山西省忻州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、高二理科數(shù)學(xué)（類）試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)， 選出每小題答案后， 用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效 .3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題 5 分，共 60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1.在abc中， “tan1a” 是“45a” 的（）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】 c 【解析

2、】【分析】根據(jù)三角函數(shù)表，在三角形中，當(dāng)tan1a時(shí)，45a即可求解【詳解】在三角形中，tan145aa，故在三角形中，“tan1a” 是“45a”的充分必要條件故選： c 【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題2.已知拋物線2:8cyx上的點(diǎn)p到焦點(diǎn)的距離為6，則p到y(tǒng)軸的距離是（）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】 b 【解析】【分析】結(jié)合拋物線第一定義即可求解【詳解】如圖：由2822pyx，根據(jù)拋物線第一定義，66624pfphpgghpggh，則p到y(tǒng)軸的距離是4 故選： b 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題3.過(guò)點(diǎn)(1,2)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程是（

3、）a. 20 xy或30 xyb. 30 xyc. 20 xy或30 xyd. 30 xy【答案】 c 【解析】【分析】需要進(jìn)行分類討論，分為直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩種情況進(jìn)行求解【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)ykx ，將(1,2)點(diǎn)代入可得2k，則直線方程為：20 xy；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為1xyaa， 將(1,2)點(diǎn)代入可得3a，則直線方程為：30 xy；綜上所述，直線方程為：20 xy或30 xy故選： c 【點(diǎn)睛】本題考查由截距相等求直線方程，不要忽略直線過(guò)原點(diǎn)的情況，屬于基礎(chǔ)題4.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）a. 4 23b. 4 33c. 4 2d.

4、4 3【答案】 b 【解析】【分析】由題可知該幾何體應(yīng)為正四棱錐，底面為正方形，高為3，結(jié)合錐體體積公式求解即可【詳解】如圖，該幾何體為正四棱錐，底面積為224s底，高3h，則四棱錐的體積為：114 343333vsh底故選： b 【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，錐體體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.圓22:4440cxyxy關(guān)于直線20 xy對(duì)稱的圓的方程是（）a. 224xyb. 22(2)(2)4xyc. 22(2)4xyd. 22(2)4xy【答案】 a 【解析】【分析】先將圓用配方法寫成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心，再求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)半徑相等即可求解【詳解】2222:4440:22

5、4cxyxycxy，故圓心坐標(biāo)為2,2c，半徑為2，設(shè) 圓 心c關(guān) 于 直 線 對(duì) 稱 的 點(diǎn) 為,cx y， 則 有212222022yxxy， 解 得0 xy， 則 圓22:4440cxyxy關(guān)于直線20 xy對(duì)稱的圓的方程是224xy故選： a 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，由圓心和半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題6.已知橢圓221169xy與雙曲線2214xym有相同的焦點(diǎn)，則m（）a. 3b. 1c. 1d. 3【答案】 a 【解析】【分析】可通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得27c，結(jié)合雙曲線中222cab即可求解【詳解】由題知，橢圓的21697c， 又在雙曲線中，222473cabm

6、m（需注意0m）故選： a 【點(diǎn)睛】本題考查由橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題7.在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，若(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,2,23)oabc，則異面直線ac與ob所成角的大小為（）a. 30b. 45c. 60d. 90【答案】 c 【解析】【分析】直接采用空間向量的夾角公式求解【詳解】由題知：設(shè)兩直線夾角為，2,0, 2 3 ,2,0,0acobu uu ruu u r，則41cos422ac obacobu uu r uu u ruuu ruu u r，3故選： c 【點(diǎn)睛】本題考查異面直線夾角的向量求法，屬于基礎(chǔ)題8.在空間中， 四個(gè)兩兩

7、不同的平面, ,，滿足,，則下列結(jié)論一定正確的是（）a. b. / /c. 與既不垂直也不平行d. 與位置關(guān)系不確定【答案】 d 【解析】【分析】可借助條件判斷與可能平行也可能相交，而，則與的位置關(guān)系不確定【詳解】 若，四個(gè)兩兩不同的平面, ,，滿足,，則與可能平行也可能相交，q，與的位置關(guān)系不能確定故選： d 【點(diǎn)睛】本題考查面與面位置關(guān)系的判定，空間的直觀想象能力，屬于中檔題9.從橢圓22221(0)xyabab上一點(diǎn) p 向 x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)1f，a 是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)， b 是橢圓與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，且/ /(abop o是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()a. 2

8、4b. 12c. 22d. 32【答案】 c 【解析】【分析】依題意，可求得點(diǎn)p坐標(biāo)2bpc,a，由abopab / /opkkbc，從而可得答案【詳解】依題意，設(shè)00pc,y(y0)，的則22022y( c)1ab，20bya，2bpc,a，又a a,0，b 0,b，ab/ /op，abopkk，即22bbbaacac，bc設(shè)該橢圓的離心率為e，則22222222ccc1eabc2c2，橢圓的離心率2e2故選 c【點(diǎn)睛】 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得點(diǎn) p的坐標(biāo)2bc,a是關(guān)鍵， 考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題10. 已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)1f，2f在x軸上，中心在原點(diǎn)，點(diǎn)a的

9、坐標(biāo)為(2,2 3)，p為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則1|pfpa的最小值為（）a. 2 22b. 2 24c. 4 22d. 4 24【答案】 d 【解析】【分析】先畫出圖像，再結(jié)合雙曲線第一定義122pfpfa，三角形三邊關(guān)系22papfaf，當(dāng)點(diǎn)p為2af與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，1|pfpa取到最小值【詳解】如圖，由雙曲線第一定義得122pfpfa，又由三角形三邊關(guān)系可得22papfaf（當(dāng)點(diǎn)p為2af與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取到等號(hào)）， + 得：12| 2pfpaaaf，故12min|2pfpaaaf，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8 可得，228ab， 則22216cab，22,4ac，24,0f，22

10、222 34af則12min|24 24pfpaaaf故選： d 【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線第一定義求解到兩定點(diǎn)之間距離問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題11. 在三棱錐pabc中，2,90 ,acabbacpc平面,1abc pc，則該三棱錐外接球的體積為（）a. 36b. 12c. 8d. 92【答案】 d 【解析】【分析】畫出圖形，將幾何體補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體外接球體積問(wèn)題，結(jié)合體積公式即可求解【詳解】如圖所示，三棱錐實(shí)際上為長(zhǎng)方體上四點(diǎn)組合而成，則外接球半徑為22221322r，則該三棱錐外接球的體積為3442793382vr故選： d 【點(diǎn)睛】本題考查錐體外接球

11、體積算法，對(duì)于這類問(wèn)題，我們都可考慮把錐體還原成對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體或圓柱體，再求對(duì)應(yīng)的外接球半徑，這樣會(huì)簡(jiǎn)化求解難度，屬于中檔題12. 已知橢圓22:154xyc的焦點(diǎn)為1f，2f，過(guò)1f的直線l與c交于,a b兩點(diǎn) .若1122,| |aff b abbfu uu ruuu ruuu ruuur，則l的方程為（）a. 220 xyb. 220 xy或220 xyc. 220 xyd. 220 xy或220 xy【答案】 b 【解析】【分析】先做出圖形，由1122,| |aff b abbfuu uru uu ruu u ru uu r再結(jié)合橢圓第一定義，可得出四條線段的比例關(guān)系，判斷出點(diǎn)a過(guò)橢圓的

12、上頂點(diǎn)，根據(jù)斜率定義得到bkc，再考慮圖形的對(duì)稱性，即可求解【詳解】如圖，不妨設(shè)1bfx，由1122,| |aff babbfu uu ru uu ruuu ruuur，可得122 ,3afx bfx，由橢圓第一定義可得211222bfbfafafafx，可判斷點(diǎn)a過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，則121aboabkofc，則直線l的方程為2122yxx，再由橢圓對(duì)稱性可知，當(dāng)2k時(shí)，經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則直線l的方程為2122yxx綜上所述，直線方程為：220 xy或220 xy故選： b 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓基本性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4 小題，每小題 5分，共 20分.13.

13、 命題 “2000,10 xr xx” 的否定是 _.【答案】2,10 xr xx【解析】【分析】存在改全稱，再否定結(jié)論即可【詳解】命題 “2000,10 xr xx” 的否定是“2,10 xr xx”故答案為：2,10 xr xx【點(diǎn)睛】本題考查存在命題的否定，屬于基礎(chǔ)題14. 已知平行于x軸的直線l交拋物線24xy于,a b兩點(diǎn)，且| 8ab，則l的方程為 _.【答案】4y【解析】【分析】先畫出圖像，由| 8ab可求出b點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可求得by，即可求解直線l的方程【詳解】如圖，| 84babx，將4bx代入24xy得4by，則直線l的方程為4y故答案：4y【點(diǎn)睛】本題考查由直線

14、與拋物線的位置關(guān)系求拋物線上的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題15. 已知雙曲線2222:1(0,0)xycabab的左、右焦點(diǎn)分別為12,ff，以12f f為直徑的圓與c的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)p，若12pfb，則c的漸近線方程為_(kāi).【答案】3yx【解析】【分析】畫出圖形，可先求出焦點(diǎn)到漸近線距離2nfb，再作12pqf f，由由等面積法可得pqb，結(jié)合1pf q可推出60poq，則可求出直線斜率opk，進(jìn)而求解【詳解】如圖，作12pqf f，雙曲線焦點(diǎn)2,0fc，設(shè)雙曲線一條漸近線方程為byxa，則點(diǎn)2f到漸近線距離2bcnfbc，2opf為等腰三角形，故腰上的高也相等，故pqb，則111302pqpfq

15、pf，又1260poqpfq，故3opk，則雙曲線的漸近線為3yx故答案為：3yx【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b可作為常用結(jié)論，結(jié)合幾何關(guān)系求解漸近線對(duì)應(yīng)斜率是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16.知正方體1111abcda b c d的棱長(zhǎng)為2，,e f分別是,ab bc的中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)1,d e f的截面將正方體分割成兩部分，則較大部分幾何體的體積為_(kāi).【答案】479【解析】【分析】先畫出圖形，需采用補(bǔ)形法延長(zhǎng)ef，分別交,da dc延長(zhǎng)線于,n m點(diǎn)，則一部分幾何體可通過(guò)求四棱錐1dmndv，再減去兩小三棱錐體積的方法求得【 詳 解 】 如 圖 ， 由,e f分 別

16、 是,ab bc的 中 點(diǎn) ， 四 邊 形abcd時(shí) 正 方 形 可 得3dmdn， 則1113 32=332dmndv，又在1mdd中，1112333mcpcpcmddd，則小四棱錐11211 13239p cfmv，則一部分被切幾何體體積為11253299v，正方體體積為：8，則另一部分幾何體體積為：2547899故較大部分幾何體體積為：479故答案為：479【點(diǎn)睛】本題考查截面問(wèn)題中幾何體體積的計(jì)算問(wèn)題，補(bǔ)形法是解題的關(guān)鍵，屬于難題三、解答題：本題共6 小題，共 70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知:p函數(shù)2( )lg24f xxax的定義域?yàn)閞，2:0,1,1q

17、xax,，若, p q有且只有一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 .【答案】, 21,2au【解析】【分析】分別求出命題,p q中對(duì)應(yīng)參數(shù)a的取值范圍， 再根據(jù)題意若,p q有且只有一個(gè)成立， 判斷需進(jìn)行分類討論，分pqi和pqi進(jìn)一步求解參數(shù)a的范圍【詳解】:p函數(shù)2( )lg24f xxax的定義域?yàn)閞241602,2aa；2:0,1,11qxa xa,，當(dāng)p成立q不成立時(shí)，q對(duì)應(yīng)的1,a，故pqi對(duì)應(yīng)的1,2a；當(dāng)p不成立q成立時(shí)，p對(duì)應(yīng)的, 22,au，故pqi對(duì)應(yīng)的, 2a；綜上所述，, 21,2au【點(diǎn)睛】本題考查邏輯用語(yǔ)中命題的等價(jià)形式的轉(zhuǎn)化，命題的否定，由命題的交集求參數(shù)的范圍，屬于

18、中檔題18. 已知圓c的圓心在直線320 xy上，c經(jīng)過(guò)點(diǎn)( 2,0)a，且與直線4380 xy相切 .（1）求c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線:230lxy與c相交于,m n兩點(diǎn)，求cmn的面積 .【答案】（1）222325xy（2） 10 【解析】【分析】（1）不妨設(shè)圓心為,c a b，半徑為r，結(jié)合待定系數(shù)法和點(diǎn)到直線距離公式即可求解；（2）由圓心到直線距離公式求得弦心距d，再由幾何性質(zhì)和勾股定理求得弦長(zhǎng)，利用12smnd即可求解【詳解】（1）設(shè)圓心為,c a b，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;222xaybr,由題可得22233202485aababrrb，解得235abr，則圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為2

19、22325xy；（2）如圖，可求出圓心到直線:230lxy的距離2233055d，則半弦長(zhǎng)222552 52lrd，4 5l，114 551022cmnsmnd【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)，屬于中檔題19. 如圖，把正方形紙片abcd沿對(duì)角線ac折成直二面角，點(diǎn),e f分別為,ad bc的中點(diǎn)，點(diǎn)o是原正方形abcd的中心 .（1）求證：/ /ab平面eof；（2）求直線cd與平面dof所成角的大小 .【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2） 30【解析】【分析】（1）由 of 是abc中位線，易證abof，進(jìn)而得證；（2）結(jié)合線面角的定義先求證,cfof cfod，進(jìn)

20、而得到cdf為cd與平面dof所成角， 結(jié)合幾何關(guān)系求解即可【詳解】 （1） 由,o f為,ac bc中點(diǎn)可知， 線段 of 為abc中位線，則ofabp， 又ofq平面eof，ab平面eof，/ /ab平面eof；（2）由（ 1）可得ofabp，90cfo，cfof，又qdacb為直二面角，o為ac中點(diǎn)，doac，do底面abc，又cfq平面abc，docf，dooffi，cf平面dof，cfdf， 故cdf為cd與平面dof所成角，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則1cf，2cd，1sin2cfcdfcd，故30cdf【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直證明，線面角的求法，屬于中檔題20. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線

21、l的方程為2y，過(guò)點(diǎn)(0,2)a且與直線l相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)p，記點(diǎn)p的軌跡為曲線e.（1）求e的方程；（2）若直線yxb與e相交于,b c兩點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為m.若4mcmbuuu u ruuu r，求|bc.【答案】（1）28xy（2）242【解析】【分析】（1）結(jié)合拋物線第一定義即可求解；（2）需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，設(shè),b c的中點(diǎn)為00,d xy，結(jié)合4mcmbuu u u ruuur可得532mdbc，聯(lián)立直線yxb和拋物線方程28xy，表示出對(duì)應(yīng)的bc 弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到點(diǎn)距離公式求得md長(zhǎng)度，解方程即可解得b，進(jìn)而求解弦長(zhǎng)bc【詳解】（1）由題可知，圓心軌跡p到定點(diǎn)(0, 2)a的距離等于到

22、定直線的距離2y，故點(diǎn)p的軌跡為拋物線，拋物線焦點(diǎn)為(0, 2)a，則e的方程為28xy；（2）由4mcmbu uu u ruuu r可知，線段3bcbm，設(shè),b c的中點(diǎn)為00,d xy，則532mdbc，聯(lián)立212212888808xxxyxxbxxbyxb，則12042xxx，將0 x代入直線yxb得4,4db，直線與x軸交點(diǎn)為：,0b，則24mdb，由弦長(zhǎng)公式可得2212121482bckxxx xb，又532mdbc，聯(lián)立化簡(jiǎn)可得291282560bb，解得16b（負(fù)值舍去） ，則816224 2bc【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，由直線與拋物線相交的線段比例關(guān)系求解參數(shù)，韋達(dá)

23、定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題21. 已知四棱錐pabcd的底面是邊長(zhǎng)為1 的正方形， 側(cè)棱pc底面abcd，且2,pce是側(cè)棱pc上的動(dòng)點(diǎn) .（1）求證：bdae；（2）若點(diǎn)e為pc的中點(diǎn)，求平面pda與平面eab所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）3 1010【解析】【分析】（1）連接ac，利用正方形性質(zhì)證明acbd，結(jié)合，側(cè)棱pc底面abcd可證pcbd，通過(guò)線面垂直可證；（2）采用建系法，以cd為x軸，cb為y軸，cp為 z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)求兩平面夾角的余弦值進(jìn)而求解；【詳解】 （1）q底面abcd為正方形，bdac，又q側(cè)棱

24、pc底面abcd，bd平面abcd，pcbd，pcacci，bd平面pac，又ae平面pac，bdae；（2）以cd為x軸，cb為y軸，cp為 z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則1,0,0 ,0,1,0 ,db0,0,2 ,0,0,1 ,1,1,0pea，0,1,0 ,1,0,2 ,1,0,0 ,1, 1,1dadpabaeu uu ruuu ruu u ruu u r設(shè)平面pda的法向量為1111,nx y zu r，則有111020yxz，令12x111201xyz，則12,0,1nu r；設(shè)平面eab的法向量為2222,nxyzu u r，則有22200 xyz，令21y222011xyz，則20,1 ,1nu u r；121212110cos,1052nnn nnnu r u u ru r uu ru ru u r，則123 10sin,10n nu r uu r【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，建系法求二面角夾角問(wèn)題，屬于中檔題22. 已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是12( 1,0),(1,0)ff， 過(guò)點(diǎn)1f且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于,p q兩點(diǎn)，且|3pq.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 過(guò)點(diǎn)2f