高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)高中數(shù)學(xué)第四章 -三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總1. 與（0 360 ）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合） ：zkk,360|終邊在x 軸上的角的集合：zkk,180|終邊在y 軸上的角的集合：zkk,90180|終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：zkk,90|終邊在y=x 軸上的角的集合：zkk,45180|終邊在xy軸上的角的集合：zkk,45180|若角與角的終邊關(guān)于x 軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：k360若角與角的終邊關(guān)于y 軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：180360 k若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：k180角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：90360 k2. 角度與弧度的互

2、換關(guān)系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零. 、弧度與角度互換公式：1rad180 57.30=571811800.01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：rl|. 扇形面積公式：211| |22slrr扇形4、 三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角， 在的終邊上任取 （異于原點(diǎn)的） 一點(diǎn) p （x,y ） p與原點(diǎn)的距離為r ， 則rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc.5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oooxyxy

3、xy6、三角函數(shù)線正弦線： mp; 余弦線： om; 正切線： at. 7. 三角函數(shù)的定義域：yxsin cos三角函數(shù)值大小關(guān)系圖sinxcosx1、 2、 3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosxroxya的終邊p（ x,y )tmaopxy(3) 若 ox2,則sinxx|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 幾個(gè)重要結(jié)論:ooxyxy名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)三角函數(shù)定義域)(xfsinxrxx |)(xfcosxrxx |)(xftanxzkkxrxx,

4、21|且)(xfcotxzkkxrxx,|且)(xfsecxzkkxrxx,21|且)(xfcscxzkkxrxx,|且8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：tancossinc o tsi nc o s1cottan1sincsc1c o ssec1c o ss i n221tansec221cotcsc229、誘導(dǎo)公式：2k把的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：“奇變偶不變，符號(hào)看象限，當(dāng)成銳角看！ ” （zk）三角函數(shù)的公式： （一）基本關(guān)系公式組二公式組三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxc o t)c o t (t

5、a n)t an (c o s)c o s(si n)si n (公式組四公式組五公式組六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxxxc o t)2c o t (t a n)2t a n (co s)2c o s(si n)2s i n (xxxxxxxxc o t)c o t (t a n)t an (c o s)c o s(si n)si n (（二）角與角之間的互換公式組一公式組二sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i nsinsincoscos)cos(2222si n211c o s2s i nc o s2

6、c o ssincoscossin)sin(2t an1t a n22t ansincoscossin)sin(2c o s12s i ntantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式組三公式組四公式組五2tan12tan2sin22tan12tan1cos22公式組一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsec xx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsi

7、n21cossin2cos2sin2sinsinsincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)2tan12tan2tan242675cos15sin, ,3275cot15tan,. 3215cot75tan42615cos75sin10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：xaysin（a、 0）定義域r r r 值域 1, 1 1, 1r r aa,周期性222奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng),0 非奇非偶當(dāng),0 奇函數(shù)單調(diào)性22,22kk上 為 增 函數(shù)；223,22kk上 為

8、減 函數(shù) （zk）2,12kk；上 為 增 函數(shù)12,2kk上 為 減 函數(shù)（zk）kk2,2上為增函數(shù)（zk）1, kk上為減函數(shù)（zk）)(212),(22akak上為增函數(shù)；)(232),(22akak上為減函數(shù)（zk）注意：xysin與xysin的單調(diào)性正好相反；xycos 與xycos的單調(diào)性也同樣相反.一般地， 若)(xfy在,ba上遞增（減） ，則)(xfy在,ba上遞減（增） . xysin與xycos的周期是. )sin( xy或)cos( xy（0 ）的周期2t. 2tanxy的周期為2（2tt，如圖，翻折無(wú)效）. )sin( xy的對(duì)稱軸方程是2kx（zk） ，對(duì)稱中心（

9、0,k） ；)c o s (xy的對(duì)稱軸方程是kx（zk） ，對(duì)稱中心（0 ,21k） ；)t a n (xy的對(duì)稱中心（0 ,2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原點(diǎn)對(duì)稱當(dāng) tan, 1tan)(2zkk； tan, 1tan)(2zkk. xycos與kxy22sin是同一函數(shù) ,而)( xy是偶函數(shù)，則2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscoszkkxrxx,21|且zkkxrxx,|且xycotxytanxycosxysincos)21sin(cot)21tan(oyx名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn))cos()21sin()(xkxxy.

10、 函數(shù)xytan在r上為增函數(shù) .（ ） 只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個(gè)定義域，xytan為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的. 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是)(xf具有奇偶性的必要不充分條件. （奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：)()(xfxf，奇函數(shù)：)()(xfxf）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函數(shù)，)31tan(xy是非奇非偶 .（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若x0的定義域，則)(xf一定有0)0(f.（x0的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）xysin不是周期函數(shù)；xysin為周期函數(shù)（t） ；xycos是周期函數(shù)（如圖） ；xy

11、cos為周期函數(shù)（t） ；212cos xy的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. 11、三角函數(shù)圖象的作法：）幾何法：）描點(diǎn)法及其特例 五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切曲線）. ）利用圖象變換作三角函數(shù)圖象三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等函數(shù) yasin（x ）的振幅 |a| ，周期2|t，頻率1|2ft，相位;x初相（即當(dāng) x 0 時(shí)的相位） （當(dāng) a0，0 時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），由 ysinx 的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（

12、當(dāng)|a|1）或縮短（當(dāng)0|a|1）到原來(lái)的 |a|倍，得到y(tǒng)asinx 的圖象，叫做 振幅變換 或叫沿 y 軸的伸縮變換 （用 y/a 替換 y）由 ysinx 的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0|1）或縮短（ | 1）到原來(lái)的1|倍，得到 ysin x 的圖象，叫做周期變換 或叫做沿x 軸的伸縮變換(用x 替換 x) 由 y sinx 的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng) 0）或向右 （當(dāng) 0）平行移動(dòng) 個(gè)單位， 得到 y sin（x ）的圖象，叫做相位變換 或叫做沿 x 軸方向的平移(用 x替換 x) 由 y sinx 的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b0）或向下（當(dāng)b0）平行移動(dòng) b個(gè)單位，得到y(tǒng)

13、sinxb 的圖象叫做沿y 軸方向的平移 （用 y+(-b) 替換 y）由 ysinx 的圖象利用圖象變換作函數(shù)yasin（x ） （a0，0） （xr）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x 軸量伸縮量的區(qū)別。ii. 競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)一、反三角函數(shù). 1. 反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)xyarcsin是奇函數(shù)，故xxarcsin)arcsin(，1 , 1x（一定要注明定義域，若,x，沒(méi)有x與y一一對(duì)應(yīng)， 故xysin無(wú)反函數(shù)） 注：xx)sin(arcsin，1, 1x，2,2arcsinx. yxy= cos|x|圖象1/2yxy=| cos2x+1/2|圖象名師總結(jié)

14、優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)反余弦函數(shù)xyarccos非奇非偶，但有kxx2)arccos()arccos(，1 , 1x. 注：xx)cos(arccos，1 , 1x，,0arccosx. xycos是偶函數(shù)，xyarccos非奇非偶，而xysin和xyarcsin為奇函數(shù) . 反正切函數(shù)：xyarctan，定義域),(，值域（2,2） ，xya r c t a n是奇函數(shù)，xxarctan)arctan(，x),(.注：xx)tan(arctan，x),(. 反余切函數(shù)：xarcycot，定義域),(，值域（2,2） ，xa r cyc o t是非奇非偶 . kxarcxarc2)cot()cot(，x)

15、,(.注：xxarc)cotcot(，x),(. xyarcsin與)1arcsin(xy互為奇函數(shù)，xyarctan 同理為奇而xyarccos 與xarcycot非奇非偶但滿足1 , 1,2)cot(cot1 , 1,2arccos)arccos(xkxarcxarcxkxx. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：a的取值范圍解集a的取值范圍解集axsin的解集axcos的解集a 1 a1 a=1 zkakxx,a r c s i n2|a=1 zkakxx,arccos2|a1 zkakxxk,arcsin1|a1 zkakxx,arccos|axtan的解集：zkakxx,arctan|axc o t的解集：zkakxx,o tar c|二、三角恒等式. 組一組二nknnnk12sin2sin2cos8cos4cos2cos2cosnkdndxdnndxdxxkdx0sin)cos() 1sin()cos()cos(cos)cos(nkdn