灰色模型介紹及應(yīng)用

1、第十章 灰色模型介紹及應(yīng)用 （徐利艷 天津農(nóng)學(xué)院 2.4萬(wàn)字） 10.1灰色理論基本知識(shí) 10.1.1概言 10.1.2有關(guān)名詞概念 10.1.3GM建模機(jī)理 10.2灰色理論模型應(yīng)用 10.2.1GM（1，1）模型的應(yīng)用污染物濃度問(wèn)題 10.2.2 GM（1，1）殘差模型的應(yīng)用油菜發(fā)病率問(wèn)題 10.2.3 GM模型在復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用SARS 疫情問(wèn)題 10.2.4 GM（1，n）模型的應(yīng)用因素相關(guān)問(wèn)題 本章小結(jié)思考題 推薦閱讀書(shū)目第十章 灰色模型介紹及應(yīng)用10.1灰色理論基本知識(shí)10.1.1概言客觀世界的很多實(shí)際問(wèn)題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問(wèn)題那樣

2、將其內(nèi)部機(jī)理研究清楚，只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來(lái)構(gòu)造模型。對(duì)這類(lèi)部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)，我們稱(chēng)之為灰色系統(tǒng)。本章介紹的方法是從灰色系統(tǒng)的本征灰色出發(fā)，研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下，如何對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和解決?；疑到y(tǒng)的研究對(duì)象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)，它通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成、開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的確切描述和認(rèn)識(shí)。信息不完全是“灰”的基本含義。灰色系統(tǒng)理論建模的主要任務(wù)是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，充分開(kāi)發(fā)并利用不多的數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息，尋找因素間或因素本身的數(shù)學(xué)關(guān)系。通常的辦法是采用離散模型，建立一個(gè)按時(shí)間作逐段分析的

3、模型。但是，離散模型只能對(duì)客觀系統(tǒng)的發(fā)展做短期分析，適應(yīng)不了從現(xiàn)在起做較長(zhǎng)遠(yuǎn)的分析、規(guī)劃、決策的要求。盡管連續(xù)系統(tǒng)的離散近似模型對(duì)許多工程應(yīng)用來(lái)講是有用的，但在某些研究領(lǐng)域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。事實(shí)上，微分方程的系統(tǒng)描述了我們所希望辨識(shí)的系統(tǒng)內(nèi)部的物理或化學(xué)過(guò)程的本質(zhì)。目前，灰色系統(tǒng)理論已成功地應(yīng)用于工程控制、經(jīng)濟(jì)管理、未來(lái)學(xué)研究、生態(tài)系統(tǒng)及復(fù)雜多變的農(nóng)業(yè)系統(tǒng)中，并取得了可喜的成就。灰色系統(tǒng)理論有可能對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等抽象系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模、預(yù)測(cè)、決策和控制，它有可能成為人們認(rèn)識(shí)客觀系統(tǒng)改造客觀系統(tǒng)的一個(gè)新型的理論工具。10.1.2有關(guān)名詞概念灰數(shù)：一個(gè)信息不完全的數(shù)，稱(chēng)為灰數(shù)?；以?/p>

4、：信息不完全或內(nèi)容難以窮盡的元素，稱(chēng)為灰元?；谊P(guān)系：信息不完全或機(jī)制不明確的關(guān)系，稱(chēng)為灰關(guān)系。具有灰關(guān)系的因素是灰因素，灰因素之間的量化作用，稱(chēng)為灰關(guān)聯(lián)?；疑到y(tǒng):含灰數(shù)、灰元或灰關(guān)系的系統(tǒng)稱(chēng)為信息不完全系統(tǒng)。如果按照灰色理論去研究它。則稱(chēng)此系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)。累加生成：由于灰系統(tǒng)對(duì)一切隨機(jī)量都可看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，因此，為適應(yīng)灰系統(tǒng)建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指對(duì)原始數(shù)據(jù)做累加（或累減）處理。累加生成一般可寫(xiě)成AGO。若計(jì)為原始數(shù)列，為次累加生成后數(shù)列，即則次累加生成算式為 一般常用的是一次累加生成，即10.1.3GM建模機(jī)理建立GM模型，實(shí)際就是將原始數(shù)列經(jīng)過(guò)累加生成后

5、，建立具有微分、差分近似指數(shù)規(guī)律兼容的方程，成為灰色建模，所建模型稱(chēng)為灰色模型，簡(jiǎn)記為GM（Grey Model）。如GM（m,n）稱(chēng)為m階n個(gè)變量的灰色模型，其中GM（1，1）模型是GM（1，n）模型的特例，是灰色系統(tǒng)最基本的模型，也是常用的預(yù)測(cè)模型，因此本章重點(diǎn)介紹幾種GM（1，1）模型的建模過(guò)程和計(jì)算方法，并簡(jiǎn)單介紹GM（1，n）建模過(guò)程。GM（1，1）的建模機(jī)理GM（1，1）模型是GM（1，N）模型的特例，其簡(jiǎn)單的微分方程形式（白化形式的微分方程）是利用常數(shù)變易法解得，通解為若初始條件為，則可得到微分方程的特解為或時(shí)間響應(yīng)函數(shù)其中白化微分方程中的項(xiàng)中的為的背景值，也稱(chēng)為初始值; 為常數(shù)

6、（有時(shí)也將寫(xiě)成）。按白化導(dǎo)數(shù)定義有差分形式的微分方程，即顯然，當(dāng)時(shí)間密化值定義為1，即當(dāng)時(shí)，上式可記為記為離散形式這顯然表明是一次累計(jì)生成，因此上述方程可改寫(xiě)為這實(shí)際也表明，模型是以生成數(shù)（是以的一次累加）為基礎(chǔ)的。當(dāng)足夠小時(shí)，到不會(huì)發(fā)生突變，因此可取與的平均值作為時(shí)的背景值，因此，背景值便可記為或于是白化的微分方程可改寫(xiě)為或即因此，上述方程可以改寫(xiě)為矩陣方程形式，即引入下列符號(hào)，設(shè) 于是便有令 則解得將求解得到的代入微分方程的解式（也稱(chēng)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)），則由于，因此求導(dǎo)還原得上述兩式便為GM（1，1）的時(shí)間響應(yīng)式，及灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型的基本算式，當(dāng)然上述兩式計(jì)算結(jié)果只是近似計(jì)算值。為簡(jiǎn)記，一般可

7、以將GM（1，1）的建模過(guò)程記為10.2灰色理論模型應(yīng)用10.2.1GM（1，1）模型的應(yīng)用污染物濃度問(wèn)題GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)最基本的模型，下面以污染物濃度問(wèn)題說(shuō)明GM（1，1）模型的建立及求解過(guò)程。例10.1 某污染源中某種污染物質(zhì)量濃度測(cè)量值如表10.1，試建立GM（1，1）模型 表10.1 某污染物質(zhì)量濃度測(cè)量值 （mg/L） 年 份2001200220032004200520063.9364.5754.9685.0635.9685.507解：第一步，設(shè)原始數(shù)據(jù)為 第二步，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成，即因此累加生成數(shù)據(jù)為第三步，構(gòu)造矩陣 第四步，計(jì)算。先求，即根據(jù)逆矩陣的求解方法，得

8、再求的值，即進(jìn)而求得的值為計(jì)算GM1_1的程序如下function 10toliti01(X0)m,n=size(X0);X1=cumsum(X0); X2=;for i=1:n-1 X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);endB=-0.5.*X2;t=ones(n-1,1);B=B,t; YN=X0(2:end);P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)A=inv(B.'*B)*B.'*YN.'a=A(1) u=A(2) Bb1=B.'*Bb2=inv(B.'*B)b3=B.'*YN.'b4=u/ab5=X1(1)-

9、b4b6=-a*b5第五步，將的值代入微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，令，得第六步，求導(dǎo)還原得第七步，對(duì)上述模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。常用的方法是回代檢驗(yàn)，即分別用模型求出各時(shí)刻值，然后求相對(duì)誤差。先利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型求各時(shí)刻值（），并計(jì)算相對(duì)誤差，結(jié)果如表10.2所示. 表10.2 精度檢驗(yàn)實(shí)測(cè)值、殘差值表 GM計(jì)算值實(shí)測(cè)值殘差相對(duì)殘差8.605913.534418.735924.225430.01908.5110 13.4790 18.5420 24.5100 30.0170-0.0949 -0.0554 -0.1939 0.2846 -0.0020-0.0112-0.0041-0.01050.0116

10、-0.0001再利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型求各時(shí)刻值（），并計(jì)算相對(duì)誤差，結(jié)果如表10.3所示. 表10.3 計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值對(duì)照表 GM計(jì)算值實(shí)測(cè)值殘差相對(duì)殘差4.79605.06165.34195.63775.94994.57504.96805.06305.96805.5070-0.2210-0.0936-0.27890.3303-0.4429-0.0483 -0.0188 -0.0551 0.0553-0.0804從殘差檢驗(yàn)結(jié)果看，累計(jì)生成數(shù)列曲線(xiàn)擬合較好，相對(duì)誤差在0.01即1%左右；而還原數(shù)列的相對(duì)誤差較大，其原因是累加生成數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性弱化，正負(fù)誤差有抵消的，當(dāng)數(shù)據(jù)再被還原

11、回來(lái)時(shí)便表現(xiàn)出來(lái)。10.2.2 GM（1，1）殘差模型的應(yīng)用油菜發(fā)病率問(wèn)題當(dāng)（，）模型的精度不符合要求時(shí)，可用殘差序列建立（，）模型，對(duì)原來(lái)的模型進(jìn)行修正，以提高精度，即建立殘差（，）模型，步驟如下第一步，利用原始數(shù)據(jù)建立GM（1，1）模型，得時(shí)間響應(yīng)式其中第二個(gè)式子也成為導(dǎo)數(shù)還原值。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值與原始數(shù)據(jù)（累減還原值）不一致，為減少往返運(yùn)算造成的誤差，往往用原始數(shù)據(jù)與導(dǎo)數(shù)還原值的殘差修正的模擬值。第二步，利用殘差數(shù)列建立新的GM（1，1）模型。建立殘差模型的過(guò)程和計(jì)算方法同于GM（1，1）建模過(guò)程，只不過(guò)建立殘差模型所用的原始數(shù)列采用的是殘差數(shù)據(jù)。令為殘差，則即或利用殘差序列建立新的GM（

12、1，1）模型，求解得時(shí)間響應(yīng)式第三步，結(jié)合上兩步的GM（1，1）模型，建立殘差GM（1，1）模型結(jié)合上兩步的GM（1，1）模型，則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式為稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)還原式的殘差修正模型。例10.2 某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)如表10.4所示，試建立殘差GM模型并進(jìn)行求解。 表10.4 某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù) （%） 序 號(hào)12345678910111213620402540453521141815.51715解：第一步，建立原始數(shù)據(jù)的GM（1，1）模型設(shè)原始數(shù)據(jù)為建立GM（1，1）模型，利用GM（1，1）的求解程序得時(shí)間響應(yīng)式為第二步，誤差檢驗(yàn)利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型計(jì)算各時(shí)刻值（），并計(jì)算相對(duì)誤差，程序如下

13、function 10toliti02(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=1:12 y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1;endy'X0'z'w'z*z'sum(abs(w)/12計(jì)算結(jié)果如表10.5所示 表10.5 計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值對(duì)照表 GM計(jì)算值實(shí)測(cè)值殘差相對(duì)殘

14、差0.34490.32320.30290.28390.26610.24940.23370.21900.20530.19240.18030.16900.20.40.250.40.450.350.210.140.180.1550.170.15-0.14490.0768-0.05290.11610.18390.1006-0.0237-0.0790-0.0253-0.0374-0.0103-0.0190-0.72440.1919-0.21170.29020.40870.2875-0.1129-0.5645-0.1404-0.2412-0.0606-0.1265 由表可以看出，最大誤差高達(dá)72.44%，

15、最低的也達(dá)到6.06%，模擬誤差較大，進(jìn)一步計(jì)算平均相對(duì)誤差 平均相對(duì)誤差很較大，相對(duì)精度約70%。因此為了提高遠(yuǎn)原點(diǎn)（即現(xiàn)時(shí)）精度，即將最后一個(gè)誤差減小，需采用殘差模型進(jìn)行修正。第三步，以部分殘差數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)建立新的GM（1，1）模型取得殘差尾端，即取最后5個(gè)數(shù)據(jù)的殘差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190,用此尾段可建立殘差尾段模型，取絕對(duì)值，得殘差數(shù)列以上述的殘差數(shù)列為原始數(shù)據(jù)建立新的GM（1，1）模型，得殘差的時(shí)間響應(yīng)式第四步，將原始數(shù)據(jù)和部分殘差數(shù)據(jù)的兩個(gè)GM（1，1）模型即和結(jié)合，得到修正后的殘差GM（1，1）模型第五步，用修正后的模型對(duì)

16、的模擬值進(jìn)行修正，結(jié)果為：第六步，精度檢驗(yàn)建立如下程序：function 10toliti021(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=8:12 y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1;endy'X0'z'w'z*z'sum(abs(w

17、)/5計(jì)算結(jié)果如表10.6所示 表10.6 修正后計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值檢驗(yàn)結(jié)果 GM計(jì)算值實(shí)測(cè)值殘差相對(duì)殘差0.21180.19930.18740.17620.16560.140.180.1550.170.15-0.0718-0.0193-0.0324-0.0062-0.0156-0.5130-0.1073-0.2093-0.0366-0.1040按此模型，可對(duì)五個(gè)模擬值進(jìn)行修正，修正后的平均相對(duì)誤差，精度有明顯的提高。尤其對(duì)于原點(diǎn)附近的兩個(gè)數(shù)據(jù)：0.17，0.15相對(duì)誤差分別降低為3.66%和10.4%，低于允許誤差要求。這說(shuō)明，對(duì)原點(diǎn)數(shù)據(jù)GM（1，1）模型修正是有必要的。10.2.3GM

18、模型在復(fù)雜問(wèn)題中的應(yīng)用SARS 疫情問(wèn)題例10.3 SARS 疫情問(wèn)題2003年的SARS疫情對(duì)我國(guó)的發(fā)展產(chǎn)生了一定影響，尤其在經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面產(chǎn)生了很大的影響，下面就SARS疫情對(duì)我國(guó)經(jīng)濟(jì)的影響問(wèn)題建立GM模型并求解。10.2.3.1 問(wèn)題的提出 2003年的SARS 疫情對(duì)中國(guó)部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了一定影響，特別是對(duì)部分疫情較嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是顯著的，經(jīng)濟(jì)影響主要分為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影響。直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)等行業(yè)。很多方面難以進(jìn)行定量地評(píng)估，現(xiàn)僅就SARS 疫情較重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評(píng)估分析。究竟 SARS 疫情對(duì)

19、商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大，已知某市從1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表10.710.9所示 表10.7 商品的零售額 （億元） 月份年份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月199719981999200020012002200383.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.

20、0 123.592.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9163.2 159.7

21、 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5 表10.8 接待海外旅游人數(shù) （萬(wàn)人）月份年份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.

22、0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 表10.9 綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)額 （億元）月份年份2 月

23、3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月199719981999200020012002200396 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667216

24、 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 試根據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)評(píng)估模型，評(píng)估 2003 年SARS 疫情給該市的商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)所造成的影響。10.2.3.2模型的假設(shè)與分析模型假設(shè)：（1）假設(shè)該市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是可靠準(zhǔn)確的；（2）假設(shè)該市在SARS 疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS 疫情的影響有關(guān)，不考慮其它隨機(jī)因素的影響。模型分析：根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的

25、變化規(guī)律，這樣可以把預(yù)測(cè)評(píng)估分成兩部分：（1）利用灰色理論建立GM(1,1)模型，由19972002 年的平均值預(yù)測(cè)2003 年平均值；（2）通過(guò)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算每個(gè)月的指標(biāo)值與全年總值的關(guān)系，從而可預(yù)測(cè)出正常情況下2003 年每個(gè)月的指標(biāo)值，再與實(shí)際值比較可以估算出SARS 疫情實(shí)際造成的影響。10.2.3.3建立灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)第一步,數(shù)據(jù)處理（1）原始數(shù)據(jù)：根據(jù)表中的已知數(shù)據(jù)，計(jì)算19972002年某項(xiàng)指標(biāo)的年平均值，作為原始數(shù)據(jù)，記為并要求級(jí)比（2）數(shù)據(jù)的累加生成：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加生成，因此累加生成數(shù)據(jù)記為（2）背景值的選擇：取累加生成數(shù)據(jù)的加權(quán)平均值為背景值，即其中為確定

26、參數(shù)。背景值記為第二步，GM（1，1）模型的建立（1）建立GM（1，1）的白化微分方程模型其中是a發(fā)展灰度，u是內(nèi)生控制灰度。（2）轉(zhuǎn)化為灰微分方程或即矩陣形式為其中(3)轉(zhuǎn)化為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)利用最小二乘法得到參數(shù)的估計(jì)值，進(jìn)而得到灰微分方程的解，對(duì)求導(dǎo)還原得。即參數(shù)的估計(jì)值為微分方程的解式（也稱(chēng)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)）為其中，稱(chēng)為還原值。第三步，利用模型預(yù)測(cè)指標(biāo)值根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可以預(yù)測(cè)出正常情況下2003年的平均值，則，則預(yù)測(cè)2003年的總值為。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出2003 年第i個(gè)月的指標(biāo)值占全年總值的比例為，即記為，于是可以可到2003年每一個(gè)月的指標(biāo)值10.2.4.4模型求解及結(jié)果分析（1）

27、商品零售額根據(jù)商品零售額的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的所有級(jí)比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取，計(jì)算可得背景值計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為，進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測(cè)可得，2003年的月平均值為億元；年總值為億元。又根據(jù)比例的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測(cè)值(單位：億元)為將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.10所示 表10.10 2003年商品的零售額比較表 （億元） 月份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實(shí)際值預(yù)測(cè)值163.2 159.7 158.4 145.

28、2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5152.9 155.3 144.2 151.2 157.7 157.4 162.6 161.3 168.0 170.5 166.7 177.1 圖形如圖10-1：（藍(lán)線(xiàn)為實(shí)際值，紅線(xiàn)為預(yù)測(cè)值）圖10-1 2003年商品的零售額實(shí)際值與預(yù)測(cè)值比較圖通過(guò)圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測(cè)值波動(dòng)比較小，真實(shí)值波動(dòng)比較劇烈；（2）5月份左右真實(shí)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)測(cè)值，年初和年末都高于預(yù)測(cè)值。這是由實(shí)際情況造成的，年初當(dāng)SARS 疫情剛剛開(kāi)始的時(shí)候，人們儲(chǔ)備保健藥品和保健食物等，拉動(dòng)了零售額的增長(zhǎng)；5月份左右，SAR

29、S 疫情比較猖獗，此時(shí)好多學(xué)校和單位等實(shí)行封閉管理，大大限制了人們的消費(fèi)，因此零售額明顯降低；年末SARS 疫情慢慢遠(yuǎn)去，此前被限制的消費(fèi)得以充分實(shí)現(xiàn)，又促進(jìn)了零售額的增長(zhǎng)。當(dāng)然可以根據(jù)模型所得數(shù)據(jù)，對(duì)SARS 疫情給該市的商品零售業(yè)造成的影響進(jìn)行定量分析，這里不再詳述。計(jì)算的MATLAB 程序如下：function 10toliti03clcclc,clearload shuju1.txt %把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件shuju1.txt中han1(end,:)=;x0=mean(han1,2)m=size(han1,2);n=size(x0,1);z1=;x1=cumsum(x0)alph

30、a=0.5;for i=1:n-1z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);endz1Y=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);A=inv(B'*B)*B'*Y;a=A(1)u=A(2)b4=u/ab5=x1(1)-b4b6=-a*b5k=6;x7hat=(x0(1)-u/a)*(exp(-a*k)-exp(-a*(k-1)z=m*x7hatu=sum(han1)/sum(sum(han1)v=z*u（2）接待海外旅游人數(shù)根據(jù)接待海外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的所有級(jí)比都在可容區(qū)域內(nèi)

31、，這里取，計(jì)算可得背景值計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為，進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測(cè)可得，2003年的月平均值為萬(wàn)人；年總值為萬(wàn)人。又根據(jù)比例的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測(cè)值(單位：萬(wàn)人)為將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.11所示 表10.11 2003年接待海外旅游人數(shù) （萬(wàn)人） 月份1月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實(shí)際值預(yù)測(cè)值15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.814.8 26.6 25.5 31.9 33

32、.0 30.8 30.4 37.1 36.7 37.8 33.2 25.5 圖形如圖10-2：（藍(lán)線(xiàn)為實(shí)際值，紅線(xiàn)為預(yù)測(cè)值）圖10-2 2003年接待海外旅游人數(shù)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值比較圖通過(guò)圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測(cè)值波動(dòng)比較小，真實(shí)值波動(dòng)比較劇烈；（2）真實(shí)值低于預(yù)測(cè)值，尤其5月份左右真實(shí)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)測(cè)值，年初和年末相差不太大。這是由實(shí)際情況造成的， 5月份左右SARS 疫情比較猖獗，此時(shí)好多學(xué)校和單位等實(shí)行封閉管理，大大限制了人們的出行，同時(shí)人們也基于自身安全的因素，能不出門(mén)就不出門(mén)，因此旅游人數(shù)大大降低，旅游業(yè)處于低谷；年初和年末SARS 疫情對(duì)人們出行的影響不大，因此年初和年末年末海外

33、旅游人數(shù)的實(shí)值略低于預(yù)測(cè)值。（3）綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)根據(jù)綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值（即原始數(shù)據(jù)）和一次累加生成值，分別為顯然的所有級(jí)比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取，計(jì)算可得背景值計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為。進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測(cè)可得，2003年的月平均值為億元；年總值為億元。又根據(jù)比例的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為 因此2003 年112 月的預(yù)測(cè)值(單位：億元)為將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.12所示 表10.12 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)的比較表 （億元） 月份2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月實(shí)際

34、值預(yù)測(cè)值241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218240 390 545 744 916 1101 1316 1517 1709 1907 2201圖形如圖10-3：（藍(lán)線(xiàn)為實(shí)際值，紅線(xiàn)為預(yù)測(cè)值）圖10-3 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值比較圖通過(guò)圖形可以直觀的看出：（1）預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相差不大；（2）5月份左右真實(shí)值與預(yù)測(cè)值最接近。這是由實(shí)際情況造成的，SARS 疫情對(duì)于綜合服務(wù)業(yè)中的部分行業(yè)影響較大，如航空交通運(yùn)輸、賓館餐飲等，但有些行業(yè)影響不大，如電信、通訊等，因此總平均來(lái)看，影響還不算太大。（4）模型的評(píng)價(jià)從三方面的結(jié)

35、果分析，可以看出模型的結(jié)論與實(shí)際情況相符，這說(shuō)明了模型的正確性和可靠性。雖然該模型是就某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行評(píng)估預(yù)測(cè)而建立的，但類(lèi)似地也適用于其它方面的一些數(shù)據(jù)規(guī)律的評(píng)估預(yù)測(cè)問(wèn)題，即該模型具有很廣泛的應(yīng)用性。10.2.4 GM（1，n）模型的應(yīng)用因素相關(guān)問(wèn)題GM（1，n）模型表示一階的含有n個(gè)變量灰色模型，適合于建立系統(tǒng)的狀態(tài)模型與各變量的動(dòng)態(tài)分析，與GM（1，1）模型不同，不適合預(yù)測(cè)用；但建模與計(jì)算過(guò)程與GM（1，1）模型類(lèi)似。GM（1，2）模型是GM（1，n）模型的基礎(chǔ)，因此下面以GM（1，2）模型為例說(shuō)明GM（1，n）模型的建模過(guò)程。GM（1，2）模型表示一階的含有兩個(gè)變量灰色模型，其

36、相應(yīng)的白化微分方程模型為時(shí)間相應(yīng)函數(shù)(即解)為還原值為例10.4 某系統(tǒng)中兩因素和相互之間存在關(guān)系，其中因素為系統(tǒng)特征因素，因素為相關(guān)因素，兩因素的關(guān)系如表10.13所示表10.13 兩因素的關(guān)系 序號(hào)1 2 3 4 5因素因素10.7 12.3 15.4 19.2 21.5 40.3 50.5 60.3 65.5 75.2解：第一步，數(shù)據(jù)處理取原始數(shù)據(jù)為對(duì)原始數(shù)據(jù)累加生成，得第二步，建立GM（1，2）模型白化的微分方程模型為轉(zhuǎn)化為灰微分方程或其中。即矩陣形式為其中(3)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)利用最小二乘法得到參數(shù)的估計(jì)值，即進(jìn)而得到微分方程的解即時(shí)間響應(yīng)函數(shù)及還原值，即 第三步，模型的求解建立M文件1

37、0toliti04.m如下：clc,clearx10=10.7,12.3,15.4,19.2,21.5;x20=40.3,50.5,60.3,65.5,75.2;n=length(x10);x11=cumsum(x10)x21=cumsum(x20)for i=2:nz11(i)=0.5*(x11(i)+x11(i-1);endB=-z11(2:n)',x21(2:n)'Y=x10(2:n)'A=inv(B'*B)*B'*Yx=dsolve('Dx+a*x=b*x2','x(0)=x0');x=subs(x,'a','b','x0','x2',A(1),A(2),x10(1),'x21');digits(6),x=vpa(x);x=simple(x)x=subs(x,'t','x21',0:n-1,x21(1:n)xha