(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案新人教A版必修5

1、1 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第一課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 預(yù)習(xí)課本 P5558，思考并完成以下問題 _ 公比是1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和如何計(jì)算？ (2) 能否根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)求出等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和? (3) 能否根據(jù)首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)求出等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和? 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)有哪些？ 新知初探 1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 已知量 首項(xiàng)a與公比q 首項(xiàng)a1,末項(xiàng)an與公比q 公式 na1 q= 1 , S = a1 1 一 qn 彳 qMi 1 q na1 q= 1 , Si = a1 anq 彳 qMi 1 q 點(diǎn)睛在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到 $= a1 q 的使用條件為qM 1

2、,而當(dāng)q= 1 1 q 時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即 S= n a1. 2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) s偶 _ a. (1) 等比數(shù)列an中，若項(xiàng)數(shù)為 2n,則忑=q；若項(xiàng)數(shù)為 2n+1,則一 =q. S奇 S禺 (2) 若等比數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 S,貝y S, Sn_S, 3 &成等比數(shù)列(其中 S, & Sn , S3n S2n均不為 0) (3) 若一個(gè)非常數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= Aq_A(AM0, qM0, n N)，則數(shù)列an為等 比數(shù)列，即Sn= Aqn_ A(AM 0, qM 0, qM 1, n N*)?數(shù)列an為等比數(shù)列. 小試身手 1.判斷下列命題是否正確.(正確

3、的打“V”，錯(cuò)誤的打“ x”) 課前自主學(xué)習(xí)站穗才從樓2 n * 若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn= aq + a（az0, q0且qz 1, n N），則此數(shù)列一 定是等比數(shù)列（ ） 解析：（1）錯(cuò)誤.在求等比數(shù)列前 n項(xiàng)和時(shí)，首先應(yīng)看公比 接套用，否則應(yīng)討論求和. 正確若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則是非零常數(shù)列，所以前 n項(xiàng)和為S =na. a1 a1 n a1 $= 1q-1qq (qz0 且qz 1)，右令 a=1q, 則和式可變形為 n Si a aq. 答案：X vV 2設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為 Sn,已知a1 = 2, a2 4,那么S。等于（ )A. 210+ 2 B .

4、 29 2 C. 210 2 D . 211 2 10 2 1 2 1 2 3.等比數(shù)列an中，公比q= 2, S5= 44，則a1的值為（ ） B. 4 C. 2 a1 1 2 解析：選 A 由 S= 二 2 = 44, 得 a1= 4. S 4.設(shè)等比數(shù)列an的公比q= 2,前n項(xiàng)和為S,則一等于（ ） A. 2 B . 4 （1）求等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和時(shí)可直接套用公式 . n Sn= a1 1 q 來求（ 首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前 n項(xiàng)和為 S= na( ) q是否為 1,若qz 1,可直 （3）正確.根據(jù)等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式 a1 S = n 1 q 1q （

5、qzo且qz 1）變形為: 解析：選 D 等比數(shù)列的公比 q = 4 4 - - 2 2 = 2 1 a a - - a a 2，所以前 10 項(xiàng)和 ai Sio= 10 1 q i - q =211 2,選 D. A. 4 3 15 17 C. D. 2 2 解析：選 C S a1 1 q4 1 1 q4 15 1 q X 1 2 a2 ag q 4 諜堂講綜設(shè)計(jì)，舉一能軸類題 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 的基本運(yùn)算 典例在等比數(shù)列an中，公比為q,前n項(xiàng)和為 S. 1 63 + ai= 8, an= 4, S = 4，求 n; 7 63 S3= 2, $= 2，求 an 及 S. (2) 法一

6、：由S6M2S知q1,由題意得 a1 1 - q3 = 7 1-q= 2, a1 1 - q6 63 1-q= 7 十，得 1 + q3 = 9, q3= 8，即 q= 2. 1 n-1 1、，“ n-1 n-2 代入得 a1= 2，二 an= ag = = 2 , n a1 1 q n-1 1 Si= = 2 . 1 - q 2 3 3 3 法：由 S3= a1 + a2+ a3, So= S3+ a4 + a5 + a6= S3+ q (a1 + a2+ a3)= S3+ q S3= (1 + q ) S3. Og 1 + q = = 9,. q = 8，即 q= 2. S3 在等比數(shù)列a

7、n的五個(gè)量a1, q, an, n, S中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論 間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用 a1與q表示an與S,從而列方程組求解，在解方程組時(shí)經(jīng)常 用到兩式相除達(dá)到 1 n-1 1 n-1 n-2 代入得 a1= 2，an= ag = 3x2 = 2 , (1)顯然 1,由 1 8 - 4q 1 - q 63 1 - q=倉又 an= a1qn-1，即 8X n-1 1 4，二 n= 6. S= a1 n 1-q 1-q =2n-1 5 整體消元的目的這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.6 活學(xué)活用 已知 a6 a4= 24, a3 a5= 64,求 5 3 c .

8、aiq aiq = 24, 解：法一：由題意，得 2 4 aiq aiq = 64, 十，得q2 1 = 3,負(fù)值舍去, 2 q = 4,A q= 2 或 q= 2. 當(dāng)q = 2 時(shí)，代入得ai = 1. 典例 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和S= 48,前 2n項(xiàng)和 &= 60,則前 化簡得 aiq3 q2 1 3 |小 aiq = 8, =24, 1 q8 iq =255. 7 當(dāng)q = 2 時(shí)，代入得ai = 1. r . 2 a6 當(dāng) a4= 8 時(shí)，T a6 a4= 24, a6= 32, q = = 4, a4 q= 2. 當(dāng) a4= 8 時(shí)，a6 a4= 24, a6= 16.

9、2 a6 - q = = 2，無解.故 q= 2. a4 項(xiàng)和S3n = ai S8 =- 1 q8 iq 255 綜上知S8= 255 或 255 可. 法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)得 2 a3 a5= a4 = 64,. a4= 8. 當(dāng)q = 2 時(shí)，ai a4 ai q3= 1, S8 =_ 1 q8 i q =255. 當(dāng)q= 2 時(shí), a4 ai = 3= 1, q ai 1 q8 1 q = 255 3 綜上S8= 255 或晉. 題型二 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì) n 8 ai 1 - q =48, 1-q ， 2n ai 1 - q =60 i-q Sn , S2n- Sn, Sen

10、- & 成等比數(shù)列，得(& - S) 2 = Sn ( & Sn)，即(60 48) =48( S3n 60) ? S3n = 63. 答案63 OG3O - 運(yùn)用等比數(shù)列求和性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意性質(zhì)成立的條件否則會出現(xiàn)失誤如 Sn, Sn- S, Sn- S2n成等比數(shù)列的前提是 S, Sn Sn, %- $n均不為0. 活學(xué)活用 SB S9 1. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若 =3，貝y -=( ) 解析：選 B 由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3, S6- S, S9- S仍成等比數(shù)列，于是，由 S6= 3S, S9 7 可推出 S S6 = 4S3, S9 = 7S3

11、,. g = 3.故選 B. 2個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列 &，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的 4 倍，前 3 項(xiàng)之積 為 64,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為ai,公比為q,所有奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記作 S奇, S偶, 由題意可知， S奇+ $偶=4S偶,即S奇=3S偶. S禺 1 因?yàn)閿?shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以有 q=;. n 1 q = 4, 所以S3n= ai q =64， 3n i q q ai 1 - (qn)3 1 =64X 1 - 64 = 63. 解 法一：設(shè)公比為 q，由已知易知 法二：由 n 9 & 3 1 又因?yàn)閍i aiq aiq2 = 64,所

12、以al q3= 64,即ai = 12,故所求通項(xiàng)公式為 an= 12x 3 n-1翔型三 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用 10 所以 q= 1，而數(shù)列anan+1也為等比數(shù)列, 首項(xiàng) a1 a2= 8,公比 2 1 q = 4, 所以 a1a2 + a2as+ anan+ 1 1 4n 32 = 3(1 1-4 4 n). (2)/ an= S S-1 1 n 1 =(1) an n ( 1) an1 + n 1 1 尹(nA2), 1 n n 1 an = ( 一 1) an ( 一 1) an1 + n. 1 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an 1 =歹, 1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2an+ an1=尹 t 丄

13、 1 1 當(dāng) n= 4 時(shí)，a3= 4= 16. 根據(jù)以上an的關(guān)系式及遞推式可求得. 1 1 1 a1= 1, a3 =尹 a5= 尹 1 a7= 2, 1 a2= 2, 2 已知an是等比數(shù)列，a2= 2, a5 =寸，則 a1a2+ a2a3 + -+ anan+1 =( 典 A. 16(1 4n) B . 16(1 2n) 32 , C.R14 ) D.#(1 2n) n 1 * 設(shè)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S= ( 1) an尹 n N,則 a3 = _ ; Si + S2 + Soo= _ . 3 3 1 解析由a5 = a2q，得q =云， 1 11 1 1 i i i i = 2

14、 + 于+ 2 2+ 牙+ 2100 1 i 1 答案(1)C (2)163 尹1 求解數(shù)列綜合問題的步驟 (1) 分析題設(shè)條件. (2) 分清是an與an+1的關(guān)系，還是 an與S的關(guān)系. (3) 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，特別注意 an= S Si(n2, n為正整數(shù))在an與S 的關(guān)系中的應(yīng)用. (4) 整理求解.a a1 = 2, a4 a3= a6 一 a5= 1 2s， -S + S2 + + Sioo= (a2 ai) + (a4 a3)+ ( aioo a99) 2+ 22+ 1 23 1 + 2TO0 12 ai + a2 = 4, ai = 1, 解：(1)由題意得 則 a

15、2= 2ai+1, a2= 3. 又當(dāng) n2 時(shí)，由 an+1 an= (2 S+ 1) (2S1+ 1) = 2an，得 an+1= 3an, 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= 3n 1, n N*. n 1 * (2)設(shè) bn = |3 n 2| , n N，則 b1= 2, b2= 1. 當(dāng) n3 時(shí)，由于 31n+2,故 bn= 31 n 2, n3. 設(shè)數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和為Tn,貝U T = 2, T2= 3, r 亠 9 1 3 2 n+ 7 n 2 3 n2 5n+11 當(dāng)n3時(shí)，Tn= 3+ = ，因?yàn)楫?dāng)n= 2 1 3 2 2 3n n2 5n+ 11 時(shí)，也符合Tn= .

16、2, n= 1, 所以 Tn= 3n n2 5n+ 11 1. 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，S是它的前n項(xiàng)和，若 S是等差數(shù)列，則q等于( ) A. 1 B. 0 C. 1 或 0 D . 1 解析：選 A 因?yàn)镾 S1 = an,又Sn是等差數(shù)列，所以an為定值，即數(shù)列an為常數(shù) 列，所以q= = 1. an 1 2. 已知數(shù)列an是公比為 3 的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和S = 3n + k(n N)，則實(shí)數(shù)k為( ) A. 0 B . 1 C. 1 D . 2 解析：選 C 由數(shù)列an的前n項(xiàng)和 S= 3n+ k(n N), 當(dāng) n = 1 時(shí)，a1= S = 3 + k； 當(dāng)n2時(shí)， an=

17、 S Si1 = 3 + k一 (3 + k) n 1 =2X3 . 因?yàn)閿?shù)列an是公比為 3 的等比數(shù)列，所以 a1 = 2X31一 1= 3 + k,解得k = 1. 13 3.已知等比數(shù)列的公比為 2，且前 5 項(xiàng)和為 1，那么前 10 項(xiàng)和等于( )A. 31 B . 33 C. 35 D . 37 14 Sio S5 5 解析：選 B 根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得 一 = q , 5 5 S 4.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S, ai+ a3=-,且a?+ a4=-，則一=( ) 2 4 an n 1 n “ A. 4 B . 4 1 C. 2n 1 D . 2n 1 解析：選 D 設(shè)等比數(shù)列

18、an的公比為q, 5.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, S5= 2, So= 6，貝y a16+如+ a18+ a19+比。等于( ) A. 8 B . 12 C. 16 D. 24 解析：選 C 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)镾2n S= qnSn，所以Sw S5= q5S5,所以 5 5 15 15 15 15 15 15z 6 2 = 2q，所以 q = 2，所以 a16+ a17 + a18+ a19 + 比。=ag + a2q + a3q + a4q + a5q = q (a 15 3 + a2 + a3 + a4 + a5)= q S5= 2 X 2= 16. 6.等比數(shù)列an共有

19、2n項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的 3 倍，則公比 q = 解析：設(shè)an的公比為q,則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為 q2,首項(xiàng)為a, 偶數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和分別為 S偶，S奇， 由題S偶+ S奇=3S奇， 即S偶=2S奇, 因?yàn)閿?shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)， S禺 所以q=s奇=2. 答案：2 7.等比數(shù)列&中，若a1 + a3+-+ a99= 150,且公比q= 2,則數(shù)列an的前 100 項(xiàng)和 Sl0一 1 5 = 2， So= 33. a1 2 1 + q 5 =2 則 2 5 a 1 + q =4 a1= 2, 解得 1 q = 2, an a1 1 qn 1T n 1 ag =

20、2n 1.故選 D. 15 為 _ .2 16 a2 + a4+ aioo a2+ a4+ aioo r 解析：由 =q, q= 2，得 =2?比+ a4+ aioo = 300,則 ai + a3+ a99 150 數(shù)列an的前 100 項(xiàng)的和 Soo= (ai+ a3 + + a99)+ ( a2+ a4 + + aioo) = 150+ 300= 450. 答案：450 1 1 1 &在等比數(shù)列an中，a1 + a2+ a6= 10, 丁+才 +： = 5,貝V a1 a2 . a6 = a1 a2 a6 1 1 1 aeq ai a1 a6 q aa6 3 = =5,把 a1

21、aeq= 10(1 q)代入，得 a1a6= 2,又 a a2 . a6= (a ae) 1_1 q1 q =23= 8. 答案：8 9. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S.已知a2= 6*+ a3= 30, 求 an和 S. aq= 6, 解：設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得 2 6a1+ ag = 30, a1= 3, a1= 2, 解得 或 q= 2 q= 3. 當(dāng) a1= 3, q= 2 時(shí)，an = 3X2 , Sn= 3(2 1)； n_ 1 n 當(dāng) a1= 2, q= 3 時(shí)，an = 2X3 , S= 3 1. 10. 已知an為遞減的等比數(shù)列，且 a1, a2, as 4, 3, 2

22、,0,1,2,3,4. (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； n 1 1 16 (2) 當(dāng) bn = 2 an 時(shí)，求證： b1 + b2 + +十 b2n18 000 , lg 6 n- 5 lg - 4 解：當(dāng) n = 1 時(shí)，S = a1 = 1. 當(dāng)n2時(shí)， 1, n= 1, 若 a = 0,有 an= 1 ,n2, 2 a1 S1 = 1 q 5 1 qn 400 1- 4 &在數(shù)列an中，若 an= an-1 +1, n2, 求數(shù)列an的前n項(xiàng)和. 即n年內(nèi)旅游業(yè)總收入為 1 600 n 1 萬元. 5 由(1)知 S = 1 600 4 n 1 , 即 1 600 n 1 8

23、000 , 5 n6, ig 4 nig 6 , 8.029 大約第 9 年后，旅游業(yè)總收入超過 8 000 萬元. 22 1, n= 1, 若 a= 1，有 an= 3 2， n2, 1 2 n 1、 =1 + (n 1) + (a+ a+ a ) n n+ 1 a a 丁+ 1 a 1, n= 1, n+r1, a= 0 且 n2, . n n+ 1 a a + , a0 且a 1 且 n2. 2 1 a 小試身手 1.判斷下列命題是否正確.（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“ x”） （1）如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于 1,則其前n項(xiàng)和S (2)當(dāng) n2 時(shí)，-21= 2 土 ( ) n

24、 1 2 n 1 n+ 1 求 S= a+ 2a2+ 3a3+門之和時(shí)只要把上式等號兩邊同時(shí)乘以 減法求得（ ） 1 2 1 數(shù)列 班+ 2n 1 的前n項(xiàng)和為n +刁（ ） （5）若數(shù)列a1, a2 a1,，an an 1是首項(xiàng)為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，則數(shù)列an的通 項(xiàng)公式是an= 3（） n a1 1 q a1 an+1 解析：（1）正確.公比不等于 1 的等比數(shù)列的前-項(xiàng)和 S = - = 4 q 則S= 1 +環(huán)門1) 3n 1 則 S= 1+ 1 + a + 1 丄2丄丄 1 丄n 1 2+ a + 2+ a n 1 綜上所述，S= 3n, a= 1 且n2, a1 an+1

25、 1 q ( ) a即可根據(jù)錯(cuò)位相 23 1 一 q 1 一 q24 (2)正確化簡即得. 錯(cuò)誤.a 的值不能確定. 1 (4)錯(cuò)誤.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=尹+ 2n 1, 則用分組轉(zhuǎn)化法求和， 1 1 1 2 + 尸+ 2 +(2 + 4 + -+ 2n) n 1 2 1 2 =1 歹 + n + n n = 1 藝 + n. 答案：(1) V (2) V (3) X x (5) V 2.已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1= 1, $ = as，則 So=( ) B. 390 D . 430 解析：選 C 設(shè)數(shù)列an的公差為 d. S= a3, 2a1+ d= a + 2d,

26、A d= S。= 40 x* 40 X 39 1 + 2x 2= 410. 3.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1= 2,且an+ 2an+1+ an+ 2= 0(n N),則S 016 解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,貝U 金+ 2an+1 + an+ 2= an(1 + 2q+q3 4) = 0,v an0,A q2 + 2q+ 1 = 0. 解得 q= 1, S 016 = 0. 答案：0 2n一 1 321 4.已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an=廠，其前n項(xiàng)和S = &，則項(xiàng)數(shù)n等于 _ 3 1 1 f 4 2 - Sn = n 2 + 2n _2 n (5)正確.由題意

27、 an= a1 + a2一 at + + an 1 an 2 + an an 1 = 1 3n 1 3 3n A. 290 C. 410 321 1 斎=5+64 25 解析： n 2 1 1 an= 2“ = 1 , 26 n= 6. 答案：6 課堂講練設(shè)計(jì)舉一能軸類題 分組轉(zhuǎn)化法求和 3寸，試求6的前n項(xiàng)和. 典例已知數(shù)列6 : 11, 2：, 解令cn的前n項(xiàng)和為 S, 1 1 1 貝H Sn= 1g+ 24 + 3+ 1 n+ 2 1 + 2+ 4+8+ 1 1 n n+1 2 2+ 1 n 2 1 1 - 2 n n+1 1 n 2+ 1 2 . 2 + 即數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為 S=

28、+ 1 1n. _QG3O _ 若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成， 則求和時(shí) 可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減. 活學(xué)活用 1. 數(shù)列( 1)nn的前n項(xiàng)和為S,則S2 016等于( ) A. 1 008 B . 1 008 C. 2 016 D . 2 016 解析：選 A S2 016 = ( 1 + 2) + ( 3+ 4) + ( 2 015 + 2 016) = 1 008. 2 2 n n 2 n n 2. 數(shù)列an的通項(xiàng)an= n cos sin ，其前n項(xiàng)和為Sn,貝U So 為 _ 27 解析： an= n2 cos2 nnsin 2 乎

29、=n2cos S3o= 1 2 2 n 2 4 n -cosT+2 cosT+ 3 cos2n+ 30 cos20 n 1 一 2X1 2- 1x 2 2+ 32 2 X 4 21x 52+ 62+一 2 x 282 fx 292 + 302 1 一 2(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 -2X3 ) + (4 + 5 -2X6 ) + (28 + 29 -2X 30 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -3 ) + (4 - 6 ) + (28 - 30 ) + (2 - 3 ) + (5 - 6 ) + (29 - 30 ) 1 =-0 2(4 + 10+ 1

30、6 + + 58) (5 + 11 + 17+ 59) 1 - 2 X 4+ 58 X 10- 5+ 59 X 10 = 470. 2 2 2 答案：470 題型二 裂項(xiàng)相消法求和 典例 已知等比數(shù)列劉的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a1+ 3a2= 1, ai= 9a2a6. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 1 設(shè)bn = log 3an，求數(shù)列 b茁的前n項(xiàng)和Tn. 2 2 2 2 1 解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為 q,由 a3= 9a2a6得 as= 9a4q = 9. 1 由條件可知q0,故q = 3. , 1 由 2a1 + 3a2= 1 得 2a1 + 3ag= 1, a1= 3. 3 1 故數(shù)

31、列 an的通項(xiàng)公式為an= 3 / an = 1 尹 2n, 4n n+ 1 = 4 n n+ 1 1 bnbn+ 1 1 1 1 1 1 2 + 23 + n-荷 28 (1) 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差， 在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消， 從而求得其和. (2) 裂項(xiàng)求和的幾種常見類型： 1 111 - = - ； n n + k k n n+ k 審為n=艮時(shí)； 1 111 - = - 2n 1 2n+1 2 2n 1 2n+ 1 活學(xué)活用 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且S3= 15, as+ a9= 30. (1)求 an及 S； 若數(shù)列bn滿足bn(S n) = 2(n N*)，

32、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證：Tn2. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,由題意可得 則 an= 3+ 2( n 1) = 2n+ 1, 2n n 1 2 S= 3n+ = n + 2n. (2)證明：由題意可得 , 2 2 1 1 bn = = 2 = 2 Si n n + n n n+ 1 Tn = b1 + b2 + + bn 1 n+ 1 典例 1 (1)證明：數(shù)列 一一 1若an是公差為d的等差數(shù)列，則 1 1 1 1 an?b+1 d an an+ 1 a1+ a2+ a3= 15, a5+ a9= 30 3a1 + 3d = 15, 2a1+ 12d= 30 a1 = 3,

33、 d = 2, 1 n+ 1 解證明：由a+1 = an十 1 1 a + 1111 a+1 = 2a = 2+ 2X 和 1 1 2 a- 又a1= 3,所以1 - 1 = 2,所以數(shù)列 1 一 1 是以 2 為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列. 所以 a=2n+n. 、 1 2 3 n 設(shè) Tn= 2+ 2 + 2 + 2， 則 2T=夕+!+n1+洛， 2 2 2 2 2 由一得 n , 1 n 1 = 1 尹2n+1， 1 2 1 n Tn= 2 廠2 n+ 1 2 3 n+n+4 n+ 2 n 2 2 如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位 相減法.

34、 在寫出“ S”與“ qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫所以 1 a+1 (2)由(1)得1 -1 = 2-1 = 2, 1 1 即 an=2+1, 又 1 + 3 n n+ 1 2 ， 所以數(shù)列n的前n項(xiàng)和 sn= 2 31 出“ S qS”的表達(dá)式. 活學(xué)活用 數(shù)列an滿足 ai= 1, nan+i = (n+ 1)an+ n(n+ 1), n N*. (1)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列； 設(shè)bn = 3n an，求數(shù)列b的前n項(xiàng)和S. 所以n是以了= 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)得 = 1 + ( n 1) 1 = n,所以 an= n2. 從

35、而bn= n3n. S= 1 3 1 + 23?+ 33+ + n，3, 3Sn= 1 l + 2 l + + (n 1) l+ n 3n+1. 一得一 2Sn= 31 + 32+ 3n n 3n+1 n 3 1 3 1 1.已知an= ( 1)n,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,則$與So的值分別是( ) A. 1,1 B. 1, 1 C. 1,0 D . 1,0 解析：選 D S9= 1 + 1 1+ 1 1 + 1 1+ 1 1 = 1 , So= S9 + a10= 1 + 1 = 0. 解：(1)證明：由已知可得 an+ 1 n+ 1 an 討1， 即 an+ 1 n+1 an =1. n

36、n+ 1 n3 1 -3n+1 3 2數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 1 jn+ .n+1 ，若前n項(xiàng)和為 10,則項(xiàng)數(shù)為 2 層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 32 A. 11 B . 99 C. 120 D . 121 33 Sn = ai + a2 + + an =(、:2 1) + ( ,：3 ：2) + ( n+ 1 - :n) =,n+ 1 1, 令 n+ 1 1 = 10,得 n= 120. 3. 等差數(shù)列an中，a1= 1, an, an+1是方程x5 (2 n+ 1)x +1 = 0的兩個(gè)根，則數(shù)列bn Dn 前n項(xiàng)和Sn=( ) 1 1 A. 1 B. 2n+ 1 n+ 1 n n C. D. 2

37、n+ 1 n+ 1 2 1 解析：選 D 因?yàn)閍n, an+1是方程x (2 n+ 1)x+】=0 的兩個(gè)根，所以an+ an+1 = 2n+ 1, Dn 又因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以 an+ an+1 = a1 + a2n = 1 + a2n = 2n + 1,所以a2n = 2n,所以an 5 99 2 99 2 為 $9= (2 1) + (2 1) + (2 1) = 2+ 2 +-+ 2 99= =n. a1 =n( n+ 1) = b,所以 bn=n 1 n+l 1+彳，所以數(shù)列bn前n項(xiàng)和Sn= 1 1 + n n+1 2 解析：選 C 34 1 1 1 1 1 n 一 +.

38、+ = 1 = 2 3 n n+ 1 n+ 1 n+ 1 4. 在數(shù)列an中，已知 S= 1 5+ 9 13+ 17 21 + ( 1)n1(4 n 3)，貝U Ss+ 也 S31的值( ) A. 13 B . 76 C. 46 D . 76 解析：選 B / S15 = ( 4) X 7+ ( 1)14(4 X 15 3) = 29. &= ( 4) X 11 = 44. 30 SB1= ( 4) X 15+ ( 1) (4 X 31 3) = 61. S5+ S22 S31 = 29 44 61 = 76. 5. 數(shù)列 1,1 + 2,1 + 2+ 22,，1 + 2+ 22+ 2

39、n：的前 99 項(xiàng)和為( ) 99 B . 2 101 99 D. 2 99 解析：選 A 由數(shù)列可知 In 一 2 an= 1 + 2 + 22+ 2 =T= 2n 1，所以，前 1 2 99 項(xiàng)的和 99 1 2 1 2 100 99= 2 101. 100 A. 2 101 100 C. 2 99 1 35 2 3 解析：等比數(shù)列an中，a1= 1,3 a3= 2 比+ a4,. 3q = 2q+ q .又T qz 1,.q= 2, n_ 1 1 1 2n_ 1 1 1 1 an = 2 1,A - = 2 2 -：即是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列, anan+1 2-n-n+1 2 4

40、 S6 Q 7.等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為5,若= 3，則點(diǎn)= _ S3 S6 解析：亍3，故qz 1, 即 q3= 2. 3 1-q 1-2 7 x = 2=. a1 1 - q 1 - 2 3 答案：7 &對于數(shù)列a，定義數(shù)列an+1-an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若 a= 2, a，的“差 數(shù)列”的通項(xiàng)公式為 2n,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=_ . 解析：an+ 1 an= 2 , - an = (an an-1)+ (an-1 an-2)+ (a2 a1)+ a1 2- 2n =2n-1+ 2n-2+ 22 + 2+ 2= + 2 = 2n- 2+ 2= 2n. 答案：2n+1-

41、2 9.已知an是遞增的等差數(shù)列，a1 = 2, a2= a4+ 8. (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 若bn = an + 2an，求數(shù)列bn的前門項(xiàng)和S. 解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d, d0.由題意得(2 + d)2 = 2+ 3d+ 8,解得d= 2. 故 an= a1 + (n 1) d= 2 + ( n 1) 2= 2n. (2) T bn = an+ 2an= 2n+ 22n,6.已知等比數(shù)列an的公比qz 1,且ai= 1,3as= 2 比+ a,則數(shù)列 anan+ 1 的前 4 項(xiàng)和為 數(shù)1 -n-n+ 1 的前 4 項(xiàng)和為 128 答案: 85 面 a1 1 - q6 1

42、 - q x a1 1-q 1-q3 =1 + q3= 3, a1 1 - q9 1-q 2-2n+1 n+ 1 -2. 36 n+ 1 +1 一 2n 1 F n+1 1+1 Y = 2 1 2 層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) B. 3 n-1 c 2 n 1 /. Sn = bi + b2 + bn =(2 + 22) + (4 + 24) + + (2n+ 22n) =(2 + 4 + 2n) + (2 2+ 24+ 22n) 2+ 2n n 4 n 1 4 2 1 4 =n( n+ 1) + 4 10.在等差數(shù)列an中，as= 4, a7= 8. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； an 令bn =

43、尹，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)?d= = 1，所以 an= a3+ ( n 3) d= n+ 1. 7 3 an n + 1 (2) bn= 2 = , Tn= b1+ + bn= 2 + 2+ + + n+i1. /= I + |+-+丹學(xué) 1 1 1 1 由一得 2 齊=2+尹戸+ n+ 1 n 2 n + 3 =3- 2n ， 所以Tn= n + 3 6- 2n 1 . 1.已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn, a1 = 1, Sn= 2an+1, 則 Si=( ) n 1 A. 2 1 D.n-1 n+1 -4 37 C. 3 因?yàn)?an+1 = S+1 S,所以由

44、S= 2an+1, 得 Sn= 2( Sn+1 S)，整理得 3S = Sn+ 1 2S +1,所以= 3，所以數(shù)列S是以S = a1= 1 為首項(xiàng), 3 3 n 2 為公比的等比數(shù)列，故 s= 2 n 解析：選 B 38 1 121231234 1 2已知數(shù)列an: 2，3+ 3, &+ 4+4, 5+ 5+ 5+5,，那么數(shù)列 斫 荷 前n 項(xiàng)的和為（ ） n n+1 1111 Sn=4 1 2+ 2 4+4 1 n+ 1 3某廠去年的總產(chǎn)值是 a億元，假設(shè)今后五年的年產(chǎn)值平均增長率是 10%則從今年 起到第 5 年年末該廠的總產(chǎn)值是（ ） A. 11X（1.1 1）a 億元 B

45、. 10X（1.1 1）a 億元 C. 11X（1.1 4 1）a 億元 D. 10X（1.1 4 1）a 億元 解析：選 A 由題意可知，今年年末的總產(chǎn)值為 1.1 a,從今年起每年年末的總產(chǎn)值構(gòu)成 1) a億元，故選 A. 4. 已知是an等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn,若a3, a4, a*成等比數(shù)列，則 ( ) A. a1d0, dS0 B . a1d0, dS0 C. a1d0, dS0 D. a1d0 解析：選 C .在等差數(shù)列an中，a3, a4, a*成等比數(shù)列， 2 5 (a1 + 3d) = (a1+ 2d)( a1+ 7d)? a1 = 3d, c , 2, -S

46、 = 2( a1 + a4)= 2( a1 + a1 + 3d) = 3d, 3 5 2 2 2 a1d= 3d 0, dS = 3d 0，故選 C. A. 1n+ B . 4 2- 1 n+ 1 C. 1 - n+ 1 1 1 D. - 2 n+1 解析：選 A .an= 1 + 2+ 31卄 n+ 1 2 n+ 1 n 2, bn = 1 anan + 1 4 n n+ 1 1 n+ 1 1 1 1 4+ + n n+1 一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為 1.1 a,公比為 1.1.所以其前 5 項(xiàng)和為S5= 1.1 a 5 1 1.1 1 =11X (1.1 39 3 3 5 .求和： 1 1 1

47、1 1 1 1 1 1 s= 1 + 1+2 + 1 + 2+4 + 1 + 2 + 4 + g+ 1+2+4+ 2n-1 40 解析：被求和式的第 k項(xiàng)為: 1 k 1 1 - 2k E =廠=2 1 2 1 1 1 n + 牙+ 23 + + 1 1 1 一 Tn 2 2 n 1 =2 n 1 2n 1 =2n+ 21 2. 1 答案：2n+廠2 6. 已知等比數(shù)列an及等差數(shù)列bn，其中b1 = 0,公差 0.將這兩個(gè)數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng) 相加，得一新數(shù)列 1,1,2，則這個(gè)新數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為 . 解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q,則an的前三項(xiàng)分別為 1, q, q2, bn的前三項(xiàng)分別為 0

48、, q+ d= 1, q= 0, q= 2, d,2d，于是2 解得 (舍去)或 于是新數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為 q2+ 2d= 2, d= 1 d= 1. 10 1 2 (a1 + b) + (a2 + b2)+ (a10 + b。)= (a1 + &+ aw) + (b + b2 + + b。)= + 10X0 1 2 答案：978 7.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和S,滿足 S= n(n 6)，數(shù)列bn滿足b2 = 3, bn+1= 3bn(n N*) (1) 求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式； a, n為奇數(shù)， (2) 記數(shù)列 Cn滿足 6= 求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn. tn, n為偶數(shù)

49、， 解：(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = S1 = 5, 當(dāng) n時(shí)，an= Sn Si-1 = n 6n (n 1) + 6(n 1) = 2n 7, n= 1 也適合上式， an= 2n 7.10X + 10 1 2 X ( 1) = 978. 41 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn= ci + C2 + + c n n-7 3 3n-1 + 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Tn= C1 + C2 + Cn n- 1 3 1-9- + 1-9 n+1 n-6 2 n- 1 n+ 1 2 “-6 + 3 3 8- 1 ，n為奇數(shù). * 1 &設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為 S,且 S= 2-an, n N，設(shè)函數(shù)f(

50、x) = log -x，且滿足 bn = f ( an) 3. (1) 求出數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式； (2) 記Cn = an bn , Cn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的最小值. 解：(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，S = 2 a1 得 a1 = 1. 當(dāng) n時(shí)，an= S Sn- 1 = (2 an) (2 an-1 ) = an + an-1 ,可得 an= an-1 , an是首項(xiàng)為 1,公比為 1 的等比數(shù)列，-bn + 1= 3bn( Pl N),且匕2工 0 , bn+ 1 bn 3, bn 為等比數(shù)列, n 1 b= (2)由(1)得，Cn = 2n-乙n為奇數(shù), 3n1, n為偶

51、數(shù). 2 - 5+ 2n-9 3 卜1-92 1 - 9 n+ 1 2 - 5 + 2n-7 n n 7 3 3n 1 + - ,n為偶數(shù), 8 綜上所述：Tn = 42 由題意得 bn= f(an) 3 = log Jan 3= log 1 n 1 由(1)得 Cn = (n 4) 2 一1 1 法一：T Cl= 30, C2= 10, C3= 40. 17 Cn的前n項(xiàng)和Tn的最小值為T3 = T4 =-. 1 1+ 1 2+ 2 n1 (n 4) x 1 2 1 =3+ - n 2 =2歹 n 2 -Tn = 4 Tn+ 1Tn. 17 cn的前n項(xiàng)和Tn的是小值為T3 = T4 =-了

52、 滋階就質(zhì)螯檢測（二）裁H （時(shí)間 120 分鐘滿分 150 分） 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1 1. 等比數(shù)列 an 的公比q=a1= 1 n-1 3= n 4. 法二：Tn= 3x 2 0 2x 11 1x 1 2+.+ (n 4) x 1 n 1 2 ，1 2Tn=- 3x 1 1 2x 2 2.+ (n 5) x 1 + (n4) 1 n 1 2 1 1 2 (n 4) x 1 n I Tn + 1 Tn = n 1 4 2n n2 n3 4一盯=于 當(dāng)nw2時(shí), 43 2，則數(shù)列an是（ ） 4

53、 A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)數(shù)列 D .擺動數(shù)列44 1 _ 解析：選 D 因?yàn)榈缺葦?shù)列an的公比為q= 4，ai= ,2 故比0,，所以數(shù) 列an是擺動數(shù)列. 2. 若互不相等的實(shí)數(shù) a，b, c成等差數(shù)列，a是b, c的等比中項(xiàng)，且 a+ 3b+ c= 10, 則a的值是（ ） A. 1 B . 1 C. 3 D . 4 2b= a+ c, 2 解析：選 D 由題意，得 a = bc, a+ 3b+ c= 10, 解得 a= 4, b= 2, c = 8. 1 n 3. 在數(shù)列an中，a1 = 3, & = ( 1)2&1(n2)，貝U a5等于( 3 16 B.

54、y 8 D. 3 1 n 解析：選 B .a1 = 3, an= ( 1)2 an1, 3 2 4 a3= ( 1) X 2X 3= 3, 4 4 8 a4= ( 1) x2X 3 = 3, 6 6 8 16 a5= ( 1) x2x 3 =亍 A. 16 C. a2 = ( 1)、2x 3= 2 3, 4. 在等比數(shù)列an中，已知前 n項(xiàng)和 S= 5n+1+ a,則a的值為（ )A. 1 B . 1 C 5 D . 5 a1 1 解析：選 D 因?yàn)?S= 5n+1+ a= 5x5 n+ a,由等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和 45 a 1 -f 可知其常數(shù)項(xiàng)與q的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a=-5 2an,

55、n為正奇數(shù)， 5. 已知數(shù)列an滿足a1= 1, an+1= ”心一 則 254 是該數(shù)列的（ ） an+ 1, n為正偶數(shù)， B .第 10 項(xiàng)A.第 8 項(xiàng) C.第 12 項(xiàng) D .第 14 項(xiàng) 46 解析：選 D 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí), an+1 = 2an,貝U a2= 2a1 = 2,當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí)，an+1= an + 1,得a3 = 3,依次類推得 a4=6, a5= 7, a6= 14, a7= 15,，歸納可得數(shù)列an的通項(xiàng)公 n+1彳 _ -1 2 2 =2 因 6.已知數(shù)列 =( ) A. 2 B- 2 C. 3 D. 1 解析： 選 C a2 1 a2 1 15 = -5

56、, 7.如果數(shù)列 an =( )3 A.21 1 n 3 2 C.21 1 3 解析： 選 A 式an 則a2 那么 由題知 a1 +砧 n為正奇數(shù), 2, n為正偶數(shù), 則 2- 2 = 254, n= 14,故選 D. 3 15 5 3 an是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為 S,若a1a2a3= 15,且卡 + = + =- s=a, S3=3a2, $= 5a3,.訶 1113 + + a2a3 a 5 a2= 3.故選 C. a1, a2 a1, a3 a2,* an an - 1 , 是首項(xiàng)為 a1= 1, q= S S3 S3S5 S5S 5 3 / aa2a3= 15，二二 5 1 1

57、、公比為 3 的等比數(shù)列, 3 B.2 2 D.3 an an 1= 1 X 1 n 1 3 設(shè)數(shù)列a1, a2 a1,，an an-1的前n項(xiàng)和為S, S1 = a1 + (a2 aj + (st a2)+ (an an1) = an. 又 S = 1 1X 1亍 3 1 廠=21 亍, 1 3 _ 1 an 1 n . 2 3 S 007 S2 005 &設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1 = 2 014，齊右 石 2 007 2 005 =2，貝U S 016的值為（ A. 2 016 B . 2 016 C. 2 015 D . 2 015 a3 15 47 解析：選 B 因

58、為s為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列n是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列n S2 007 S2 005 S2 016 Si 的公差為d,則由2007 2005= 2,得 2d= 2,解得d= 1,所以 2 麗=彳+ 2 oi5d =ai+ 2 015 d= 2 014 + 2 015 = 1，所以 S 0i6 = 2 016. 二、填空題（本大題共 7 小題，多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分把答案填 在題中橫線上） 9. 已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，n N.若as= 16, 20,則 a= _ d = _ , Si0= _ . 解析：由已知得， a1+ 2d= 16, 20X

59、20 1 解得 a1= 20, d= 2, 20a1 + x d = 20, 答案：20 2 110 10. (浙江高考)設(shè)數(shù)列劉的前n項(xiàng)和為 Sn.若S2= 4, an+1 = 2S+1, n N*,貝U a = _ , S5= _ . 解析：T an+ 1 = 2S1 + 1 ,. S+ 1 S= 2Sn+ 1 , . S1+1 = 3S+ 1, 1 數(shù)列 s+ 2 是公比為 3 的等比數(shù)列, =3. 又 S2= 4,. S1 = 1, a1 = 1, S = 121. 答案：1 121 11. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 2 015 3n,則使an0 成立的最大正整數(shù) n的值為 2

60、 015 2 解析：由 an= 2 015 3n0,得 n = 67 丐, Si0= 10 x 20+ 10X9 2 X ( 2) = 110. S + s +1 X34 = 2X3 243 2 , 48 又 n N,. n的最大值為 671.49 答案：671 2n+1 102.由于 26= 64,2 7= 128，貝 U n+ 1 7, 即n6. 答案：6 13.- 已知數(shù)列an滿足an+1-北2n（n N）, a = 3,則* - ,詈的最小值為 解析：T an+1 -an= 2n, 二 a2 a1 = 2 x 1, a3- a2= 2x2, a4 a3= 2x 3, an an-1 = 2（ n 1）, 以上各式相加可得 2 =n n, a1 = 3, an = n n+ 3. an 3 = n+ 1. n n Tf(x)=