初中高中銜接課5--一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

1、淘出優(yōu)秀的你一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系， 在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有 著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一)、一元二次方程的根的判斷式k>K A一元二次方程ax2 bx c = 0 (a = 0),用配方法將其變形為：(X )2= - 22a 4a2(I)當(dāng)-4ac 0時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：-b ± Jb2 -4acX =x1,22a2a 當(dāng)b2 -4ac = 0時(shí)，右端是零因此，方程有

2、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：2 當(dāng)b -4ac：0時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.由于可以用b2 -4ac的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況因此，把b2-4ac叫做2 2一元二次方程ax by=0 (a = 0)的根的判別式，表示為：厶=b -4ac【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：2 2 2(1) 2x -3x 1=0(2) 4y 9=12y(3) 5(x3)-6x = 0解：Ay(-3)2 -4 2 1=1 0,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.2(2) 原方程可化為：4y -12y 9 = 0=( 1 22) - 44 9 , O原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(3) 原方程可化為：5x

3、-6x *15 = 0丄=(-6)-45 15 = -264"0原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式.【例2】已知關(guān)于X的一元二次方程3x2 -2x k = 0 ,根據(jù)下列條件，分別求出k的范圍:(i)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.解：，;.=(_2)2一4 3 k=4-i2ki(i) 4 i2k 0= k ：；-i(2) 4 i2k =0= k =；33i(3)4 i2k -0= k <i(4) 4 i2k < 0= k332 2【例3】已知實(shí)數(shù)X、y滿足X y -

4、 xy2x-yJ = O ,試求X、y的值.解：可以把所給方程看作為關(guān)于 X的方程，整理得：X2 -(y -2)x y2 - y O 由于X是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：. - -(y - 2)2 4(y2 - y 1) = 3y2 _ O= y = 0，代入原方程得：X2 2x 1 = 0= X = -1 .綜上知：x=1,y=0二)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程ax2 bx c =0 (a = 0)的兩個(gè)根為：-b + Jb2 _4ac-b - Jb2 -4acX,x =2a2a-b + Jb2 -4ac -b - Jb2 _4ac b所以：Xl X22a2aa-b +

5、Jb2 _4ac -b _ Jb2 _4ac (-b)2 _(Jb2 _4ac)2 4ac CXi X222 = 一2a2a(2a)4a a2 I定理：如果一元二次方程aX bX 0 (" O)的兩個(gè)根為Xi，X2 ,那么：beXi X2,XiX2 :aa說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為"韋達(dá)定理”.【例4】若xi, x2是方程X2，2x-2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值： X12X22 ；(2) - ；(3) (XI 一 5)(X2 -5) ；(4) Ix -X2 I Xlx2分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩

6、根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算.這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：1 2 - -2,X1X2 - -20072 2 2 2(1) X2 =(XI X2) -2x1x2 =(-2) -2(-2007) = 401811x1 X2-22(2)x1x2 x1x2-2007 2007(x1 -5)(x25) = xx2 5(x1 x2) 25 = -20075(2) 25= -1972(4) | X1 - X2 I = (X-X2- (X1 X2) 1 4X1X2 = . (-2) - 4( -2007) = 4 502說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變

7、形：2 2x2(x1 x2) - 2x1x2,x1X2X1 X222,(X1 X2) =(X1 X2) 4X1X2, x1x2IX1 - X21 f ( x x2)2 -4x1x2 ,X1X22X12X2 = X1X2 (x1 X2),4x3 x23 = (x1 x2)3 -3x1x2(x1 x2)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.*【例5】一元二次方程2 4x a = 0有兩個(gè)實(shí)根，一個(gè)比 3大，一個(gè)比3小，求a的取 值范圍。3 >0解一：由 L-(XI 3)(X23) <0 解得：ac3解二：設(shè)f(x)=2-4a ,則如圖所示，只須f(3)"0 ,解得a : 3淘出優(yōu)秀的

8、你【例6】已知一元二次方程X2 (a2 _9)Xa25a0一個(gè)根小于0,另一根大于2,求a的取值范圍。2 2 2解：如圖，設(shè) f(x)=x +(a -9)x + a -5a + 6If(O)Co='2C a V 38一 1：a：I32 ： a ：則只須(2)£°，解之得2262 1 2【例7】已知關(guān)于X的方程X -(k I)X -k 0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值.(1)方程兩實(shí)根的積為 5; (2)方程的兩實(shí)根X1, X2滿足IXIl=X2 .分析：(1)由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是 X1 = X2 _ 0 ,二是-XI=X2 , 所以要分類(lèi)討論.

9、2 1 2(k+1) -4(-k ÷1PO3解：(1) 方程兩實(shí)根的積為 5 4= k_m,k=412X1X2k2 1 = 5L 4所以，當(dāng)k = 4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5.由IX1 I = X2得知:k - -1 ,由于丄 0 =當(dāng)X1-O時(shí)，X1 = X2 ,所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故二=0= k =號(hào)；當(dāng) X1 0 時(shí)，P1 = X2 = x1 X2 = O= k 1 = O =故k二1不合題意，舍去.綜上可得,k = 3時(shí)，方程的兩實(shí)根X , X2 滿足 | x1 I= X2 .淘出優(yōu)秀的你說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，

10、即所求的字母應(yīng)滿足,：_0 .【例8】已知1, 2是一元二次方程4k2 - 4kx k0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.3(1)是否存在實(shí)數(shù)k ,使(2x1 - X2)(X1 - 2X2)=-成立？若存在，求出 k的值;若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由. 求使 蟲(chóng)竺-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k的整數(shù)值.X2 X1解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k ,使(2x - X2)(X1 - 2X2)=-成立.22 一元二次方程4kX - 4kX k 1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根4k=02= k ： 0 ,.: - (Vk) -4 4k(k 1) - -16k _0 +X2 =1 又X1, X2是一元二次方程4kX2 -4kX k0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根'k 1X1 x2 :4k2 2 2k 94k(2x1 -x2)(x12x2) = 2(x1x2 ) -5x1x2 = 2(x1 x2) -9x1x2=9 ,但 k ： 0 .不存在實(shí)數(shù) k ,使(2X1 - X2)(X1 -2X2)=-成立.52X1X2 -22X1X228X1