初中線段相等、比例關(guān)系的證明方法

1、平面幾何中線段相等的證明幾種方法平面幾何中線段相等的證明看似簡單， 但方法不當(dāng)也會帶來麻煩，特別是在 有限的兩個小時考試中。恰當(dāng)選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。一、利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中， 它們所在三角 形看似全等，或者，通過簡單處理（添加輔助線），它們所在三角形看似全等，可 考慮這種方法。例1如圖，C是線段AB上一點，2人0口BCW等邊三角形。求證：AE=BD注：如果有兩個形狀相同的圖形（一般是等腰三角形、等邊三角形或正方形），那么可能要用到旋轉(zhuǎn)全等或相似AafAA c a，6I F例2如圖，已知 ABO, AB=AC點E在

2、AB上，點F在AC的延長線上，且 BE=CF EF 與 BC交于 D,求證：ED=DF注：添加輔助線，構(gòu)造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。例1 如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=AC延長BE交AC于F。求證：AF=EF注：輔助線是中線倍長法例2如圖，已知 ABO, AB=AC DF± BC于F, DF與AC交于E,與BA的延 長線交于D,求證：AD=AE、利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等 如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此

3、法。例 1如圖， ABC中，/ C=90 , / BAC=30 ,分別以 AB AC為邊在 ABC 的外側(cè)作正 ABE和正 ACD DE與AB交于F,求證：EF=FD （輔助線是過E作EG!AB,連接DG注：構(gòu)造平行四邊形例2如圖，A皿ABC勺中線，過DC上任意一點平行四邊形.求證：四邊形DEFG%BH _ HF EC； AG F作 EGA =AC rC= AC五、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等。如果所證兩線段所在的圖形能構(gòu)成直角三角形，并且可能構(gòu)成斜邊及斜邊上的中 線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。例1已知：在 ABC中，M是BC的中點，CH AR BF，A

4、G求證：EM= FM例2如圖，正方形 ABC邛，E、F分別為AR BC的中點，EC和DF相交于G,連接AQ 求證：AG=AD六、利用等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊如果所證線段在一條直線上相鄰，且在一個等腰三角形中，不妨用此法例如圖，4ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF，AE于F, AB=5 AC=3 WJ DF的長為.七、線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等如果兩條線段在一個三角形中證明相等，且第三邊有垂直或中點，用此法例已知如圖，在 ABC中，BC=8 AB的中垂線交 BC于D, AC的中垂線交 BC與E,則 ADE的周長等于 注：1、補(bǔ)充2016年安徽中考解答題第2

5、3題第2小問是中垂線的性質(zhì)2 、三角形三條中垂線交于一點 八、角平分線上任一點到角的兩邊距離相等適用于有角平分線和垂直的圖形例如圖，/AOPWBOP=15 ,PC/ OA交 OB于 C,PD±OA垂足 為 D,若 PC=4則 PD= .注：1、補(bǔ)充2013年安徽省中考解答題第 23題第3小問2 、三角形三條角平分線交于一點 九、圓的性質(zhì)和定理 同圓（或等圓）中半徑相等，等弧所對的弦或與弦心距相等的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等，圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等，圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等例1如圖，。中，弦AB與CD相交于點E,且AB=CD求證：AE=CE 注：輔助線

6、AC不一定經(jīng)過O例2如圖所示，A五AC AB為。的直徑，AC BC分別交。于E、D,連結(jié)ED BE試/U斷DE與BD是否相等，并說明理由；十、等積法 面積相等，等底或等圖可以轉(zhuǎn)化例如圖,在平行四邊形 ABCM,E是CD上一點，F(xiàn)是AD上一點,且CF=AE,AE 交CF于點。.求證：OEff分/ AOC.十一、長度相等：測量法適用于選擇題或填空題，解答題必須求出其具體長度或都是某條線段的倍數(shù)十二、等量轉(zhuǎn)化:等于同一線段的兩條線段相等以上都可以用證明線段的比例式或等積式的方法證明線段的比例式或等積式成立， 往往要添加輔助線，以構(gòu)造一對或多對相 似三角形。一、添加平行線(1)添加三角形內(nèi)的平行線段添

7、加的方法是過端點或內(nèi)分點做平行線， 利用“平行于三角形的一邊，并且 和其他兩邊或其延長線相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例”的性質(zhì)證明線段成比例。在幾何命題中，如果出現(xiàn)一組（或兩組）相 比線段重疊在一條直線上時，可考慮添加三角形內(nèi)的平行線。例1、如圖，已知AD是4ABC的外角平分線，AD與BC的延長線交于D。求證：BD:CD=AB:AC例2、如圖，點D在4ABC的AC邊上，且 AD=BE求證：空FDACBC例3、如圖，已知BD:DC=5:3,E為AD的中點,求BE:EF的值.AC（2）添加三角形外的平行線添加的方法是過端點作平行線AB例1、如圖，已知在 ABC中,AD平

8、分 BAC,求證： ACBDDC例3、已知ABC, AD為中線，E、F分別在AB AC上，且AE=AF,E% AD 于G,求證：GE 任.（過B、C分別作EF的平行線）GF AB、利用三角形相似的性質(zhì)DB例1、如圖，已知 ABC中， ACB 900, D 是AB的中點，過D作AB的垂線交AC于E,交BC 的延長線于F,求證：DC2=DEDFA例2、如圖，在 ABC, AD BE分別是BG AC邊上的高，過 D作AB邊上 的垂線交AB于F,交BE于G,交AC的延長線于H.求證：DF2=GF HF三、利用面積比求比例關(guān)系(1)相似三角形性質(zhì)面積比等于相似比的平方例如圖1,點C將線段AB分成兩部分，如果處 里 那么稱點C為線段 AB ACAB的黃金分割點。某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為 S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 §、如果S1冬，那么稱 s G直線為該圖形的黃金分割線.(1)如圖2,在 ABC中， A 36。，AB AC , C的平分線交AB于 點D,請問點D是否是AB邊上的黃金分割點，并證明你的結(jié)論；(