13-信號(hào)的功率譜密度解析

1、第4章隨機(jī)信號(hào)與線性系統(tǒng)陳明東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)信號(hào)的概念當(dāng)用隨機(jī)過(guò)程來(lái)表示一組信號(hào)時(shí)，此時(shí)的隨機(jī) 過(guò)程就被稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào)o4.1隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度確定性信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜特性是描述信號(hào)的一個(gè)重要指標(biāo)。對(duì)于確定性信號(hào)，其Fourier變換可以反映其頻譜特性。s(t) =?ancos2p ntn = 0?f)=o?s(t)ej2pftdtFourier分解的物理意義牛s(t)分解各種頻率成份的振動(dòng)頻譜與光譜進(jìn)行對(duì)比紅橙黃綠青藍(lán)紫如何反應(yīng)隨機(jī)信號(hào)的頻譜？由于隨機(jī)信號(hào)實(shí)際上是一族確定性信號(hào)， 要從統(tǒng)計(jì)意義上反映其頻譜特性，需要用功率 譜密度的概念。4.1.1連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)

2、的功率譜密度若X(t)是一個(gè)定義于？上的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，則-T,T上的平均功率為1T 2PT=2FcEX(t)dt利用Fourier變換的Parseval等式，可以 得到x（t）在（-少,）上的平均功率為從上式可以看出，下式所定義的關(guān)于頻率f的函數(shù)P = lim PT:殪；X(t)e- j2pftdt2df2Sx（f）= WEft鉿2反映了隨機(jī)信號(hào)功率在單位頻率上的分布情況，因此定義函數(shù)Sx（f）為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò) 程x（t）的功率譜密度。Jx（t）e-j2pftdt功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)4.1設(shè)X(t)是定義于？上的連續(xù)時(shí) 間隨機(jī)過(guò)程，sx(f)是其功率譜密度，則有如下 性質(zhì)：1功率譜密度在？

3、上的積分為信號(hào)總功率，也即P =O?Sx(f)df。2Sx(f)0,也即 Sx(f)是一個(gè)非負(fù)實(shí)函 數(shù)。3實(shí)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是偶函數(shù)圖 4.1 實(shí)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是非負(fù)偶函數(shù)對(duì)于寬平穩(wěn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，有下列Wie ner-Khi nchin定理定理4.1（Wiener-Khinchin定理）若x（t）為？上的寬平穩(wěn)過(guò)程，且其自相關(guān)函數(shù)Rx（t）滿足o?kR（t）ldt ?，則有Sx（f）=0?Rx（t）e-j2pftdtSX(f)=lim蝌TX(ti)e-j2pftldti|_X(t2)ej2pft2dt2limdTX(ti)X*(t2)ej2pf(tl-t2)dtidt2limTEX(t1

4、)X*(t2)e- j2pf(t1-12)dt1dt2-TlimTRx(ti- t2)e- j2pf(t1-12)dtidt2 -T如圖4.2所示，對(duì)積分區(qū)域作變換證明 由功率譜密度的定義式知t=t1- t2,t2=S，則Sx(f)=T2TT - t-Tds +蝌R(t )e- j2pftdt-TlimT蝌l|2TRx(t)e-j2pft(2T1镲镲镲镲2T2T+ t )dt +2ToR(t)e- j2pft(2T -O?2T餉Rx(t)e-j2pft?1Rx(t)e- j2pftdt于是定理得證。t)dt對(duì)于寬平穩(wěn)過(guò)程，其功率譜密度是其自相 關(guān)函數(shù)的Fourier變換，因此由Fourier逆

5、變換 公式有YRx(t)=b?Sx(f)ej2pftdf所以，對(duì)于寬平穩(wěn)過(guò)程來(lái)講，其自相關(guān)函數(shù)和 功率譜密度是互相唯一確定的關(guān)系，一個(gè)是隨 機(jī)過(guò)程時(shí)域特性的反映，一個(gè)是隨機(jī)過(guò)程頻域 特性的反映。此外由式(4.3)知，對(duì)于寬平穩(wěn)隨 機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，平均功率為l2YRx(O) = E|X(t)|2=,Sx(f)df若X(t)為實(shí)隨機(jī)過(guò)程，則其自相關(guān)函數(shù)為 偶函數(shù)，即Rx(t)= Rx(-t)，則YSx(f) =Q?Rx(t )cos2pftdt例4.1試求Poisson隨機(jī)電報(bào)過(guò)程的功 率譜密度。解 由習(xí)題2B-73可知，Poisson隨機(jī)電報(bào) 過(guò)程為寬平穩(wěn)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為Rx(t) =e-2a|

6、t|，其中a是信號(hào)平均傳輸速率。 由Wiener-Khinchin定理知其功率譜密度為Sx(f)=蝌e2ate- j2pftdt +e- 2ate- j2pftdt亠仃？0114a= + =-2a - j2pf 2a + j2pf 4a2+ 4p2f2例4.2設(shè)X(t)是定義在？上的實(shí)隨機(jī)過(guò)程， 其功率譜密度為Sx(f)。則 X的解析過(guò)程Z(t) = X(t) + jX(t)的功率譜密度為SZ(f) = 4SX(f)U(f)其中U(f)為Heavyside函數(shù)。解 由習(xí)題3B-39和例3.29知，Z(t)的自相 關(guān)函數(shù)為Rz(t)= 2臌Rx(t)+ jRXx(t)對(duì)其作Fourier變換，由

7、SX(X(f) = SX(f )H(f) = - jsgn( f)SX(f)知SZ(f) = 4SX(f)U(f)所以，解析過(guò)程沒(méi)有負(fù)功率譜密度。例4.3試求隨機(jī)相位余弦信號(hào)X(t) = a cos(2pf0t + Q)的功率譜密度Sx(f)，其中Q是(-P,P)上的 均勻分布。解 由例2.72知，x(t)為平穩(wěn)過(guò)程，且其自 相關(guān)函數(shù)為a2Rx(t) = cos2pfot則其功率譜密度為a2丫Sx(f) =Q?cos2pfte- j2pftdt_2 少_20j2p(f- fo)tdt+e- j2p(f+fo)td t4?d(f - fo) +即d(f + fo)其中，用到了常數(shù)1的Fourie

8、r變換是d函數(shù)的 性質(zhì)。由此可見(jiàn)，隨機(jī)相位余弦信號(hào)X(t)的功 率集中于頻點(diǎn)土f0。例4.4(白噪聲過(guò)程)如圖4.3所示，若寬平 穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程W(t)的功率譜密度在任意頻點(diǎn)上是 常數(shù)，即Sw(f)= N/2，則稱(chēng)W(t)為白噪聲過(guò)程,由Wiener-Khinchin定理知其自相關(guān)函數(shù)為N0Rw(t)=弓0d(t)若寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度為1SX(f )=其中w為某個(gè)正常數(shù)， 則稱(chēng)X(t)為帶限白噪聲 過(guò)程。該過(guò)程的平均功率為E|x(t)自相關(guān)函數(shù)為Rx(t)=業(yè)Awej2pftdf =NSin(2PWt)2wN0=bwldf = NwX 2Ow2pt由上式可見(jiàn)，當(dāng) t = ?k/(2

9、w), k 1,2 丄時(shí)，X(t)和X(t + t)互相正交。圖 4.3 白噪聲和帶限白噪聲的功率譜密度JLs煒=弘門(mén)J_0/W0w7互功率譜若X(t)和丫(t)是兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，和隨機(jī)信號(hào) 功率譜密度的定義類(lèi)似，可以定義X(t)和丫(t)的 互功率譜密度為SXY(f) =THm2TE|蝌X(t)e-j2pftdtg： 丫(t)e-j2pftdt和Wiener-Khinchin定理的證明類(lèi)似，若X (t)和丫(t)為兩個(gè)聯(lián)合寬平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，且0?tRXY(t) dt ?，則有YSXY(f) =Q?RxY(t )e- j2pftdtYRxY(f) =q- ?SxY(t )ej2pftd f式中，

10、RXY(f)為X(t)和丫(t)的互相關(guān)函數(shù)。此外，還可以證明互功率譜密度具有以下 性質(zhì)。性質(zhì)4.21SXY(f) = SYx(f )；2|SxY(f)|2Sx(f)SY(f)。證明作為練習(xí)例4.5設(shè)x(t)和丫是兩個(gè)聯(lián)合寬平穩(wěn)過(guò) 程， 試給出Z(t)= X(t) + Y(t)的功率譜密度。解Z(t)的自相關(guān)函數(shù)為RZ(t) = EZ(t + t)Z*(t)=E|X(t+ t) + Y (t + t)臌(t)+Y(t)*= RX(t)+ RYX(t)+RXY(t) + RY(t)因此，Z(t)的功率譜密度為YSz(f)二b?(Rx(t)+ RYx(t)+ RxY(t)+ RY(t)e-j2pf

11、tdt= SX(f) + SYX(f) + SXY(f) + SY(f)= Sx(f) + SY(f) + 2ReSxY(f)在信號(hào)分析中，常常要討論兩個(gè)聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的和，從上述表達(dá)式可以看出，互相關(guān)函數(shù)及互功率譜密度的概念的引進(jìn)是必需的。例4.6設(shè)聯(lián)合平穩(wěn)的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程x(t)和丫(t)的互功率譜密度為靝+j2 f, - 1/ 2p f SXY (f)=?0,其他則互相關(guān)函數(shù)為1/ 2pj2 pf tRXY(t)=o1/2(1+ j2pf)ej2pft-1/ 2p_ (sin t + cost )t - sin t =pt21/ 2pdf4.1.2離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度信號(hào)的頻率

12、刻畫(huà)了信號(hào)變化的快慢，因而 對(duì)于離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，只有指定了離散時(shí)間 的絕對(duì)時(shí)間間隔T0，功率譜密度才有意義。這 時(shí)，離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)可看成連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信 號(hào)每隔T0時(shí)間間隔的采樣。為了討論的方便， 將絕對(duì)時(shí)間間隔T0標(biāo)準(zhǔn)化為1。和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程類(lèi)似，Xn的功率譜 密度定義為N2?Xnej n2pf=-N而Xn和 Yn的互功率譜密度定義為SX(f) = lim EXN2N1SXY(f)=Nlim2NEN邋X(qián)ne-jn2pf=-NY nOjn2Pfn = - N由定義知，功率譜密度和互功率譜密度是周期 為1的函數(shù)。和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的證明完全類(lèi)似可得Wiener-Khinchin定理。定理4.2若Xn寬平穩(wěn)，其自相關(guān)函數(shù)為Rx【m，且?lmRxml?，則有m = - ?Sx(f) =?Rxme- jm2pfm = - ?1/ 2Rx(m) =6/