建筑力學靜定結構的內(nèi)力分析

1、靜定結構的內(nèi)力分析第一節(jié)多跨靜定梁、斜梁、多跨靜定梁若干根梁用中間較連接在一起，并以若干支座與基礎相連， 或者擱置于其他構件上而組 成的靜定梁，稱為多跨靜定梁。在實際的建筑工程中，多跨靜定梁常用來跨越幾個相連的跨 度。圖131a所示為一公路或城市橋梁中，常采用的多跨靜定梁結構形式之一，其計算簡 圖如圖131b所示。在房屋建筑結構中的木楝條，也是多跨靜定梁的結構形式，如圖132a所示為木楝條的構造圖，其計算簡圖如圖132b所示。連接單跨梁的一些中間鍍，在鋼筋混凝土結構中其主要形式常采用企口結合(圖13-1a),而在木結構中常采用斜搭接或并用螺栓連接(圖132a)。從幾何組成分析可知，圖 131b

2、中AB梁是直接由鏈桿支座與地基相連，是幾何不變 的。且梁AB本身不依賴梁BC和CD就可以獨立承受荷載，所以，稱為基本部分。如果僅 受豎向荷載作用，CD梁也能獨立承受荷載維持平衡，同樣可視為基本部分。短梁BC是依靠基本部分的支承才能承受荷載并保持平衡，所以，稱為附屬部分。同樣道理在圖13-2b中梁AB, CD和EF均為基本部分，梁 BC和梁DE為附屬部分。為了更清楚地表示各部分 之間的支承關系，把基本部分畫在下層，將附屬部分畫在上層，分別如圖 131c和圖13 一2c所示，我們稱它為關系圖或層疊圖。企口ABCD(b)&工工X(c)A。kCDC品八 * 工 人圖 13-1從受力分析來看，當

3、荷載作用于基本部分時，只有該基本部分受力，而與其相連的附屬 部分不受力；當荷載作用于附屬部分時， 則不僅該附屬部分受力， 且通過較接部分將力傳至 與其相關的基本部分上去。因此，計算多跨靜定梁時，必須先從附屬部分計算，再計算基本部分，按組成順序的逆過程進行。例如圖131c,應先從附屬梁BC計算，再依次考慮CD、AB梁。這樣便把多跨梁化為單跨梁，分別進行計算，從而可避免解算聯(lián)立方程。再將各單 跨梁的內(nèi)力圖連在一起，便得到多跨靜定梁的內(nèi)力圖。斜搭接木橡條圖 13-2例13-1試作圖13-3a所示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。解：(1)作層疊圖如圖13-3b所示，AC梁為基本部分，CE梁是通過錢C和D支座鏈桿連

4、接在 AC梁上, 要依靠AC梁才能保證其幾何不變性，所以CE梁為附屬部分。(2)計算支座反力從層疊圖看出，應先從附屬部分CE開始取隔離體，如圖13-3c所示?！?M"0 80 6 -VD 4=0VD =120kN (T)“ MD =0 80 2 -VC 4 =0VC = 40kN ( J )將Vc反向，作用于梁AC上，計算基本部分% X =0 HA =0M Ma=0-40X 10+VbX 8+10X8X4-64=0£ MB =040X210X 8X4 64+VaX 8=0VA=58kN (T)VB=18kN(J)校核：由整體平衡條件得匯Y = 80 十 120 18 十 5

5、8-10X 8=0,無誤。(3)作內(nèi)力圖除分別作出單跨梁的內(nèi)力圖，然后拼合在同一水平基線上這一方法外，多跨靜定梁的內(nèi)力圖也可根據(jù)其整體受力圖 (圖133a)直接繪出。將整個梁分為 AB、BD、DE三段，由于中間較 C處是外力的連續(xù)點，故不必將它選 為分段點。由內(nèi)力計算法則，各分段點的剪力為Qa = 58kNQb =5810 X 8=一 22kNQb =58- 10X 8-18=-40 kNQd =80 120=-40 kNc右Qd =80 kNQ： =80 kN據(jù)此繪得剪力圖如圖133d所示。其中AB段剪力為零的截面 F距A點為5. 8m。DM =64KN.m(c)Ha=0q =10kN/mV

6、D=120KN(d)(e)Vc=40KNV=58KNVb=18KN由內(nèi)力計算法則，各分段點的彎矩為Mab= 64 kN - mMba= 64+58X 8 10X 8X 4=80 kN mMde= 80X 2= 160 kN m M ED=0Mf= 64+58X 5.8 10X 5.8 X 5.8/2=104.2 kN - m據(jù)此作彎矩圖如圖13-3e所示。其中AB段內(nèi)有均布荷載，故需在直線彎矩圖（圖中虛 線）的基礎上疊加相應簡支梁在跨中間（簡稱跨中）荷載作用的彎距圖。多跨靜定梁比相同跨度的簡支梁的彎矩要小，且彎矩的分布比較均勻，此即多跨靜定梁的受力特征。多跨靜定梁雖然比相應的多跨簡支梁要經(jīng)濟些

7、，但構造要復雜些。一個具體工程，是采用單跨靜定梁，還是多跨靜定梁或其它型式的結構， 需要作技術經(jīng)濟比較后，從中 選出最佳方案。二、斜梁1、斜梁的荷載梁式結構的特點是，在豎直荷載作用下只產(chǎn)生豎向支座反力。梁不一定是水平放置的，由樓梯簡化成的斜梁，也是梁式結構，如圖 134所示。斜梁通常承受兩種 形式的均布荷載：平臺里圖13 4（1）沿水平方向均布的荷載 q（圖135a）。樓梯斜梁承受的人群荷載就是沿水平方向 均勻分布的荷載。（2）沿斜梁軸線均勻分布的荷載q'（圖13 5b）。等截面斜梁的自重就是沿梁軸均勻分布的荷載。2.由于斜梁按水平均勻分布的荷載計算起來更為方便，故可根據(jù)總荷載不變的原

8、則，將q'等效換算成q后再作計算，即由q1' = ql得l . 1 qq = q- =q-H= （13-dl l /l cos式（13-1）表明：沿斜梁軸線分布的荷載q'除以cos ”就可化為沿水平分布的荷載 q。這樣換算以后，對斜梁的一切計算都可按圖13-5c的簡圖進行。例13-2斜梁如圖136a所示。已知其傾角為" 水平后夸度為l ,承受沿水平方向集度為q的均布載荷作用。試作該斜梁的內(nèi)力圖，并與相應水平梁的內(nèi)力圖作比較。解：（1）求支座反力；以全梁為分離體，由靜力平衡條件求得支座反力為：Ha=0,qlVa=-2（2）求內(nèi)力.)7 c)dCISe (ca &

9、lt;8 I 4q631 圖列彎矩方程。設任一截面K距左端為x ,取分離體如圖136b 所示；由 Z MK =0,可得彎矩方程為:xqlq 2M =VAx-qxx x2221故知彎矩圖為一拋物線,如圖136c所小，跨中彎矩為-ql2?？梢娦绷褐凶畲髲澗氐?位置（梁跨中）和大小（ q）與直梁是相同的。8求剪力和軸力時，將反力136b）,由匯 v = 0 ,得VA和荷載qx沿截面方向（v方向）和桿軸方向（u方向）分解（圖Q =VAcos： qxcos-：i - - qx cos-：20,得:N = -VA sin 工二 qxsin ;ql- -qx sin -2根據(jù)以上二式分別作出剪力圖和軸力圖，

10、如圖136d、e所示。圖136f所示，為與上述斜梁的水平跨度相等并承受相同載荷的簡支梁。由截面法可求得任一截面K的彎矩M0、剪力Q0和軸力N0的方程為.0 qlq 2M x x ,22Q0ql- qx ,2作得內(nèi)力圖如圖136g、h、i所示。將斜梁與水平梁的內(nèi)力加以比較，可知二者有如下關系:M = M 0, Q = Q0cos豆,三、靜定平面剛架（一）靜定平面剛架的特點PP A A'9 90 一、II! I(a)1 .剛架（亦稱框架）是由橫梁和柱共同組成的一個整體承重結構。剛架的特點是具有剛 結點，即梁與柱的接頭是剛性連接的，共同組成一個幾何不變的整體。如圖13 7a所示簡支剛架，圖1

11、37b所示懸臂剛架，圖137c所示三角胡J架，圖137d所示門式剛架，其中 的梁與柱均用剛結點連接。剛架中的所謂剛結點，就是在任何荷載作用下，梁、柱在該結點處的夾角保持不變。如圖137a、b、c、d所示剛架在荷載作用下均產(chǎn)生變形，剛結點因而有線位移和轉動，但原 來結點處梁、柱軸線的夾角大小保持不變。2 .在受力方面，由于剛架具有剛結點，梁和柱能作為一個整體共同承擔荷載的作用， 結構整體性好，剛度大，內(nèi)力分布較均勻。在大跨度、重荷載的情況下，是一種較好的承重 結構，所以剛架結構在工業(yè)與民用建筑中，被廣泛地采用。（二）靜定剛架的內(nèi)力計算及內(nèi)力圖1、內(nèi)力計算如同研究梁的內(nèi)力一樣，在計算剛架內(nèi)力之前，

12、 首先要明確剛架在荷載作用下，其桿件橫截面將產(chǎn)生什么樣的內(nèi)力?，F(xiàn)以圖138a所示靜定懸臂剛架為例作一般性的討論。剛架是在任意荷載作用下，現(xiàn)研究其中任意一截面假想將岡I架從m-m截面處截斷，取其中一部分隔離體圖m-m產(chǎn)生什么內(nèi)力。先用截面法138b。在這隔離體上，由于作用荷載，所以截面mm上必產(chǎn)生內(nèi)力與之平衡。從£ X = 0,知截面上將會有一水平力,即截面的剪力 Q,與荷載在x軸上的投影平衡；從 £ Y = 0,知截面將會有一垂直力，即截面的軸向力N,與荷載在y軸上的投影平衡；再以截面的形心。為矩心，從£ M0 = 0,知截面必有一力偶，即截面的彎矩M,與荷載對O

13、點之矩平衡。因此可得出結論：剛架受荷載作用產(chǎn)生三種內(nèi)力：彎矩、剪力和軸力。要求出靜定剛架中任一截面的內(nèi)力 （M、Q、N）也如同計算梁的內(nèi)力一樣， 用截面法將剛 架從指定截面處截開， 考慮其中一部分隔離體的平衡， 建立平衡方程，解方程從而求出它的 內(nèi)力。因此，關于靜定梁的彎矩和剪力計算的一般法則， 算法則重復說明如下（注意與前面的提法內(nèi)容是一致的“任一截面的彎矩數(shù)值等于該截面任一側所有外力 矩的代數(shù)和”?！叭我唤孛娴募袅?shù)值等于該截面任一側所有外力 或稱切向投影的代數(shù)和”?！叭我唤孛娴妮S力數(shù)值等于該截面任一側面所有外力對于剛架來說同樣是適用的?，F(xiàn)將計）:（包括支座反力）對該截面形心的力（包括支座

14、反力）沿該截面平面投影（包括支座反力）在該截面法線方向投影（或稱法向投影）的代數(shù)和”。3 .內(nèi)力圖的繪制在作內(nèi)力圖時，先根據(jù)荷載等情況確定各段桿件內(nèi)力圖的形狀，之后再計算出控制截面對于彎矩圖通常不標明正負號，而把它畫在桿使剛架內(nèi)側受拉的彎矩為正，反之為負；軸力的內(nèi)力值，這樣即可作出整個剛架的內(nèi)力圖。件受拉一側，而剪力圖和軸力圖則應標出正負號。在運算過程中，內(nèi)力的正負號規(guī)定如下： 以拉力為正、壓力為負；剪力正負號的規(guī)定與梁相同。為了明確的表示各桿端的內(nèi)力， 規(guī)定內(nèi)力字母下方用兩個腳標， 第一個腳標表示該內(nèi)力 所屬桿端，第二個腳標表示桿的另一端。如 AB桿A端的彎矩記為 Mab , B端的彎矩記為

15、 Mba； CD桿C端的剪力記為 Qcd、D端的剪力記為 Qdc等等。全部內(nèi)力圖作出后，可截取剛架的任一部分為隔離體，按靜力平衡條件進行校核。例133計算圖139a所示剛架結點處各桿端截面的內(nèi)力。Mc8KNCiNcaQca6KN(b)圖13-9解：（1）用整體的三個平衡方程求出支座反力，如圖Mcb QcbNcbC24m(c)8KN 6"48KN24KNi6KN(d)24KNm13 9a所示;B6KN（2）計算剛結點C處桿端截面內(nèi)力剛結點C有Ci、C2兩個截面，沿Ci和C2切開，分別取Ci下邊、C2右邊，即CiA （包Cl 和 C2括A支座）和C2B （包括B支座）兩個隔離體，分別建立

16、平衡方程，確定桿端截面 的內(nèi)力。對C1A隔離體（圖139b）,則X =0,Qca8=0,QcA=8kNY =0,Nca -6=0, NcA=6kNMe =0,Mca -8黑3 = 0 , M ca = 24kN m (AC桿內(nèi)側即右側受拉)對C2B隔離體（圖13 9c）,有X X=0, Ncb=0Y Y =0,Qcb +6=0, Qcb=6kN£Mc=0,-Mcb +6x4 = 0, Mcb =24kN *m（CB 桿內(nèi)側即下側受拉）（3）取結點C為隔離體校核（圖139d）。校核時畫出分離體的受力圖應注意：a）必須包括作用在此分離體上的所有外力，以及計算所得的內(nèi)力 M、Q和N; b）

17、圖中的M、Q和N都應按求得的實際方向畫出并不再加注 正負號。£ X = 0,88=0E Y = 0,6 6=0g M c = 0 ,24 24=0 無誤。例13-4計算圖1310所示剛架剛結點C, D處桿端截面的內(nèi)力。解：利用平衡求出支座反力，如圖13-10所示;C C2D2 DDim4kN24kN圖13-106m4kN（1）計算剛結點C處桿（2）端截面內(nèi)力取ACi（相當取ACi段為研究 對象，包括支座 A）,得£ Y = 0, Nca =4kN£ X = 0, QCA =12-3父4 = 0M Mc =0, Mca =12父43父4M 2 =24kN m （AC

18、桿內(nèi)側即右側受拉。）取AC2桿（相當取AC2為研究對象，包括支座 A）,得£ X =0, Ncd =12 -34=0Z Y = 0 ,QCD = M kN£Mc=0, Mcd =12父4 3父4M 2 =24 kN m （CD桿內(nèi)側即下側受拉）（3）計算剛結點D處桿端截面內(nèi)力。取BDi桿（相當取BD1為研究對象，包括支座 B）,得EY=0, N db = -4 kNX X =0, Qdb =0kN£ Md =0, Mdb =0取BD2桿(相當取D2DB為研究對象，包括剛結點 D和支座B),得X X =0, Ndc =0kN£ Y = 0, Qdc = H

19、 kNM Md =0, Mdc =0(4)取結點C或D為分離體進行校核。例13-5作圖13-11a所示剛架的內(nèi)力圖。(a)A 一4287kN7C4rD 24ITTTB(kN -m )(d)8x，4=2(kN m )(b)(c)(e)4KN . m4kN 圖13-11解：（1）計算支座反力（圖 1311a）;（2）計算各桿端內(nèi)力取CD桿：M CD = 0Mdc =4M1=4kN-m （左側受拉）Qcd 二Qdc =4 kNNcd 二 Ndc =0取DB桿：Mbd =0M DB = 7父4 = 28 kN m （下側受拉）Qbd = Qdb =-7 kNNbd -Ndb -0取AD桿：Mad =0

20、Mda=8m41m4m2=24 kN m （右側受拉）Qad =8 kNQda =8-1 4 =4 kNNAD = Nda =7 Kn（3）作M、Q、N內(nèi)力圖彎矩圖畫在桿的受拉側。 桿CD和BD上無荷載，將桿的兩端桿端彎矩的縱坐標以直線 相連，即得桿CD和BD的彎矩圖。桿 AD上有均布荷載彳用，將桿 AD兩端桿端彎矩值以 虛直線相連，以此虛直線為基線， 疊加以桿AD的長度為跨度的簡支梁受均布荷載作用下的 彎矩圖，即得桿 AD的彎矩圖。疊加后，AD桿中點截面E的彎矩值為一 11 , / 一 M E =-（0 +24）十后父1父4 =14kN - m（右側文拉）剛架的M圖如圖1311b所示。剪力圖

21、的縱坐標可畫在桿的任一側，但需標注正負號。將各桿桿端剪力縱坐標用直線相連（各桿跨中均無集中力作用），即得各桿的剪力圖。剛架的剪力圖如圖1311c所示。軸力圖的作法與剪力圖類似，可畫在任意一側，需注明正負號。剛架的軸力圖如圖1311d所示。（4）校核取結點D為隔離體（如圖13-11e所示）E X = 0,4 4=0£ Y =0,7-7=0M MD =0,4+24 28=0無誤例13-6作圖1312a所示剛架的彎矩圖。128解：（1）利用平衡方程計算支反力;（2）計算桿端彎矩取AC桿：M AC = M CA = 0求CE桿E端彎矩時，可取 ECA隔離體（從 C1面截開）MEC =2 =

22、T KN - m （左側受拉）M CE = M CA = 0取EA桿（包括剛結點 E,從C2面截開）：MEF = -4x2 = 8KN - m （上側受拉）取DB桿（從C5面截開）：M BD = 0 , M DB = -4父 2 =4 KN m （右側受拉）取DB桿（從C6面截開）：M DF=4M2+4 = YKN - m （右側受拉）取FB桿（從C3面截開）：M FD=Y父4+4 = -12KN m （右側受拉）取FB桿（從C4面截開）：M fe = -4*4+4 = -12 KN m （上側受拉）（3）作M圖桿EF上作用均布荷載，將桿 EF兩端的彎矩值用虛線相連，以虛直線為基線，疊加簡支梁

23、受均布荷載作用的彎矩圖（桿中央截面彎矩疊加值為121一父20M42 - - （8 +12） =30kN.m）,由此得桿EF上的彎矩圖，其余各桿將桿端彎矩的縱82坐標用直線相連。注意 D截面彎矩有突變。剛架的彎矩圖如圖13-12b所示。（4）校核取結點E為隔離體。（略）例13-7試作圖1313a所示剛架的彎矩圖。解：（1）利用平衡方程計算支反力；（2）計算桿端彎矩取AC桿（桿上荷載不包括力偶）M AC =01 _ _2MCA = 5 *13.75-一父 5父 5 =6.25 KN - m （下側受拉）2取BC桿（從C左邊截開，桿上荷載不包括力偶）：M BC =0Mcb =11.25 父5 =56

24、.25 KN m （下側受拉）取DE桿：Med =0Mde =10 父3 =30 KN m （右側受拉）DC桿的D端彎矩與ED桿D端彎矩值相同，即MDC =MDE =30 KN - m （右側受拉）求DC桿C端彎矩日可取CDE隔離體（桿上荷載不包括力偶）：Mcd =106-103 = 30 KN - m （右側受拉）。（3）作M圖AC桿中央截面彎矩121M 中=-x 5 x 5 +一父 6.25 = 21.875 KN m 82（4）校核取結點C為隔離體，如圖13-13c所示。顯然滿足 M M0=0。C通過以上例題可看出， 作剛架內(nèi)力圖的常規(guī)步驟，一般是先求反力，再逐桿分段、定點、（有時甚至不

25、求聯(lián)線作出。在作彎矩圖之前，如果先作一番判斷，則常?？梢陨偾笠恍┓戳?反力），而迅速作出彎矩圖。判斷內(nèi)容：1 .熟練掌握MQ q之間的微分關系；2 .鍍結點處彎矩為零；3 .剛結點力矩平衡。如圖13 14a,各桿端彎矩與力偶荷載的代數(shù)和應等于零。對于兩桿剛結點，如結點上無力偶荷載作用時，則兩桿端彎矩數(shù)值必相等且受拉側相同（即同為外側受拉或同為內(nèi)側受拉），如圖1314b所示。在剛結點處，除某一桿端彎矩外，其余各 桿端彎矩若均已知，則該桿端彎矩的大小和受拉側便可根據(jù)剛結點力矩平衡條件推出。M ABMAD圖 13-14例13-8作圖1315a所示結構的 M圖。mm(a)(b)圖13-15解：由整體水

26、平力平衡可知 XA=10 kN （）,則MEA=30kN - m,右側受拉；MCE=10X610X3=30kN.m ,右側受拉；根據(jù)結點 C力矩平衡，Mcd=30KN m,下側受拉；BD 桿無剪力，則BF段無M圖，F(xiàn)D段M保持常數(shù)，為5kN m左側受拉；根據(jù)剛結點力矩平 衡，Mdc = 5kN m,下側受拉。有了各控制截面的彎矩豎標，再據(jù)無荷載區(qū)間 M圖為直線，集中力偶處彎矩有突變。畫出整個M圖，如圖1315b所示。上述過程無須筆算，僅根據(jù)M圖特點即可作出 M圖。例13-9作圖1316a所示剛架的M圖。4m(a)3mM 圖(kN m )(b)圖13-16解：AB和BD桿段間無荷載，故 M圖均為

27、直線。因 MDc = 6kN m,下側受拉，Mcd-4=0,故Mbc =父6=8 kN ,上側受拉；由剛結點B力矩平衡，M ba = 8 + 20 = 28 kN , m, 3左側受拉；MAB = 15kN m,左側受拉。有了各控制截面彎矩，即可作出整個結構M圖，如圖1316b所示。四、截面法1 .截面法原理用結點法計算桁架的內(nèi)力時， 是按一定順序逐個結點計算， 這種方法前后計算相互影響， 即后一結點的計算要用到前一結點計算的結果。若前面的計算錯了，就會影響到后面的計算結果。另外，當桁架結點數(shù)目較多時，而問題又只要求桁架中的某幾根桿件的軸力，這時用 結點法求解就顯得繁瑣了，這種情況下可采用另一

28、種方法就是截面法。截面法是用一個截面截斷若干根桿件將整個桁架分為兩部分，并任取其中一部分(包括若干結點在內(nèi))作為隔離體，建立平衡方程求出所截斷桿件的內(nèi)力。顯然。作用于隔離體上 的力系，通常為平面一般力系。因此，只要此隔離體上的未知力數(shù)目不多于三個，可利用一般力系的三個靜力平衡方程，直接把截面上的全部未知力求出。2 .截面法適用范圍：(1)求聯(lián)合桁架的軸力。(2)求簡單桁架中指定桿截面的軸力。例13-11 求圖13-23a所示桁架1、2、3桿的內(nèi)力N1、N2、N3。解：(1)求支座反力£ X = 0 Xa = 3KN (一) . 一 1M Mb=0 Ya =4乂20 + 8父16 +

29、2父43父3 =8.625 KN 24一 八、，1M Ma=0 Yb =4父4+8父8+2父20+3父3 =5.375KN 24(2)求內(nèi)力利用I I截面以左為隔離體，如圖 13-23b所示。將Ni分解為水平分力Xi和垂直分力丫人則由(b)M Md =08.625X 12 4X 8 8X4+5X1=0故 X1二 7.900 KN ()、，1 .丫 =父 7.900 = 1.975 KN （ J ） 442 12N1= -x 7.900 = -8.143 KN （壓力）4由 £ Y = 08.625-4-8- 1.975-Y2=0故丫2=5.350 KN ，X2=-5.350 KN （

30、）一 1N2 =父 5.350 = -7.567 KN （壓力）0.707求N3仍利用圖13-23b的示力圖。由£ X =0 37.9005.350+N3=0N3=16.25 KN （拉力）校核 用圖1323b中未用過的力矩方程 £ Mh =0進行校核。M MH =3X48.625 X 8+4X4+16.250 X 4=0 無誤3、結點法和截面法的聯(lián)合應用結點法和截面法是計算桁架內(nèi)力的兩種基本方法，對于簡單桁架求所有桿軸里力無論用哪一種方法計算都比較方便，但對有些求指定桿內(nèi)力的簡單桁架用聯(lián)合法更加方便。對于聯(lián)合桁架來說（圖 1318b）,僅用結點法或截面法來分析內(nèi)力就會遇到

31、困難，這時，一般先 用截面法求出聯(lián)合處桿件的內(nèi)力，然后可對組成聯(lián)合桁架的各簡單桁架內(nèi)力用結點法進行計算。圖1324a所示的桁架是簡單桁架，求桁架 1、2、3、4桿的內(nèi)力NrN2> N3、N4時, 聯(lián)合使用截面法和結點法較為簡便。作I I截面，取左部分為隔離體（圖13 24b）,由Z MC=0和g M E = 0分別求出N4和N。然后截取結點 D（圖1324c）,由£ X = 0 ,得N2 = 5。最后作H n截面（圖 1324a、d）,由 £ Y =0即可求出 N2 和 N3。P(a)IC N 1(c)(b)(d)圖 13-244、幾種桁架受力性能的比較現(xiàn)取工程中常用

32、的平行弦、三角形和拋物線形三種桁架，以相同跨度、相同高度、相同節(jié)間及相同荷載作用下的內(nèi)力分布（圖1325a、b、c）加以分析比較。從而了解桁架的形式對內(nèi)力分布和構造上的影響， 以及它們的應用范圍，以便在結構設計或對桁架作定性分析時， 可根據(jù)不同的情況和要求，選用適當?shù)蔫旒苄问?。平行弦桁架（圖1325a）的內(nèi)力分布很不均勻。上弦桿和下弦桿內(nèi)力值均是靠支座處小，向跨度中間增大。腹桿則是靠近支座處內(nèi)力大，向跨中逐漸減小。如果按各桿內(nèi)力大小選擇截面，弦桿截面沿跨度方向必須隨之改變，這樣結點的構造處理較為復雜。如果各桿采用相同截面，則靠近支座處弦桿材料性能不能充分利用，造成浪費。其優(yōu)點是結點構造劃一，腹

33、桿可標準化，因此，可在輕型桁架中應用。三角形桁架（圖1325b）的內(nèi)力分布是不均勻的。 其弦桿的內(nèi)力從中間向支座方向遞增， 近支座處最大。在腹桿中，斜桿受壓，而豎桿則受拉（或為零桿），而且腹桿的內(nèi)力是從支座向中間遞增。這種桁架的端結點處，上下弦桿之間夾角較小， 構造復雜。但由于其兩面斜坡的外形符合屋頂構造的要求，所以，在跨度較小、坡度較大的屋蓋結構中較多采用三角形桁 架。拋物線形桁架上、下弦桿內(nèi)力分布均勻。當荷載作用在上弦桿結點時，腹桿內(nèi)力為零；當荷載作用在下弦桿結點時，腹桿中的斜桿內(nèi)力為零， 豎桿內(nèi)力等于結點荷載。 是一種受力性能較好，較理想的結構形式。但上弦的彎折較多，構造復雜，結點處理較

34、為困難。因此，工程中多采用的是如圖 1325c所示的外形接近拋物線形的折線形桁架，且只在跨度為18米至30米的大跨度屋蓋中采用。(a)1圖 13-25第四節(jié)三校拱、概述除隧道、橋梁外，在房屋建筑中，屋面承重結構也用到拱結構（圖 13-26）。拱結構的計算簡圖通常有三種 （圖1327）,圖13 27a和圖1327b所示無錢拱和兩錢 拱是超靜定的，圖1327c所示三校拱是靜定的。在本節(jié)中，將只討論三錢拱的計算。拱結構的特點是：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平反力。這種水平反力又稱為水平推力，或簡稱為推力。拱結構與梁結構的區(qū)別，不僅在于外形不同，更重要 的還在于在豎向荷載作用下是否產(chǎn)生

35、水平推力。例如圖1328所示的兩個結構，雖然它們的桿軸都是曲線，但圖1328a所示結構在豎向荷載作用下不產(chǎn)生水平推力，其彎矩與相應簡支梁（同跨度、同荷載的梁）的彎矩相同，所以這種結構不是拱結構而是一根曲梁。圖 1328b所示結構，由于其兩端都有水平支座鏈桿，在豎向荷載作用下將產(chǎn)生水平推力，所以 屬于拱結構。圖 13-28用作屋面承重結構的三校拱，常在兩支座校之間設水平拉桿(圖1329b)。這樣，拉桿內(nèi)所產(chǎn)生的拉力代替了支座推力的作用， 在豎向荷載作用下， 使支座只產(chǎn)生豎向反力。 但是 這種結構的內(nèi)部受力情況與三校拱完全相同，故稱為具有拉桿的拱，或簡稱拉桿拱。(a)拱結構(圖1329a)最高的一

36、點稱為拱頂。三錢拱的中間校通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座連接處稱為拱趾，或稱拱腳。兩個拱趾間的水平距離l稱為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高。拱高與跨度之比 f/l稱為高跨比。由后面可知，拱主要力學 性能與高跨比有關。二、三較拱的內(nèi)力計算1、支反力的計算三校拱為靜定結構，其全部反力和內(nèi)力可以由平衡方程算出。計算三校拱支座反力的方法，與三校剛架支座反力的計算方法相同?，F(xiàn)以圖1330a所示的三校拱為例， 導出支座反力的計算公式。由 £ M B = 0得Va = (1/1Iph +p2b2 )(a)由 ZMa=0 得Vb =(1/l的冏+p2a2 )(b)由£ X

37、=0得Ha=Hb=H(c)從C較處截開，取左半拱為平衡體，利用 M M； =0求出H =(1/ f WJ - PNi )(d)1330b所示。由平為了便于理解和比較，取與三校拱同跨度、同荷載的簡支梁如圖衡條件可得簡支梁的支座反力及C截面的彎矩分別為:V0 =(1/l KPibi + p2b2 )(e)Ve° = (1/l Rpiai + p2a2)(f)MC =VAl1 - p1d1(g)比較(a)與(e), (b)與及(d)與(g)式可見：Va =vA(132)Vb Vb( 13-3)H =MC / f(134)由式(132)、(133)可知，拱的豎向反力和相應的簡支梁的支座反力相

38、同。由式 (13 4)可知，三錢拱的推力只與三個錢的位置有關。與三個校之間拱軸的形狀無關。當荷載和跨 度不變時，推力 H與f成反比，所以拱愈扁平，其推力就愈大，當 f=0時，H = oo,這時 三錢拱的三個錢在同一條直線上，拱已成為瞬變體系。圖 13 30圖 13 31對于圖1331a所示的有拉桿的三錢拱來說，由整體的平衡條件M M A = 0 ,AM MB =0, £ X =0,可求得Ha=0,va =v： ,VB=V；。取隔離體如圖1331b所示，利用TMc =0求出Nab =1/ f VaL 一 p1d1)=M C / f(13-5)H相同。在用拱作屋頂時，為式中MC仍為相應的

39、簡支梁截面的彎矩。計算結果表明，拉桿的拉力和無拉桿三校拱的水平推力了減少拱對墻或柱的水平推力，常采用拉桿拱。2、內(nèi)力計算三校拱的內(nèi)力符號規(guī)定如下：彎矩以使拱內(nèi)側纖維受拉為正；剪力以使隔離體順時針轉 動為正；因拱常受壓力，規(guī)定軸力以壓為正。為計算三校拱任意截面（應與拱軸正交）的內(nèi)力，首先在圖1330a中取K截面以左部分 為隔離體，畫受力圖如圖 1332a所示。其相應簡支梁段的受力圖如圖 1332b。由相應簡 支梁段的受力圖可見， K截面內(nèi)力為00QK = VA - plM k = VAXk - Pi X k -a1剪力Qk應沿截面方向，軸力 Nk應沿垂直于截面的方向，如受力圖1332c所示。圖中

40、內(nèi)力均按正向假設。由圖13-32a中£ Mk =0可知，將所有力向 K截面的切線的法線方向分別投影，其代數(shù)和為零。求得Mk與相應簡支梁K截面內(nèi)力關系式為：MK=MK-HyK（13 6）Qk =qK ,cos中k - H sin 中K（13 7）Nk = qK *sin 中K + H cos般（138）式（136）、（137）、（13 8）是三校拱任意截面內(nèi)力的計算公式。式中 甲K為擬求 截面的傾角，中k將隨截面不同而改變。 但是，當拱軸曲線方程 y=f（x ）為已知時，可利用tan* = dy/dx確定各截面的（）值；在左半拱，dy/dx > 0 , e取正號；右半拱，dy/d

41、x<0,4取負號。所以它只適用于豎向荷載需要說明：拱內(nèi)力計算公式是在豎向荷載作用下推倒出來的, 作用下拱的內(nèi)力計算。錢拱截面 K和D的內(nèi)力值。拱軸線方程例題13-12試求圖13-33所示4f .y =/x（l -x >解：（1）利用平衡方程求各支座反力VA= 179. 4kN （ T ）Vb= 170. 8kN （ T ）Ha=312. 4kN（一）（2）根據(jù)已給拱軸線方程。分別計算K、D截面的縱坐標及拱軸線的切線傾角:yK4f .1Tx l -xyD4 5x3024 5r3027.5 30 - 7.5 = 3.75m20 30-20 =4.44 m因為所以dy dxdy4 M51

42、tg 邛 k =T(30_2M7.5)=dx xa5303甲K =18° 26'故 sin k =0.3162 cosk =0.9487 同理得：d dy 4 M 5,1tg% =r(30 - 220)=0.222dx xv.030中 D = 12。31，故sin d 一 -0.2167 cos d =0.9762由式（136）、（137）、（13 8）及以上數(shù)據(jù)，計算 K、D截面的內(nèi)力:179.2 父 7.5 -1M0X 7.52 l-312.4><3.75 = 110KN2Qk =qK cos，- H sin，= 179.2 -10 7.5 0.9487 -3

43、12.4 0.3162 = 0.07 KNNk =QK° sin CPK +Hcos（PK= （179.2 10X 7.5） X 0.3162+312.4X 0.9487=329.5KN同樣地得Md =M； - Hyp=170.8 X 10-312.4 X 4.44=319KN m因為截面D恰位于集中力作用點，所以計算該截面的剪力和軸力時，應該分別計算該 截面稍左和稍右兩個截面白剪力和軸力值，即qD QD?和ND、Nd oQd = (Qd 0 cos% - H sin 中D=(200 170.8) X 0.9762-312.4X ( 0.2167) =96.3KNQd =(Q： 0cos平d Hsin中d= 170.8X0.9762 312.4X ( 0.2167) = - 99KN左 左。 X2Nd = Qd sin D H cos D=29.2 X ( 0.2167) +3123.4 X 0.9762=302.2KN右一右0個一Nd = Qd sin D H cos D=37.0+308.5=345.5KN、三較拱的合理拱軸線在上述三較拱內(nèi)力計算公式中， 可以看出，當荷載一定時確定三較拱內(nèi)力的重要因素為 拱軸線的形式。工程中，為了充分利用磚石等脆性材料的特性（即抗壓