y m 0,則dm 113242115，即m6，或m 16，也即h：3x 4y 60,或l2：3x 4y 160設(shè)圓2 2Q:(x 3) (y 3)9的圓心到直線l1、I2

18、的距離為d1、d2,則d13 3 4 3324263，d23343 161.3242例 1414、圓x2y24x 4y 100上的點(diǎn)到直線x y 14解：圓(x2)2 (y2)2 18的圓心為(2 2, 2 2),半徑r直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是0的最大距離與最小距離的差是3-2，圓心到直線的距離(d r) (d r) 2rd106 汕例 1515、(1)(1)已知圓O1：(x 3)2(y 4)21,P(x, y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求d2 2x y的最大、最小值.【高考專題資料】整理人：智名堂文韜第11頁(yè)共 7 頁(yè)類型六：直線與圓的綜合2 2例 1717、在平面直角坐標(biāo)系 x0yx0y 中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0 0, 3 3)且斜率為 k k 的直線 I I 與圓x y 4有兩個(gè)不同的交點(diǎn) P P、Q Q。(1)求 k k 的取值范圍；(2)設(shè) A(2,0),B(0,1)A(2,0),B(0,1)