排列組合概率專題講解

1、專題五： 排列、組合、二項式定理、概率及統計【考點分析】1 突出運算能力的考查。高考中無論是排列、組合、二項式定理和概率題目，均是用數值給出的選擇支或要求用數值作答，這就要求平時要重視用有關公式進行具體的計算。2 有關排列、組合的綜合應用問題。這種問題重點考查邏輯思維能力，它一般有一至兩3 個附加條件，此附加條件有鮮明的特色，是解題的關鍵所在；而且此類問題一般都有多種解法，平時注意訓練一題多解；它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于中等偏難（理科）的題目。4 有關二項式定理的通項式和二項式系數性質的問題。這種問題重點考查運算能力，特別是有關指數運算法則的運用，同時還要注意理解其基本概念，它

2、一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于基礎題。5 有關概率的實際應用問題。這種問題既考察邏輯思維能力，又考查運算能力；它要求對四個概率公式的實質深刻理解并準確運用；文科僅要求計算概率，理科則要求計算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道選擇題或填空題、一道解答題）的形式出現，屬于中等偏難的題目。6 有關統計的實際應用問題。這種問題主要考查對一些基本概念、基本方法的理解和掌握，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于基礎題?！疽呻y點撥】1 知識體系：加法原理乘法原理排列組合隨機事件的概率：1等可能性事件的概率2互斥事件的概率3相互獨立事件的概率4獨立重復實驗離散型隨機變量的分布列、期望及方差

3、二項式定理統計抽樣方法：簡單隨機，系統，分層總體分布的估計：條形圖、直方圖正態(tài)分布線性回歸2知識重點：（1） 分類計數原理及分步計數原理。它是本章知識的靈魂和核心，貫穿于本章的始終。（2） 排列、組合的定義，排列數公式、組合數公式的定義以及推導過程。排列數公式的推導過程就是位置分析法的應用，而組合數公式的推導過程則對應著先選（元素）后排（順序）這一通法。（3） 二項式定理及其推導過程、二項展開式系數的性質及其推導過程。二項式定理的推導過程體現了二項式定理的實質，反映了兩個基本計數原理及組合思想的具體應用，二項展開式系數性質的推導過程就對應著解決此類問題的通法賦值法（令）的應用。（4） 等可能事

4、件的定義及其概率公式，互斥事件的定義及其概率的加法公式，相互獨立事件的定義及其概率的乘法公式，獨立重復試驗的定義及其概率公式?；コ馐录母怕始臃ü綄诸愊嗉佑嫈翟淼膽?，相互獨立事件的概率乘法公式對應著分步相乘計數原理的應用。（5） （理科）離散型隨機變量的定義，離散型隨機變量的分布列、期望和方差。（6） 簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣，總體分布，正態(tài)分布，線性回歸。2 知識難點：(1) 排列、組合的綜合應用問題。突破此難點的關鍵在于：在基本思想上強調兩個基本原理（分類相加計數原理和分步相乘計數原理）在本章知識中的核心地位；在通法上要求，首先要認真審題，分清是排列（有序）還是組合（無

5、序），或二者兼而有之；其次要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原理進行“分類及分步”，分類時要不重不漏，分步時要獨立連續(xù)。在兩個公式的應用中要深刻理解其定義中的“所有”的含義，特別是組合數“”已包含了個元素“所有”可能的組合的個數，故在平均分堆過程中就會產生重復，而平均分配給不同的對象過程中就不用再排序。同時在本節(jié)中要注意強調轉化化歸數學思想的應用。(2) 二項式定理的計算。突破此難點的關鍵在于：熟記指數的運算法則和二項展開式的通項公式，深刻理解“第項”“常數項”“有理項”“二項式系數”“系數”等基本概念的區(qū)別及聯系。(3) 概率、分布列、期望和方差的計算。突破此難點的關鍵在于：首先要

6、運用兩個基本原理認真審題，弄清楚問題屬于四種類型事件中的哪一種，然后準確地運用相應的公式進行計算，其中要注意排列、組合知識的應用。（理科）對于分布列要熟記一個基本型（）和三個特殊型（，二項分布，幾何分布）的定義和有關公式；此類問題解題思維的的流程是：要求期望，則必先求分布列，而求分布列的難點在于求概率，求概率的關鍵在于要真正弄清每一個隨機變量“”所對應的具體隨機試驗的結果?！窘浀漕}例】例1：將名學生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排名學生，那么互不相同的分配方法共有多少種？思路分析 根據宿舍的人數，可分為三類：“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種；“”型不同的分配方法有種。

7、則由加法原理得，不同的分配方法共有種。小結 本題體現了“先選后排”通法的應用，屬于排列組合混合問題。要注意（不）平均分配及（不）平均分堆的聯系及區(qū)別。例2：在正方形中，分別為各邊的中點，為正方形中心，在此圖中的九個點中，以其中三個點為頂點作三角形，在這些三角形中，互不全等的三角形共有多少個？ 思路分析 根據三角形的類型分為三類：直角三角形有共種；以邊為底的三角形共種；過中點和中心的三角形有 共種。由加法原理得，共有種不同類型的三角形。小結 本題體現了“轉化化歸數學思想”的應用，屬于排列組合中的幾何問題，在具體方法上是運用了“窮舉法（將所有的情形全部列出）”。例3：在多項式的展開式中，含項的系數

8、為多少？思路分析解1 ，所以含項的系數為 。解2 ，所以含項的系數為 。解3 由組合原理 。小結 本題重點考查對二項式定理的本質的理解和運算能力。例4：從數字中，隨機抽取個數字（允許重復）組成一個三位數，其各位數字之和等于的概率為多少？思路分析 本題的基本事件是由個不同的數字允許重復而且含的條件下組成三位數，根據乘法原理可知基本事件的全體共有個。設三個數字之和等于的事件為，則分為六類：數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個；數碼組成不同的三位數有個，根據加法原理，事件共有個。故。小結 本題考查等可能性事件

9、的概率和互斥事件的概率，重點在于利用排列組合知識求各個基本事件的總數。例5：若則思路分析 將條件等式的左右兩邊比較，可知變形。利用賦值法，令，則有；令，則有。小結 本題考查二項展開式系數的性質，在具體方法上是運用了通法“賦值法”。例6：從中任取個數字，從中任取個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被整除的不同四位數共有個。思路分析 由已知，此四位數的末位只能是或，且不能在首位，故為特殊元素，而且二者中至少要選一個。根據題意，可分三類：有無，不同的四位數有個；有無，不同的四位數有個；同時存在，當在末位時，不同的四位數有個，當在末位時，不同的四位數有個。所以滿足條件的不同的四位數共有個。小結 本

10、題考查有兩個受條件限制的特殊元素的排列組合混合問題，基本解題模型為：分為三類。第一類，兩個中一個都不考慮；第二類，兩個中考慮一個；第三類，兩個都考慮。注意在具體求解中其中“先選后排”“位置分析法”等通法的運用。例7：魚塘中共有條魚，從中捕得條，加上標志后立即放回塘中，經過一段時間，再從塘中捕出條魚，發(fā)現其中有條標志魚。（1）問其中有條標志魚的概率是多少？（2）由此可推測塘中共有多少條魚（即用表示）？思路分析 （1）由題意可知，基本事件總數為。魚塘中的魚分為兩類：有標志的魚條，無標志的魚條，從而在捕出條魚中，有標志的條魚有種可能，同時無標志的條魚有種可能，則捕出條魚中有條魚共有種可能。所以概率為

11、。 （2）由分層抽樣可知，（條）。小結 本題考查等可能性事件的概率和統計知識，重點要注意“魚”的不同的分類以及抽樣方法中各個元素被抽取概率的相等性。例8：某賓館有間客房，現要安排位旅游者，每人可以進住任意一個房間，且進住各房間是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件：指定的個房間各有人；（2）事件：恰有個房間各有人；（3）事件：指定的某房間中有人；（4）事件：一號房間有人，二號房間有人；（5）事件：至少有人在同一個房間。思路分析 由于每人可以進住任一房間，進住哪一個房間都有種等可能的方法，根據乘法原理，個人進住個房間有種方法，則（1）指定的個房間中各有人有種方法，。（2）恰有個房間各有人有種

12、方法，。（3）從人中選人的方法有種，余下的人每人都可以去另外的個房間中的任一間，有種方法，。（4）從人中選人去一號房間的方法有種，從余下人中選人去二號房間的方法有，再余下的人可去個房間中的任一間，。（5）從正面考慮情形較復雜，正難則反，“至少有人在同一個房間”的反面是“沒有人在同一個房間，即恰有個房間各有人”，。小結 本題考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列組合知識的運用。例9：甲、乙、丙三人獨立解某一道數學題，已知該題被甲解出而乙解不出的概率為，被乙解出而丙解不出的概率為，被甲、丙兩人都解出的概率是。（1）求該題被乙獨立解出的概率；（2）（文科）求該題被解出的概率。（理科）求解出

13、該題人數的分布列和數學期望。思路分析（1）設分別為甲、乙、丙三人各自獨立解某一數學題的事件。由已知則有即由此方程組解得所以該題被乙獨立解出的概率為。（2）（文科）記為該題被解出，它對應著甲、乙、丙三人中至少有一人解出該題，則。（理科），所以隨機變量的分布列為：期望為。小結 本題考查相互獨立事件的概率和互斥事件的概率，同時考查函數方程數學思想和運算能力。理科還考查分布列和數學期望，在解題過程中特別要注意，真正弄清每一個隨機變量“”所對應的具體隨機試驗的結果。例10：某一汽車前進途中要經過個紅綠燈路口。已知汽車在第一個路口，遇到紅燈和遇到綠燈的概率都是；從第二個路口起，若前次遇到紅燈，則下一次遇到

14、紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是；若前一次遇到綠燈，則下一次遇到紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是。求：（1）汽車在第二個路口遇到紅燈的概率是多少？（2）（文科）在三個路口中，汽車遇到一次紅燈，兩次綠燈的概率是多少？ （理科）汽車在經過三個路口過程中，所遇到紅燈的次數的期望是多少？思路分析 根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率的乘法公式可得，（1）。（2）（文科）。（理科）要求期望，則必須先求分布列。設汽車所遇到紅燈的次數為隨機變量，則有，故得分布列所以。小結 本題重點考查相互獨立事件的概率乘法公式的本質同時發(fā)生，同時還考查互斥事件的概率。在具體解題中注意及遞推有關的概率的計算。【熱身沖刺】一、 選擇題：

15、1用這五個數字組成沒有重復數字的全部五位數中，若按從小到大的順序排列，則數字應是第 （ ）個 個 個 個2從位男教師和位女教師中，選出位教師分別擔任個班級的輔導員，每班一位輔導員，要求這位輔導員中男、女老師都要有，則不同的選派方案共有 （ ）種 種 種 種3有兩排座位，前排個座位，后排個座位?，F安排人就座，規(guī)定前排中間的個座位不能坐，并且這人不左右相鄰，那么不同的排法的種數是 （ ）4長方體個頂點中，以任意個為頂點的所有三角形中，銳角三角形共有 （ ）個 個 個 個5從編號為的六的小球中任取個，放在標號為的四個盒子里，每盒一球，且號球不能放在盒中，號球不能放在號盒中，則不同的放法種（ ）6展開

16、式中的常數項是 （ ）7某工廠生產三種不同型號的產品，產品數量之比依次為。現用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中型號產品有件，則此樣本的容量為 （ ）8某校高三年級舉行一次演講比賽，共有位同學參賽，其中一班有位，二班有位，其他班級有位。若采取抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班的位同學沒有被排在一起，而二班的位同學恰好被排在一起（指演講的序號相連）的概率是 （ ）9某人射擊一次命中目標的概率是，則此人射擊次，有次命中目標且恰有兩次連續(xù)命中的概率是 （ ）10在世紀的一天，保羅及梅爾進行賭錢游戲。每人拿出枚金幣，然后玩骰子，約定誰先勝三局誰就得到枚金幣（每局均有勝負）。比賽開始后，保羅勝了

17、一局，梅爾勝了兩局，這時一件意外的事情中斷了比賽，于是他們商量這枚金幣應該怎樣分配才合理。據此，你認為合理的分配方案是保羅和梅爾分別得到金幣 （ ）枚，枚 枚，枚 枚，枚 枚，枚二、 填空題：11若，則12口袋內裝有個相同的小球，其中個小球標有數字，個小球標有數字。若從中摸出的小球，那么摸出的個小球所標數字之和小于或大于的概率是。（）13拋擲一枚硬幣若干次，每次正面向上得分，反面向上得分。（文科）則恰好得到分的概率為。（）（理科）則恰好得到分的概率為。（）14已知從甲地到乙地的海底光纜有個接點，其中有一個接點發(fā)生故障，為了及時排除故障，需要盡快斷定故障發(fā)生點。以三個接點為例，檢查接點的方法如下

18、：在接點處分別檢查兩段，若兩段都有問題，則可斷定點存在問題；若只有一段存在問題，則接點正常。設至少需要檢查的接點數為個，則的最大值為。（）三、解答題：15某儀器顯示屏上的每個指示燈均以紅色或藍色來表示兩種不同的信號，已知一排有個指示燈。求分別滿足下列條件時，顯示屏共能顯示的不同的信號數的種數。 （1）要求每次顯示其中的個，且恰好有個相鄰的同時顯示； （2）要求每次顯示其中的個，且恰有個相鄰的同時顯示。簡解 （1）或； （2）。16已知展開式中各項的系數之和比各項的二項式系數之和大。 （1）求展開式中二項式系數最大的項； （2）求展開式中系數最大的項。簡解 由題意，（1）展開式中二項式系數最大的項是，；（2）由解得為所求的系數最大的項。17甲、乙兩人參加一次測試，已知在備選的道試題中，甲能答對其中的道題，乙能答對其中的道題，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機抽取出題進行測試，至少答對題才算合格。（1）（文科）分別求甲、乙兩人測試合格的概率；（理科）求甲答對測試題數的概率分布及數學期望；（2）求甲、乙兩人中至少有一人考試合格的概率。簡解 （1）（文科）甲合格的概率為，乙合格的概率為；（理科）所以。（2）兩人中至少有一人合格的概率為。18設擲一顆均勻的正方體玩具兩次，此玩具的六個表面分別刻有數字。（