專題15：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之等腰旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）

1、專題15：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之等腰旋轉(zhuǎn)一、單選題1如圖，正方形abcd的邊長是2，對角線ac、bd相交于點(diǎn)o，點(diǎn)e、f分別在邊ad、ab上，且oeof，則四邊形afoe的面積是（）a4b2c1d二、填空題2已知：如圖，四邊形abcd是邊長為1的正方形，對角線ac、bd相交于點(diǎn)o過點(diǎn)o作一直角mon，直角邊om、on分別與oa、ob重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)mon，旋轉(zhuǎn)角為（0°90°），om、on分別交ab、bc于e、f兩點(diǎn)，連接ef交ob于點(diǎn)g，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)；s四邊形oebf：s正方形abcd=1：2；ogbd=ae2+cf2；在旋

2、轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)bef與cof的面積之和最大時(shí)，3已知直角三角形abc，abc=90°，ab=3，bc=5，以ac為邊向外作正方形acef，則這個(gè)正方形的中心o到點(diǎn)b的距離為_4如圖，折線中，將折線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，若，則_°三、解答題5如圖，已知等腰直角三角形abc中，abac，bac90°，bf平分abc，cdbd交bf的延長線于點(diǎn)d，試說明：bf2cd6如圖（a），（b），（c）所示，點(diǎn)e、d分別是正、正四邊形abcm，正五邊形abcmn中以c點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且，db交ae于點(diǎn)p（1）

3、在圖（a）中，求的度數(shù)（2）在圖（b）中，的度數(shù)為_，圖（c）中，的度數(shù)為_（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由7（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點(diǎn)，分別在，邊上，為的中點(diǎn)，連結(jié)，小明發(fā)現(xiàn)，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，上述結(jié)論會如何呢？為此進(jìn)行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結(jié)論依然成立請你給出證明探究二：將圖1中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），其他條件不變，則結(jié)論還成立嗎？請說明理由 8

4、已知在中，點(diǎn)d是bc上的任意一點(diǎn)，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.9如圖所示，等腰直角中，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求的長10如圖，在四邊形abcd中，c=60°，a=30°，cd=bc（1）求b+d的度數(shù)（2）連接ac，探究ad，ab，ac三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）若bc=2，點(diǎn)e在四邊形abcd內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足de2=ce2+be2，求點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)路徑的長度11問題背景如圖（1），在四邊形abcd中，b+d180°，abad，bad，以點(diǎn)a為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交bc，cd于點(diǎn)e，f，且eaf，連接ef，試探究：線段be，df

5、，ef之間的數(shù)量關(guān)系（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)badbd90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：be，df，ef之間的數(shù)量關(guān)系為_（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段be，df，ef之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由（3）解決問題如圖（3），在abc中，bac90°，abac4，點(diǎn)d，e均在邊bc上，且dae45°，若bd，請直接寫出de的長12如圖，在線段ab上任取一點(diǎn)m（）、把線段mb繞m點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至mc連接ac，作ac的垂直平分線交am于n點(diǎn)，此時(shí)an、m

6、n、bm為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，我們稱點(diǎn)m，n是線段ab的勾股分割點(diǎn).如下右圖，已知：點(diǎn)m，n是線段ab的勾股分割點(diǎn)，abc、mnd分別是以ab、mn為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)c與點(diǎn)d在ab的同側(cè)，若mn=3，連接cd，則cd=_.13如圖，o為正方形abcd對角線的交點(diǎn)，e為ab邊上一點(diǎn)，f為bc邊上一點(diǎn)，ebf的周長等于bc的長（1）若ab=12，be=3，求ef的長；（2）求eof的度數(shù)；（3）若oe=of，求的值參考答案1c【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得oaob，oaeobf45°，acbd，再利用asa證明aoebof，從而可得aoe的面積bof的面積，進(jìn)而可

7、得四邊形afoe的面積正方形abcd的面積，問題即得解決【詳解】解：四邊形abcd是正方形，oaob，oaeobf45°，acbd，aob90°，oeof，eof90°，aoebof，aoebof（asa），aoe的面積bof的面積，四邊形afoe的面積正方形abcd的面積×221；故選c【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵2【解析】【分析】證明boecof，結(jié)合正方形的性質(zhì)可判斷；證明，結(jié)合boecof的性質(zhì)即可證得；作ohbc，表示出sbef+scof，即可判斷【詳解】四邊

8、形abcd是正方形，ob=oc，obe=ocf=45°，boc=90°，bof+cof=90°，eof=90°，bof+coe=90°，boe=cof，在boe和cof中，boecof（asa），oe=of，be=cf，ef=oe；故正確；s四邊形oebf=sboe+sboe=sboe+scof=sboc=s正方形abcd，s四邊形oebf：s正方形abcd=1：4；故錯(cuò)誤；be+bf=bf+cf=bc=oa；故正確；在中，故正確；過點(diǎn)o作ohbc，bc=1，oh=bc=，設(shè)ae=，則be=cf=1-，bf=，sbef+scof=bebf+cf

9、oh=（1-）+（1-）×=-（-）2+，0，當(dāng)=時(shí)，sbef+scof最大；即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)bef與cof的面積之和最大時(shí)，ae=；故錯(cuò)誤；故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵3 【解析】如圖，延長ba到d，使ad=bc，連接od，oa，oc，四邊形acef是正方形，aoc=90°，co=ao，abc=90°，abc+aoc=180°，bco+bao=180°，bco=dao，在bco與dao中，bcodao（sas），ob=od，boc=doa，bod=coa=90°，bod

10、是等腰直角三角形，bd=，bd=ab+ad=ab+bc=8，ob=.故答案為.4【解析】【分析】連接ac 、ae ，過點(diǎn)a作afbc于f ,作ahec于h再證明四邊形afch是矩形,可得af=ch ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ad=ab=3、bc=de=5，abc=ade，則abcade，即ac=ae ；再由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得bf、af、ec、cd的長，最后根據(jù)正切定義解答即可【詳解】解：如圖：連接ac 、ae ，過點(diǎn)a作afbc于f ,作ahec于hcebc，afbc，ahec四邊形afch是矩形，af=ch，將折線ab-bc繞點(diǎn)a按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線ad-dead=ab=3、bc=

11、de=5，abc=adeabcadeac=ae，ac=ae，ab=ad，afbc，ahec，bf=df，ch=ehbf=，af=故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)題意求得ec、cd的長是解答本題的關(guān)鍵5見解析【解析】【分析】作bf的中點(diǎn)e，連接ae、ad，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出aebeef，由bd平分abc就可以得出abedbc22.5°，從而可以得出baebaeacd22.5°，aef45°，由bac90°，bdc90°就可以得出a、b、c、d四點(diǎn)共

12、圓，求出addc，證adcaeb推出becd，從而得到結(jié)論【詳解】解：取bf的中點(diǎn)e，連接ae，ad，bac90°，aebeef，abdbae，cdbd，a，b，c，d四點(diǎn)共圓，dacdbc，bf平分abc，abddbc，dacbae，ead90°，abac，abc45°，abddbc22.5°，aed45°，aead，在abe與adc中，abeadc，becd，bf2cd【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵6（1）證明見解析；（2），；（3）見

13、解析【解析】【分析】（1）根據(jù)sas證明，得出，再根據(jù)計(jì)算得出的度數(shù)；（2）方法與（1）相同；（3）由（1）、（2）可得出規(guī)律：等于這個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【詳解】（1）abc是正三角形，abbc，abe=c=，在和中 ，（2）如圖（b）:abcm是正四邊形，abbc，abe=c=，在和中 ，如圖（c）:abcmn是正五邊形，abbc，abe=c=，在和中 ，（3）問題：如圖（d）所示，點(diǎn)e，d分別是正n邊形中以c點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且，db交ae于p點(diǎn)則等于這個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，即【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定、性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用sas方法求證三角形全等

14、和三角形外角的性質(zhì)7（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析【解析】【分析】（1）連接dm并延長，作bnab，與dm的延長線交于n，連接cn，先證明emdbmn，得到bn=de=da，再證明cadcnb，得到cd=cn，證明dcm是等腰直角三角形即可；（2）探究一：延長dm交bc于n，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定推出dem=mbc，根據(jù)asa推出emdbmn，證出bn=ad，證明cmd為等腰直角三角形即可；探究二：作bnde交dm的延長線于n，連接cn，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出e=nbm，根據(jù)asa證dcancb，推出dcn是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出cmd

15、為等腰直角三角形【詳解】解：（1）如圖一，連接dm并延長，作bnab，與dm的延長線交于n，連接cn，eda=abn=90°，debn，dem=mbn， 在emd和bmn中， ，emdbmn（asa），bn=de=da，mn=md，在cad和cnb中， ，cadcnb，cd=cn，dcn是等腰直角三角形，且cm是底邊的中線，cmdn，dcm是等腰直角三角形，dm=cm；（2）探究一，理由：如圖二，連接dm并延長dm交bc于n，eda=acb=90°，debc，dem=mbc，在emd和bmn中，emdbmn（asa），bn=de=da，mn=mdac=bc，cd=cn，dc

16、n是等腰直角三角形，且cm是底邊的中線，cmdm，dcm=dcn=45°=bcm，cmd為等腰直角三角形 dm=cm；探究二，理由：如圖三，連接dm，過點(diǎn)b作bnde交dm的延長線于n，連接cn，e=mbn=45°點(diǎn)m是be的中點(diǎn)，em=bm在emd和bmn中， emdbmn（asa），bn=de=da，mn=md，dae=bac=abc=45°，dac=nbc=90°在dca和ncb中 ，dcancb（sas），dca=ncb，dc=cn，dcn=acb=90°，dcn是等腰直角三角形，且cm是底邊的中線，cmdm，dcm=dcn=45

17、76;=cdm，cmd為等腰直角三角形dm=cm【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，類比思想的運(yùn)用，題型較好，難度較大8【解析】【分析】作aebc于e，可得be=ce=bc，然后再使用勾股定理即可完成解答.【詳解】. 證明如下：如圖：作aebc于e， 由題意得：ed=be-bd=cd-ce，在abc中，bac=90°，ab=ac，be=ce=bc，由勾股定理可得： 即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造直角三角

18、形.9【解析】【分析】將ceb繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ace，連結(jié)de，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得cec e，aebe，再求出ade是直角三角形，然后勾股定理得出，再根據(jù)acebce，caeb45°，然后求出dce45°，從而得到dcedce，再利用“邊角邊”證明ecddce，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得de= de=，【詳解】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，即，在中，ecb=eca，ecb+dca=eca+ dca=ecd=45°=dce，又ec=ce，cd=cdecddce，de= de=.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰

19、直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度適中準(zhǔn)確作出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵10（1）d+b=270°；（2）ad2+ab2=ac2；理由見解析；（3）點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)路徑的長度是【解析】【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和定理計(jì)算即可； （2）如圖，將abc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到qdc，連接aq，證明qda=90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論； （3）如圖中，將bce繞c點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到cdf，連接ef，想辦法證明bec=150°即可解決問題.【詳解】（1）在四邊形abcd中，c=60°，a=30°，d+b=360°-a-c=

20、360°-60°-30°=270°（2）如圖，將abc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到qdc，連接aq，acq=60°，ac=cq，ab=qd，acq是等邊三角形，ac=cq=aq，由（1）知：adc+b=270°，adc+cdq=270°，可得qda=90°，ad2+dq2=aq2，ad2+ab2=ac2；（3）將bce繞c點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到cdf，連接ef，ce=cf，ecf=60°，cef是等邊三角形，ef=ce，cfe=60°，de2=ce2+be2，de2=ef2

21、+df2，dfe=90°，cfd=cfe+dfe=60°+90°=150°，ceb=150°，則動(dòng)點(diǎn)e在四邊形abcd內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，滿足ceb=150°，以bc為邊向外作等邊obc，則點(diǎn)e是以o為圓心，ob為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為，ob=bc=2，則=點(diǎn)e運(yùn)動(dòng)路徑的長度是【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及逆定理、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題11（1）be+dfef；（2）成立；（3）de【解析】【分析】（1）將abe繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到adg

22、，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得aeag，bedg，baedag，根據(jù)eaf=bad可得bae+daf45°，即可得出eaffag，利用sas可證明afeafg，可得ef=fg，進(jìn)而可得ef=be+fd；（2）將abe繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到adh，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得abeadh，baedah，aeah，bedh，根據(jù)bad，eaf可得bae+fad，進(jìn)而可證明faheaf，利用sas可證明aefahf，可得ef=fh=be+fd；（3）將aec繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到aeb，連接de，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得beec，aeae，cabe，eaceab，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得abcacb45

23、°，bc4，即可求出ebd90°，利用sas可證明aefahf，可得dede，利用勾股定理求出de的長即可的答案.【詳解】（1）be+dfef，如圖1，將abe繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到adg，adcbadg90°，fdg180°，即點(diǎn)f，d，g共線由旋轉(zhuǎn)可得aeag，bedg，baedagbae+dafbadeaf90°bad=90°-45°45°，dag+daf45°，即fag=45°，eaffag，afeafg（sas），effg又fgdg+dfbe+df，be+dfef，故答

24、案為be+dfef（2）成立如圖2，將abe繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到adh，可得abeadh，baedah，aeah，bedhb+adc180°，adh+adc180°，點(diǎn)c，d，h在同一直線上bad，eaf，bae+fad，dah+fad，faheaf，又afaf，aefahf（sas），effhdf+dhdf+be；（3）de，如圖3，將aec繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到aeb，連接de可得beec，aeae，cabe，eaceab，在rtabc中，abac4，bac=90°，abcacb45°，bc4，cd=bc=bd=3，abc+abe90

25、°，即ebd90°，eb2+bd2ed2易證aedaed，dede，de2bd2+ec2，即de2，解得【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，旋轉(zhuǎn)后不改變圖形的大小和形狀，并且對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.12【解析】【分析】如圖中，連接cm、cn，將acm繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得cbf，將cdm繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得cfe只要證明四邊形efdn是平行四邊形以及mn=nf就可以了【詳解】如圖，連接cm、cn，將acm繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得cbf，將cdm繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得cfeabc，dmn都是等腰直角三角形，dmn=a=45°，cba=dnm=45°dmac，dnbc，1=2=3=4，efbc，efbcnd，dm=dn=ef，四邊形efnd是平行四邊形，ed=nf，由nbf=fbc+cba=90°則=+， 點(diǎn)m，n是線段ab的勾股分割點(diǎn)，（）則=+，又am=bf，可知mn=nf，mn=ed，在rtcde中