雙曲線檢測題與詳解答案

1、雙曲線檢測題與詳解答案A保大分專練1. （2019 襄陽聯(lián)考）直線l : 4x5y=20經(jīng)過雙曲線C:x y2a2b2=1( a>0,b>0）的一個焦點和虛軸的一個端點，則雙曲線C的離心率為（）6B.A.C.解析：選A由題意知直線D.l與兩坐標軸分別交于點（5,0） , （0, 4）,從而c=5, b=4, . a=3,雙曲線 C的離心率e = c= 5.a 32.設(shè)Fi, F2分別是雙曲線x2-y-=1的左、右焦點，若點 P在雙曲線上，且|PF|=6, 9則 |PE|=（）A. 6B. 4C. 8D. 4 或 8解析：選D由雙曲線的標準方程可得a=1,則| PF|PE| =2a=

2、2,即|6|PFq|=2,解得|P冏=4或8.223. （2018 全國卷出）已知雙曲線 C： p-y2=1（a>0, b>0）的離心率為42,則點（4,0）到C的漸近線的距離為（）A.2B. 23,2C. -2-D. 2 2解析：選 D =3 =端=1+02=/，,'=1.雙曲線的漸近線方程為x±y=0.點（4,0）到C的漸近線的距離 d=A®22224 .若實數(shù)k滿足0vkv9,則曲線259=1與曲線25統(tǒng)一>1的（）A.離心率相等B.虛半軸長相等C.實半軸長相等D.焦距相等解析：選 D由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x

3、軸上，由425+9k =425k+9,得兩雙曲線的焦距相等.5 . （2018 陜西部分學校摸底）在平面直角坐標系 xOy中，已知雙曲線 C： 2x2y2=1,過C的左頂點引G的一條漸近線的平行直線，則該直線與另一條漸近線及x軸所圍成的三角形的面積為（B.解析：選C設(shè)雙曲線Ci的左頂點為/x,不妨設(shè)題中過點 A的直線與漸近線即y = 2x+ 1.聯(lián)立、=一小x, 丫=叵+1,及x軸所圍成的三角形的面積D.A,二16則A坐，0 1,雙曲線的漸近線方程為y=±y=2x平行，則該直線的方程為 y=x=一解得ly=;所以該直線與另一條漸近線S= 2 T OA , 2=2X序xg = '

4、;2,故選C.6. （2019 遼寧五校協(xié)作體模考）在平面直角坐標系 xOy中，已知雙曲線22C：沁=1(a>0, b>0）的離心率為。5,從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A若 AFO勺面積為1,則雙曲線C的方程為（）A.B.x227-y=1C.2y6=1D.22 y ,x <=14解析：選D因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA=b, |OA = a，所以ab=2,又雙曲線C的離心率為 小,所以 1+/乖,即b2=4a2,解得a2 = 1, b2 = 4,所以雙曲線C的方程為22 y .x -= 1 ,4故選D.7. (2018）若雙曲線當y=1（a>0

5、）的離心率為 坐，則a= a 42解析：由a2+ b22-, a 'a2+ 4a2 -4a2= 16. a>0, a= 4.答案：48.過雙曲線x21=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A,3B兩點，則| AB =.2解析：雙曲線的右焦點為 F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x=2,漸近線方程為x223=0,將 x= 2 代入 x2 1=0,得 y2= 12, y = + 2a/3,故 |AB=4>y3. 3答案：4 3229. (2018 海淀期末)雙曲線£看=1(a>0, b>0)的漸近線為正方形 OABC勺邊OAOC所在的直

6、線，點 B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC勺邊長為2,則a=解析：雙曲線點一三=1的漸近線方程為by=±-x,由已知可得兩條漸近線互相垂直, a b、. O雙曲線的對稱性可得 -=1.又正方形 OABC的邊長為2,所以c=242,所以a2+b2=c2 =a,(2 2)2,解得 a=2.答案：22210. (2018 南昌摸底調(diào)研)已知雙曲線 C： x2-y2=1(a>0, b>0)的右焦點為F,過點 a b2c c c 一F作圓(x a)2+y2=16的切線，若該切線恰好與C的一條漸近線垂直，則雙曲線 C的離心率為.解析：不妨取與切線垂直的漸近線方程為y=bx,由題意可

7、知該切線方程為y = -(xab2c. . . c -c),即ax+byac=0.圓(x a) +y=m的圓心為(a, 0),半徑為 不 則圓心到切線的距I a2 ac|ac a2 cc o離d= 奇萬寶'=-c-=4，又e=3 則e4e+4=0,解得 e= 2,所以雙曲線 C的離心率 e= 2.答案：211.已知雙曲線的中心在原點，焦點Fi,F2在坐標軸上，離心率為 g,且過點(4 ,近)，點M(3 , m)在雙曲線上.求雙曲線的方程;(2)求證：而1 版=0;求 FiMF的面積.解：(1) .e=<2,，雙曲線的實軸、虛軸相等.則可設(shè)雙曲線方程為 x2 y2=入.雙曲線過點(

8、4,一回)，1610=入,即入=6.雙曲線方程為x7-yr=1.6 6(2)證明：不妨設(shè)Fi, F2分別為雙曲線的左、右焦點，則前=(-23-3, m, M2=(2-3, m.IMf M2 = (3+2展 X(3 -2淄)+M=-3+點 M點在雙曲線上，_22 . 9 m=6,即 m-3= 0,> >MF MF = 0. FiMF的底邊長 | FiF2| = 4，3.由(2)知m=±4. .FiMF的高 h=|m=:，SJA FiMF= 2 X 4小 X6.i2.中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點Fi, F2,且|FiF2|橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之

9、差為4,離心率之比為3 : 7.(i)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求 cos / R PE的值.2222i( m>0,解：(i)由題知c=，13，設(shè)橢圓方程為 與十七=i(a>b>0),雙曲線方程為2-y2 abm nn>0)，'a m= 4,則 i3 i37 a =3解得 a=7, m= 3.則 b=6, n= 2.故橢圓方程為x：+y= i,雙曲線方程為x-y= i.49 3694P是第一象限的交點，則| PF| 十(2)不妨設(shè)Fi, F2分別為橢圓與雙曲線的左、右焦點,|PF =14, |PF| | PF =6,所以 | PF|

10、= 10, |PF2| =4.又| FiF2| =2網(wǎng),所以 cosZ FiPE=| PF|2+ | P桎|2 |FiE|22| PFi| PF|102+ 42. 2 , I3 2 42XI0X4 =亍B級一一創(chuàng)高分自選i.已知圓(x 1)2+y2=：的一條切線y=kx與雙曲線C:22022 = i(a>0, b>0)有兩個交點，則雙曲線 C的離心率的取值范圍是()A. (1, 73)B. (1,2)C. (。3, +8)D. (2, +8)解析：選D由題意，知圓心(1,0)到直線kx y=0 的距離 d =哈， . k= ± J3,k +122c . 一=>4,

11、. e>2. ab 一b 口口 a + b由題息知->J3,1 + >4,即-aaa222 . (2019 吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，雙曲線 C： x2-y2=i(a>0, b>0)的左、右焦點 a b分別為Fi, E,直線l過點Fi且與雙曲線C的一條漸近線垂直，與兩條漸近線分別交于MN兩點，若| NF| = 2| MF,則雙曲線C的漸近線方程為()A.C.y=±妥B. y= 土 /3xD. y= ± &x解析：選B | NF| =2| MF| ,，M為NF的中點,又 OML FiN, / FiOIMh / NOM又/ FiOIMk /

12、F2ON / F2ON= 60 ,，雙曲線C的漸近線的斜率 k=±tan 60即雙曲線C的漸近線方程為y=±淄x.故選B.3 .設(shè)A, B分別為雙曲線，一b2= i(a> 0, b> 0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為 4,Jr3,焦點到漸近線的距離為3.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y=3-x 2與雙曲線的右支交于 M N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D,使 OM+ ON=t OD,求t的值及點D的坐標.解：(1)由題意知一條漸近線為a= 2P, b y = &x, . . bx ay=0.由焦點到漸近線的距離為顯 得普工=出.nx/b +a *又.c2=a2+b2,，b2=3, 雙曲線的方程為22x-y=i.i2 3(2)設(shè)