數(shù)學(xué)建模例題及解析

1、。例1差分方程資金的時(shí)間價(jià)值問(wèn)題1:抵押貸款買(mǎi)房從一則廣告談起每家人家都希望有一套(甚至一棟)屬于自己的住房，但又沒(méi)有足夠的資金一次買(mǎi)下，這就產(chǎn)生了貸款買(mǎi)房的問(wèn)題。先看一下下面的廣告(這是1991年1月1日某大城市晚報(bào)上登的一則廣告)，任何人看了這則廣告都會(huì)產(chǎn)生許多疑問(wèn)，且不談廣告中沒(méi)有談住房面積、設(shè)施等等，人們關(guān)心的是：如果一次付款買(mǎi)這棟房要多少錢(qián)呢?銀行貸款的利息是多少呢?為什么每個(gè)月要付1200元呢?是怎樣算出來(lái)的?因?yàn)槿藗兌贾?，若知道了房?jī)r(jià)(一次付款買(mǎi)房的價(jià)格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款項(xiàng)通過(guò)借貸方式來(lái)解決，只要知道利息，就應(yīng)該可以算出五年還清每月要付多少錢(qián)才能按時(shí)

2、還清貸款了，從而也就可以對(duì)是否要去買(mǎi)該廣告中所說(shuō)的房子作出決策了?，F(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。由于本問(wèn)題比較簡(jiǎn)單無(wú)需太多的抽象和簡(jiǎn)化。a.明確變量、參數(shù)，顯然下面的量是要考慮的：需要借多少錢(qián)，用記；月利率(貸款通常按復(fù)利計(jì))用R記；每月還多少錢(qián)用x記；借期記為N個(gè)月。b建立變量之間的明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。若用記第k個(gè)月時(shí)尚欠的 款數(shù)，則一個(gè)月后(加上利息后)欠款 ， 不過(guò) 我們又還了x元所以總的欠款為 k=0，1，2，3，而一開(kāi)始的借款為。所以我們的數(shù)學(xué)模型可表述如下 (1)c. (1)的求解。由 (2)這就是之間的顯式關(guān)系。d針對(duì)廣告中的情形我們來(lái)看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年60個(gè)月，已

3、知；每月還款x1200元，已知A。即一次性付款購(gòu)買(mǎi)價(jià)減去70000元后剩下的要另外去借的款，并沒(méi)有告訴你，此外銀行貸款利率R也沒(méi)告訴你，這造成了我們決策的困難。然而，由(2)可知60個(gè)月后還清，即，從 而得 (3)(3)表示N60，x1200給定時(shí)和x之間的關(guān)系式，如果 我們已經(jīng)知道銀行的貸款利息R，就可以算出。例如，若R 001，則由(3)可算得 53946元。如果該房地產(chǎn)公司說(shuō)一 次性付款的房?jī)r(jià)大于70000十53946123946元的話，你就應(yīng)自 己去銀行借款。事實(shí)上，利用圖形計(jì)算器或Mathematica這樣的數(shù)學(xué)軟件可把(3)的圖形畫(huà)出來(lái)，從而可以進(jìn)行估算決策。以下我們進(jìn)一步考慮下面

4、兩個(gè)問(wèn)題。注1問(wèn)題1標(biāo)題中“抵押貸款”的意思無(wú)非是銀行伯你借了錢(qián)不還，因而要你用某種不動(dòng)產(chǎn)(包括房子的產(chǎn)權(quán))作抵押，即萬(wàn)一你還不出錢(qián)了，就沒(méi)收你的不動(dòng)產(chǎn)。例題1某高校一對(duì)年青夫婦為買(mǎi)房要用銀行貸款60000元，月利率001，貸款期25年300月，這對(duì)夫婦希望知道每月要還多少錢(qián)，25年就可還清。假設(shè)這對(duì)夫婦每月可有節(jié)余900元，是否可以去買(mǎi)房呢?解：現(xiàn)在的問(wèn)題就是要求使 的x，由(2)式知現(xiàn)60000，R001，k300，算得x=632元，這說(shuō)明這對(duì)夫婦有能力買(mǎi)房。例題2 恰在此時(shí)這對(duì)夫婦看到某借貸公司的一則廣告：“若借款60000元，22年還清，只要；(i)每半個(gè)月還316元；(ii)由于文書(shū)

5、工作多了的關(guān)系要你預(yù)付三個(gè)月的款，即316×61896元。這對(duì)夫婦想：提前三年還清當(dāng)然是好事，每半個(gè)月還316元，那一個(gè)月不正好是還632元，只不過(guò)多跑一趟去交款罷了；要預(yù)付18元，當(dāng)然使人不高興，但提前三年還清省下來(lái)的錢(qián)可是22752元喲，是1896元的十幾倍哪!這家公司是慈善機(jī)構(gòu)呢還是仍然要賺我們的錢(qián)呢?這對(duì)夫婦請(qǐng)教你給他們一個(gè)滿意的回答。具體解法略。問(wèn)題2：養(yǎng)老基金今后，當(dāng)年青人參加工作后就要從其每月工資中扣除一部分作為個(gè)人 的養(yǎng)老基金，所在單位（若經(jīng)濟(jì)效益好的話）每月再投入一定數(shù)量的錢(qián)，再存入某種利息較高而又安全的“銀行”(也可稱為貨幣市場(chǎng))到60歲退休時(shí)可以動(dòng)用。也就是說(shuō)，

6、若退休金不足以維持一定的生活水平時(shí)，就可以動(dòng)用自己的養(yǎng)老基金，每月取出一定的款項(xiàng)來(lái)補(bǔ)貼不足部分。假設(shè)月利率及001不變，還允許在建立養(yǎng)老基金時(shí)自己可以一次性地存入一筆錢(qián)(不論多少)，每月存入y元(個(gè)人和單位投入的總和)；通常從三十一歲 開(kāi)始到六十歲就可以動(dòng)用。這當(dāng)然是一種簡(jiǎn)化的假設(shè)，但作為估算仍可作為一種考慮的出發(fā)點(diǎn)。本問(wèn)題實(shí)際上有兩個(gè)階段，即退休前和退休后，其數(shù)學(xué)模型為其中x為每月要從養(yǎng)老基金中提出的款項(xiàng)。習(xí)題1 某大學(xué)年青教師小李從31歲開(kāi)始建立自己的養(yǎng)老基 金，他把已有的積蓄1萬(wàn)元也一次性地存入，已知月利率為001 (以復(fù)利計(jì))，每月存入300元，試問(wèn)當(dāng)小李60歲退休時(shí)，他的退 休基金有

7、多少?又若，他退休后每月要從銀行提取l000元，試問(wèn)多少年后他的退休基金將用完?你能否根據(jù)你了解的實(shí)際情況建立一個(gè)較好的養(yǎng)老基金的數(shù)學(xué)模型及相應(yīng)的算法和程取軟件)。習(xí)題2 漁業(yè)(林業(yè))管理問(wèn)題設(shè)某養(yǎng)魚(yú)池(或某海域)一開(kāi)始有某種魚(yú) 條，魚(yú)的平均年 凈繁殖率為R，每年捕撈x條，記第N年有魚(yú)條，則池內(nèi)魚(yú)數(shù)按年的變化規(guī)律為注意，在實(shí)際漁業(yè)經(jīng)營(yíng)中并不按條數(shù)計(jì)算而是以噸記數(shù)的。若對(duì)某海域的漁業(yè)作業(yè)中100000噸，R002，x1000噸，試問(wèn)會(huì)不會(huì)使得若干年后就沒(méi)有魚(yú)可捕撈了（資源枯竭了）？例2比例分析法席位分配問(wèn)題：某學(xué)校有三個(gè)系聯(lián)合成立學(xué)生會(huì)，（1）試確定學(xué)生會(huì)席位分配方案。（2）若甲系有100名，乙

8、系60名，丙系40名。學(xué)生會(huì)設(shè)20個(gè)席位，分配方案如何？(3)若丙系有3名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲系，3名學(xué)生轉(zhuǎn)入乙系，分配方案有何變化？（4）因?yàn)橛?0個(gè)席位的代表會(huì)議在表決提案時(shí)有可能出現(xiàn)10： 10的平局，會(huì)議決定下一屆增加1席，若在第（3）問(wèn)中將學(xué)生會(huì)席位增加一席呢？（5）試確定一數(shù)量指標(biāo)衡量席位分配的公平性，并以此檢查（1）（4）。公平而又簡(jiǎn)單的席位分配辦法是按人數(shù)的比例分配，若甲系有100名，乙系60名，丙系40名。學(xué)生會(huì)設(shè)20個(gè)席位，三個(gè)系分別應(yīng)有10，6，4個(gè)席位。如果丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入其他兩系學(xué)習(xí)，各系人數(shù)如表所示系別學(xué)生人數(shù)所占比例（%）按比例分配的席位按慣例分配的席位甲10351.51

9、0.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.020第二列所示，按比例分配席位時(shí)，出現(xiàn)了小數(shù)(見(jiàn)表中第四列)在將取得整數(shù)的19席分配完畢后，剩下的1席按照慣例分給余數(shù)最大的丙系，于是三個(gè)系仍分別占有10、6、4個(gè)席位因?yàn)橛?0個(gè)席位的代表會(huì)議在表決提案時(shí)有可能出現(xiàn)10：10的平局，會(huì)議決定下一屆增加1席，于是他們按照上述慣例重新分配席位，計(jì)算的結(jié)果令人吃驚：總席位增加1席，丙系反而減少1席，見(jiàn)下表系別學(xué)生人數(shù)所占比例（%）按比例分配的席位按慣例分配的席位甲10351.510.81511乙6331.56.6157丙3417.03.5703總和200100.021

10、.00021看來(lái)，要解決這個(gè)矛盾，必須重新研究所謂慣例分配方法，提出更加“公平”的辦法下面就介紹這樣一個(gè)席位分配模型設(shè)A、B兩方人數(shù)分別是p1 和p2，分別占有n1 和n2 個(gè)席位，則兩方每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別是p1 n12和p2n2很明顯，僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)值相等時(shí)，席位的分配才是公平的但是，通常它們不會(huì)相等，這時(shí)席位分配得不公平。不公平的程度可以用數(shù)值來(lái)表示，它衡量的是“絕對(duì)不公平”從下表所舉的例子來(lái)看，A、B之間的“絕對(duì)不公平”與C、D之間是一樣的。但是從常識(shí)的角度看，A、B之間顯然 比C、D之間存在著更加嚴(yán)重的不公平所以“絕對(duì)不公平”不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)pnp/np1/n1-p2/n2A1

11、20101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100為了改進(jìn)絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，我們自然想到用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)閜n越大，每個(gè)席位代表的人數(shù)越多，或者說(shuō)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)分配的席位 越少。所以，如果p1n13p2/n2，則A方是吃虧的，或者說(shuō)，對(duì)A是不公平的，由此，我們這樣定義“相對(duì)不公平”：若p1n1p2n2，則稱為對(duì)A的相對(duì)不公平值，記做若p1n1p2n2，則稱為對(duì)B的相對(duì)不公平值，記做假設(shè)A、B兩方已分別占有n1和n2個(gè)席位，我們利用相對(duì)不公平的城念來(lái)討論，當(dāng)總席位再增加1席時(shí)，應(yīng)該給且A方還是B方?不失一般性，可設(shè)p1n1p2/n2，即此時(shí)對(duì)A方不公平， ，

12、有定義當(dāng)再分配1個(gè)席位時(shí)，關(guān)于pn的不等式有以下三種可能：1)p1(n1十1)p2n2，這說(shuō)明即使A方增加1席，仍然對(duì)A不公平，所以這1席當(dāng)然應(yīng)給A方；2)p1(n1十1)p2n2，說(shuō)明當(dāng)A方增加1席位，將對(duì)B不公平，此時(shí)應(yīng)參照式，計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值3）說(shuō)明當(dāng)B方增加1席時(shí)，將對(duì)A方不公平，此時(shí)計(jì)算得對(duì)A 的相對(duì)不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2的假設(shè)下，不可能出現(xiàn)p1n1p2(n2+1)的情況因?yàn)楣降南环峙浞椒☉?yīng)該使得相對(duì)不公平的數(shù)值盡量地小，所以如果則這1席應(yīng)給A方；反之應(yīng)給B方根據(jù)(3)、（4）兩式，(5)式等價(jià)于并且不難證明1從上述第1)種情況的p1(n1十1)p2p2也

13、可推出。 于是我們的結(jié)論是：當(dāng)(6)式成立時(shí)，增加的1席應(yīng)分配A方；反之，應(yīng)分配給B方若記，則增加的1席位應(yīng)分配給Q值較大的一方將上述方法可以推廣到有m方分配席位的情況下面用這個(gè)方法，重新討論本節(jié)開(kāi)始時(shí)提出的，三個(gè)系分配21個(gè)席位的問(wèn)題首先每系分配1席，然后計(jì)算：甲系n11，乙系， n2=1，丙系，n3=1，因?yàn)樽畲?，所以?席應(yīng)分配給甲系，繼續(xù)計(jì)算：甲系n12，將與上面的相比，最大，第5席應(yīng)分給乙系，繼續(xù)計(jì)算。如此繼續(xù)，直到第21席分配給某個(gè)系為止（詳見(jiàn)列表）n甲系乙系丙系15304.5（4）1984.5（5）578（9）21768.2（6）661.5（8）192.7（15）3884.1（7

14、）330.8（12）96.3（21）4530.5（10）198.5（14）5353.6（11）132.3（18）6252.6（13）94.57189.4（16）8147.3（17）9117.9（19）1096.4（20）1180.4合計(jì)11席6席4席可以看出，用Q值法，丙系保住了它險(xiǎn)些喪失的1席。你覺(jué)得這個(gè)方法公平嗎？習(xí) 題：學(xué)校共1000名學(xué)生，235入住在A宿合，333人住在B宿合，432人住在C宿合學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)1）慣例的方法，印按比例分配完整數(shù)名額后，剩下名額給余數(shù)最大者。2）Q值方法。如果委員會(huì)從10人增至15人，分配名額將發(fā)生什么變化

15、? ，例3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題常染色體遺傳模型隨著人類(lèi)的進(jìn)化，人們?yōu)榱私沂旧膴W秘，越來(lái)越注重遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們的注意。無(wú)論是人，還是動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)⒋_定后代所表現(xiàn)的特征。下面，我們來(lái)研究?jī)煞N類(lèi)型的遺傳：常染色體遺傳和x鏈遺傳。根據(jù)親體基因遺傳給后代的方式，建立模型，利用這些模型可以逐代研究一個(gè)總體基因型的分布。在常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是有兩個(gè)基因A和控制的，那么就有三種基因?qū)Γ洖锳A，A，。例

16、如，金草魚(yú)由兩個(gè)遺傳基因決定花的顏色，基因型是AA的金魚(yú)草開(kāi)紅花，型的開(kāi)粉紅色花，而型的開(kāi)白花。又如人類(lèi)的眼睛的顏色也是提高通過(guò)常染色體遺傳控制的。基因型是的人，眼睛是棕色，基因型是的人，眼睛是蘭色。這里因?yàn)槎急硎玖送煌獠刻卣?，我們認(rèn)為基因A支配基因，也可以認(rèn)為基因?qū)τ贏來(lái)說(shuō)是隱性的父體母體的基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為AA，A和。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任一代的三種基

17、因型分布如何？第一步：假設(shè)：令。（1） 設(shè)和分別表示第代植物中，基因型為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分率。令為第n代植物的基因型分布:當(dāng)n=0時(shí)表示植物基因型的初始分布（即培育開(kāi)始時(shí)的分布），顯然有（2） 第n代的分布與第n-1代的分布之間的關(guān)系是通過(guò)上表確定的。第二步：建模根據(jù)假設(shè)（2），先考慮第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型與AA型結(jié)合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為1/2，第n-1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能是AA型。因此，當(dāng)時(shí)即類(lèi)似可推出將式相加，得根據(jù)假設(shè)（1），有對(duì)于式、式和式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為其中 式遞推，得式

18、給出第代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。為了計(jì)算出，我們將M對(duì)角化，即求出可逆矩陣P和對(duì)角陣D，使因而有其中這里是矩陣M的三個(gè)特征值。對(duì)于式中的M，易求得它的特征值和特征向量:因此, 所以通過(guò)計(jì)算，因此有即所以有當(dāng)時(shí)，所以從式得到和=0即在極限的情況下，培育的植物都是AA型。第三步：模型討論若在上述問(wèn)題中，不選用基因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三代基因型的概率如下表：父體母體基因型AA-AAAa-Aaaa-aa后代基因型AA11/40Aa01/20aa01/41并且，其中M的特征值為通過(guò)計(jì)算，可以解出與相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量和，及與相對(duì)應(yīng)的特征

19、向量： 因此所以有當(dāng)時(shí)，所以從式得到和因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因AA和aa。例4 合作對(duì)策模型在經(jīng)濟(jì)或社會(huì)活動(dòng)中，幾個(gè)社會(huì)實(shí)體（個(gè)人、公司、黨派、國(guó)家）相互合作或結(jié)成聯(lián)盟，常能獲得比他們單獨(dú)行動(dòng)更多的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)效益。這樣合理地分配這些效益是合作對(duì)策要研究的問(wèn)題。請(qǐng)看下面的例子。問(wèn)題一：經(jīng)商問(wèn)題甲、乙、丙三人經(jīng)商，若單干，每人僅能獲利1元；甲乙合作可獲利7元；甲丙合作可獲利5元；乙丙合作可獲利4元；三人合作可獲利10元，問(wèn)三人合作時(shí)如何分配10元的收入。甲的收入應(yīng)按照甲對(duì)各種形式的合作的貢獻(xiàn)來(lái)確定對(duì)于某一合作的貢獻(xiàn)定義為：有甲參加時(shí)這個(gè)合作的收入與無(wú)甲參加

20、時(shí)這個(gè)合作的收入之差例如甲對(duì)甲乙二人合作的貢獻(xiàn)是716 (因?yàn)榧滓液献鳙@利7元，而乙單干僅獲利1元)甲可以參加的，合作有四個(gè)：甲自己(單干視為合作的特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙 甲對(duì)這些合作的貢獻(xiàn)分別是甲：1一01元；甲乙：716元；甲 內(nèi)：514元；甲乙丙：1046元，甲應(yīng)分得的收入是這四個(gè)貢獻(xiàn)的加權(quán)平均值，加權(quán)因子將由下面的一般模型給出這個(gè)問(wèn)題叫做3人合作對(duì)策，是對(duì)策論的一部分，這里介紹它的一種解法。一般的n人合作對(duì)策模型可以敘述如下：記n人集合為I=,如果對(duì)于I中 的任一子集，都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù)v（s），滿足則稱為定義在I上的特征函數(shù)所謂合作對(duì)策是指定義了特征函數(shù)的I中n個(gè)人的合作結(jié)果，用

21、向量值函數(shù)來(lái)表示在實(shí)際問(wèn)題中常可把I中各種組合的合作獲得的利益定義為特征函數(shù)，上式表示合作規(guī)模擴(kuò)大時(shí)，獲利不會(huì)減少。不難看出，如將三人經(jīng)商問(wèn)題中合作的獲利定義為特征函數(shù)v，v是滿足(1)、(2)的為了確定，Shapley在1953年首先制定了一組 應(yīng)該滿足的公理，然后證明了滿足這組公理的的唯一解是其中是I中包含i的所有子集，是集合s中的人數(shù)， 是加權(quán)因子，由確定(3)式中 可看作成員i對(duì)合作s的貢獻(xiàn)；表示對(duì)所有包含i的集合求和稱為由v定義的合作的Shapley值我們用(3)、(4)計(jì)算三人經(jīng)商問(wèn)題中各個(gè)人應(yīng)得到的收入甲、乙、丙分別記作1，2，3，包含1的集合有1、1，2、1，3、1，2，3，計(jì)

22、算結(jié)果列入下表S11,21,31,2,3V(s)17510V(s-1)0114V(s)- V(s-1)16461223W()1/31/61/61/3W()V(s)- V(s-1)1/312/32 .同樣可以算出乙、丙應(yīng)得收入為35元，2.5元。問(wèn)題二：三城鎮(zhèn)的污水處理方案沿河有三城鎮(zhèn)1、2和3，地理位置如圖4；6所示污水需處理后才能排入河中三城鎮(zhèn)或者單獨(dú)建立污水處理廠，或者聯(lián)合建廠，用管道將污水集中處理(污水應(yīng)于河流的上游城鎮(zhèn)向下游城鎮(zhèn)輸送)。以Q表示污水量(噸秒)，工表示管道長(zhǎng)度(公里)。按照經(jīng)驗(yàn)公式，建立處理廠的費(fèi)用為，鋪設(shè)管道的費(fèi)用為今已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為L(zhǎng)的數(shù)值試從節(jié)約總投資的角度

23、為三城鎮(zhèn)制定污水處理方案；包括是單獨(dú)還是聯(lián)合建廠；如果聯(lián)合，如何分擔(dān)投資額等三城鎮(zhèn)或單干或不同形式的聯(lián)合，共有五種方案。下面一一計(jì)算所需的投資方案一 三城鎮(zhèn)都單干。投資分別為總投資：方案二 城1、2合作。這時(shí)城1、2將從節(jié)約投資的角度對(duì)聯(lián)合還是分別建廠作出決策，所以城1、2的投資為：=3500C（3）=2300總投資：方案三 城2、3合作。C（1）=2300總投資：方案四 城1、3合作。C（2）=1600總投資：方案五 三城鎮(zhèn)合作=5560總投資：比較五個(gè)方案可知，應(yīng)該選擇三城合作，聯(lián)合建廠的方案下面的問(wèn)題是如何分擔(dān)總額為5560的費(fèi)用城3的負(fù)責(zé)人提出，聯(lián)合建廠的費(fèi)用按三城的污水量之比5：3：

24、5分擔(dān)，鋪設(shè)管道費(fèi)應(yīng)由城1、2擔(dān)負(fù)城2的負(fù)責(zé)人同意，并提出從城2到城3的管道費(fèi)由城1、2按污水量之比5：3分擔(dān)；從城1到城2的管道費(fèi)理應(yīng)由城1自己擔(dān)負(fù)城1的負(fù)責(zé)人覺(jué)得他們的提議似乎是合理的，但因事關(guān)重大，他沒(méi)有馬上表示同意；而是先算了一筆賬聯(lián)合建廠的費(fèi)用是，城2到城3的管道費(fèi)是730，城1到城2的管道費(fèi)是300，按上述辦法分配時(shí)，城3負(fù)擔(dān)的費(fèi)用為1740，城2的費(fèi)用為1320，域1的費(fèi)用為2500結(jié)果出乎意料之外，城3和城2的費(fèi)用都比單獨(dú)建廠時(shí)少，而城1的費(fèi)用卻比單獨(dú)建廠時(shí)的C(1)還要多.城1的負(fù)責(zé)人當(dāng)然不能同意這個(gè)方法，但是一時(shí)他又找不出公平合理的解決辦法為了促成聯(lián)合的實(shí)現(xiàn)，你能為他們提供

25、一個(gè)滿意的分擔(dān)費(fèi)用的方案嗎?首先，應(yīng)當(dāng)指出，城3和城2負(fù)責(zé)人提出的辦法是不合理的：從前面的計(jì)算我們知道，三城聯(lián)合，才能使總投資節(jié)約了640的效益應(yīng)該分配給三城，使三城分配的費(fèi)用都比他們單干時(shí)要少，這是為促成聯(lián)合所必須制定的一條原則至于如何分配，則是下面要進(jìn)一步研究的問(wèn)題把分擔(dān)費(fèi)用轉(zhuǎn)化為分配效益,就不會(huì)出現(xiàn)城1聯(lián)合建廠分擔(dān)的費(fèi)用反比單獨(dú)建廠費(fèi)用高的情況.將三城鎮(zhèn)記為I=1,2,3,聯(lián)合建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資定義為特征函數(shù).于是有v()=0,v(1)=v(2)=v(3)=0,v(1,2)=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v(2,3)=c(2)+c(3)-c

26、(2,3)=1600+2300-3650=250,v(1,3)=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S11,21,31,2,3V(s)04000640V(s-1)000250V(s)- V(s-1)040003901223W()1/31/61/61/3W()V(s)- V(s-1)0670130即同理得,那么, 城1分擔(dān)的費(fèi)用為2300-197=2103, 城2分擔(dān)的費(fèi)用為1600-321=1279, 城3分擔(dān)的費(fèi)用為2300-122=2178,合計(jì)5560.習(xí)題：某甲（農(nóng)民）有一塊土地。如果從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可年收入100元；如果將土地租給某企業(yè)家用于工業(yè)生產(chǎn)，可

27、年收入200元；如果租給某旅店老板開(kāi)發(fā)旅游業(yè)，可年收入300元；當(dāng)旅店老板請(qǐng)企業(yè)家參與經(jīng)營(yíng)時(shí)，年收入可達(dá)400元。為實(shí)現(xiàn)最高收入，試問(wèn)如何分配各人的所得才能達(dá)成協(xié)議？例5 動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型有不少動(dòng)態(tài)過(guò)程可抽象成狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題，特別是多階段決策過(guò)程的最優(yōu)化如最短路徑問(wèn)題，最優(yōu)分配，設(shè)備更新問(wèn)題，排序、生產(chǎn)計(jì)劃和存儲(chǔ)等問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種比較簡(jiǎn)單問(wèn)題的最優(yōu)化方法，它的基本特征是包含多個(gè)階段的決策1951年，美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾曼(RBellman)等人，提出了解決多階段決策問(wèn)題的“最優(yōu)化原理”，并研究了許多實(shí)際問(wèn)題，從而創(chuàng)建了動(dòng)態(tài)規(guī)劃·動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的基本思想是：將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成

28、若干個(gè)階段，每一個(gè)階段作為一個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行處理，從而決定整個(gè)過(guò)程的決策，階段往往可以用時(shí)間劃分這就具有“動(dòng)態(tài)”的含義，然而，一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃中的最優(yōu)化問(wèn)題，也可人為地把問(wèn)題分成若干階段，作為一個(gè)多階段決策問(wèn)題來(lái)處理，計(jì)算過(guò)程單一化，便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解過(guò)程分為兩大步驟，先按整體最優(yōu)化思想遞序地求出各個(gè)可能狀態(tài)的最優(yōu)化決策；再順序地求出整個(gè)題的最優(yōu)策略和最優(yōu)路線下面，結(jié)合一個(gè)求最短路徑的例子，來(lái)說(shuō)明動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些基本概念最短路徑問(wèn)題如圖所示的交通網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)連接線路上的數(shù)字表示兩地距離，計(jì)算從A到E的最短路徑及長(zhǎng)度。1階段把所要處理的問(wèn)題，合理地劃分成若干個(gè)相互聯(lián)系的階段，通常用k表示階段變量

29、。如例中，可將問(wèn)題分為4個(gè)階段，k=1,2,3,4.2狀態(tài)和狀態(tài)變量每一個(gè)階段的起點(diǎn)，稱為該階段的狀態(tài)，描述過(guò)程狀態(tài)的變量，稱為狀態(tài)變量，它可以用一個(gè)數(shù)、一組數(shù)或一個(gè)向量來(lái)描述，常用來(lái)表示第k階段的某一狀態(tài)如果狀態(tài)為非數(shù)量表示，則可以給各個(gè)階段的可能狀態(tài)編號(hào)，(表示第k個(gè)階段的第i狀態(tài))。第k階段狀態(tài)的集合為如例6中，第3階段集合可記為3決策和決策變量決策就是在某一階段給定初始狀態(tài)的情況下，從該狀態(tài)演變到下一階段某狀態(tài)的選擇。即確定系統(tǒng)過(guò)程發(fā)展的方案用一個(gè)變量來(lái)描述決策，稱這個(gè)變量為決策變量。設(shè)表示第k個(gè)階段初始狀態(tài)為的決策變量表示初始狀態(tài)為的允許決 策集合，有=如例6中，若先取，則。4策略和

30、子策略由每段的決策組成的整個(gè)過(guò)程的決策變量序列稱為策略，記為，即=從階段k到階段n依次進(jìn)行的階段決策構(gòu)成的決策序列稱為k子策略，記為即=顯然，k=1時(shí)的k子策略就是策略。如例6，選取路徑就是一個(gè)子策略從允許策略集中選出的具有最佳效果的策略稱為最優(yōu)策略。5狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程系統(tǒng)在階段k處于狀態(tài)，執(zhí)行決策的結(jié)果是系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，即由階段K的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到階段K十1的狀態(tài)適用于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解的是一類(lèi)具有無(wú)后效性的多階段決策過(guò)程無(wú)后效性又稱馬爾科夫性，指系統(tǒng)從某個(gè)階段往后的發(fā)展，完全由本階段所處的狀態(tài)以及其往后的決策決定，與系統(tǒng)以前的狀態(tài)及決策無(wú)關(guān)，對(duì)于具有無(wú)后效性的多階段過(guò)程，系統(tǒng)由階段k向階段k+1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為意即只與,有關(guān)，而與前面狀態(tài)無(wú)關(guān)稱為變換函數(shù)或算子分確定型和隨機(jī)型，由此形成確定型動(dòng)態(tài)規(guī)劃和隨