專題12：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之截長補短-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）

1、專題12：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之截長補短一、單選題1如圖，在中，平分，、分別是、上的動點，當(dāng)最小時，的度數(shù)為()abcd2如圖，已知四邊形abcd中，adbc，若dab的平分線ae交cd于e，連接be，且be恰好平分abc，則ab的長與ad+bc的大小關(guān)系是（）aabad+bcbabad+bccabad+bcd無法確定3如圖，四邊形中，平分，則四邊形的面積為（ ）a30b40c50d60二、填空題4如圖，abc中，ab=ac，d、e分別在ca、ba的延長線上，連接bd、ce，且d+e=180°，若bd=6，則ce的長為_5如圖，在abc中，acb=abc=40

2、o，bd是abc的角平分線，延長bd至點e，使得de=da，則eca=_6如圖，e、f分別是正方形abcd的邊 cd、bc上的點，且cm，efc的周長為80cm，則_cm7（1）如圖（1），在四邊形中，,，e，f分別是上的動點，且，求證：（2）如圖（2），在（1）的條件下，當(dāng)點e，f分別運動到的延長線上時，之間的數(shù)量關(guān)系是_8如圖，已知中，d為上一點，且，則的度數(shù)是_9如圖，在中，是邊中點，則的長是_10如圖，四邊形abcd為正方形，點e在cb的延長線上，af平分dae交dc的延長線于點f，若be=8，cf=9，則cd的長為_三、解答題11如圖，在菱形abcd中，a60°，e為菱形a

3、bcd內(nèi)對角線bd左側(cè)一點，連接be、ce、de（1）若ab6，求菱形abcd的面積；（2）若bed2a，求證：cebe+de12如圖，四邊形為矩形，為對角線上一點，過點作交于點，交的延長線于點，連接，當(dāng)時，求證：13如圖，在正方形中，點、均為中點，連接、交于點，連接，證明：14如圖，是o的直徑，弦交于點，連接，若，求證：15如圖，正方形abcd的對角線相交于點o點e是線段do上一點，連接ce點f是oce的平分線上一點，且bfcf與co相交于點m，點g是線段ce上一點，且co=cg（1）若of=4，求fg的長；（2）求證：bf=og+cf參考答案1b【解析】【分析】在ac上截取ae=an，先證

4、明ameamn（sas），推出me=mn當(dāng)b、m、e共線，beac時，bm+me最小，可求出nme的度數(shù)，從而求出bmn的度數(shù)【詳解】如圖，在ac上截取ae=an，bac的平分線交bc于點d，eam=nam，在ame與amn中，ameamn（sas），me=mnbm+mn=bm+me，當(dāng)b、m、e共線，beac時，bm+me最小，mnabbac=68°nme=360°-bac-mea-mna=360°-68°-90°-90°=112°，bmn=180°-112°=68°故選：b【點評】本題考查了

5、軸對稱-最短問題，解題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造全等三角形，把bm+mn進行轉(zhuǎn)化，利用垂線段最短解決問題2c【解析】【分析】在ab上截取afad，連接ef，易得aeb=90°和adeafe，再證明bcebfe，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.【詳解】解：如圖所示，在ab上截取afad，連接ef，adbc，abc+dab=180°，又be平分abc，ae平分dababe+eab=90°，aeb=90°即2+4=90°，在ade和afe中，adeafe（sas），所以12，又2+490°，1+390°，所以34，在

6、bce和bfe中，bcebfe（asa），所以bcbf，所以abaf+bfad+bc；故選：c【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長補短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.3c【解析】【分析】由題意在bc上截取一點e使得be=ba,并連接de，證得進而求出和即可求出四邊形的面積【詳解】解：由題意在bc上截取一點e使得be=ba,并連接de，平分，,，,四邊形的面積為: ;故選：c【點評】本題考查四邊形綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和角平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵46【解析】【分析】在ad上截取af=ae，連接bf，易得abface，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得bfa=e，ce=bf

7、，則有d=dfb，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求解【詳解】解：在ad上截取af=ae，連接bf，如圖所示：ab=ac，fab=eac，bf=ec，bfa=e，d+e=180°，bfa+dfb=180°，dfb=d，bf=bd， bd=6，ce=6故答案為6【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵540°【解析】【分析】在bc上截取bf=ab，連接df，由題意易得a=100°，abd=dbc=20°，易得abdfbd，進而可得df=ad=de，由此可證dec

8、dfc，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)可求解【詳解】解：在bc上截取bf=ab，連接df，acb=abc=40°，bd是abc的角平分線，a=100°，abd=dbc=20°，adb=60°，bdc=120°，bd=bd，abdfbd， de=da， df=ad=de，bdf=fdc=edc=60°，a=dfb=100°，dc=dc，decdfc，；故答案為40°【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定條件及外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵634【解析】

9、【分析】延長cb到h，使bh=de，連接ah，可證adeabh，可得ae=ah，由eaf=45º可證得haf=45º，進而可證得hafeaf，可得ef=hf，由efc的周長可求得正方形的邊長，設(shè)ef=x，在rtecf中，利用勾股定理列方程即可求得ef的長【詳解】如圖延長cb到h，使bh=de=10cm，連接ah，四邊形abcd是正方形，d=abh=dab=90º，ab=ad=bc=cd，adeabh（sas)，ae=ah,dae=bah，eaf=45º，dae+baf=45º，bah+baf=45º即haf=45º，haf=

10、eaf又ah=ae,af=af，hafeaf(sas)，hf=ef，efc的周長為80cm， ce+cf+ef=ce+cf+hf=ce+de+cf+bf=bc+cd=2bc=80,bc=40cm,設(shè)ef=x，則cf=40+10-x=50-x，在rtecf中，ce=40-10=30cm，由勾股定理得：，解得：x=34，即ef=34cm，故答案為：34【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真分析，找到相關(guān)信息的關(guān)聯(lián)點，結(jié)合圖形，進行推理、計算7（1）詳見解析；（2）【解析】【分析】（1）延長到點g，使，連接，先證明，得到，然后證明，得到，根據(jù)，可得；（2）

11、在上截取，連接，先證明abgadf（sas），得到ag=af，bag=daf，再證明eageaf（sas），得到eg=ef，根據(jù)bg=df，即可得ef=be-bg=be-df【詳解】（1）如圖，延長到點g，使，連接，又， ，；（2）如圖，在上截取，連接，在abg和adf中，abgadf（sas），ag=af，bag=daf，bad=2eaf，bag+gae+ead=ead+daf+ead+daf，gae=eaf，在eag和eaf中，eageaf（sas），eg=ef，bg=df，ef=be-bg=be-df【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵820°【解析

12、】【分析】通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)，得到角相等，邊相等，根據(jù)三角形全等，得到角相等，利用外角的性質(zhì)列方程求解；【詳解】解：如圖，延長至點e使，連接，是等邊三角形，設(shè)，則在與中，【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵9【解析】【分析】延長ad至點e，使得dead4，結(jié)合d是中點證得adcedb，進而利用勾股定理逆定理可證得e90°，再利用勾股定理求得bd長進而轉(zhuǎn)化為bc長即可【詳解】解：如圖，延長ad至點e，使得dead4，連接be，是邊中點，bdcd，又dead，adcedb，adcedb（sas），beac

13、6，又ab10，ae2be2ab2，e90°，在rtbed中，bc2bd，故答案為：【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理及其逆定理，正確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵10【解析】【分析】根據(jù)題意，在dc上截取dg=be，連接ag，可以證明adgabe，從而可以得到ag和ae的關(guān)系，daf和eaf的關(guān)系，再根據(jù)題目中的條件和勾股定理即可得到cd的長【詳解】解：在dc上截取dg=be，連接ag，如圖所示四邊形abcd是正方形，ad=ab，adg=abe，在adg和abe中，adgabe(sas)，ae=ag，dag=baeaf平分dae，daf=eaf，gaf=bafabdc，

14、baf=gfa，gaf=gfa，ag=gf，設(shè)cd=abe=8，cf=9，dg=be=8，gc=a8，gf=a8+9=a+1，ag=a+1ad=a，dg=8，ag=a+1，adg=90°，a2+82=(a+1)2，解得：a=，即cd=故答案為：【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答11（1）18；（2）見解析【解析】【分析】（1）過點b作bhad于h，由直角三角形的性質(zhì)可求bh的長，由菱形的面積公式可求解；（2）延長de至m，使mebe，連接mb，由題意可證abd是等邊三角形，

15、bcd是等邊三角形，bem是等邊三角形，可得cbdabd60°mbe，abbdbc，bmbe，由“sas”可證mbdebc，可得mdec，即可得結(jié)論【詳解】解：（1）如圖，過點b作bhad于h，四邊形abcd是菱形，abad6，a60°，bhad，abh30°，ahab3，bhah3，菱形abcd的面積ad×bh6×318；（2）如圖，延長de至m，mebe，連接mb，四邊形abcd是菱形，abadcdbc，a60°bcd，abd是等邊三角形，bcd是等邊三角形，cbdabd60°，abbdbc，bed2a120°

16、，bem60°，又beme，bem是等邊三角形，bmbe，mbedbc60°，mbdebc，mbdebc（sas），mdec，cebe+de【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)應(yīng)用，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12見解析【解析】【分析】過點作交的延長線于點，先證明，可得，從而可以證明，可證得，即可得證【詳解】證明：如圖，過點作交的延長線于點，在和中，又，在和中，【點評】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵13見解析【解析】【分析】延長至，使得，連接，先證明，可得，即，再通過證明，可得，即可證明是等腰直角三角形，即，從而得證【詳解】證明

17、：如圖，延長至，使得，連接，在正方形中，、分別是、的中點，在和中，在和中，是等腰直角三角形，即【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵14見解析【解析】【分析】根據(jù)題意，連接，過點作的垂線交的延長線于點，通過圓周角，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系求證，進而得到為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形邊的性質(zhì)即可得解【詳解】證明：如圖，連接，過點作的垂線交的延長線于點， ，是的直徑，在和中，為等腰直角三角形，【點評】本題主要考查了圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握圓與三角形的綜合求證方法是

18、解決本題的關(guān)鍵15（1）4；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件證明ocfgcf，由全等的性質(zhì)就可以得出of=gf而得出結(jié)論；（2）在bf上截取bh=cf，連接oh，通過條件可以得出obhocf，可以得出oh=of，從而得出ogfh，ohfg，進而可以得出四邊形ohfg是平行四邊形，就可以得出結(jié)論【詳解】解：（1）cf平分oce，ocf=ecfoc=cg，cf=cf，在ocf和gcf中， ocfgcf（sas），fg=of=4即fg的長為4（2）證明：在bf上截取bh=cf，連接oh四邊形abcd為正方形，acbd，dbc=45°，boc=90°，ocb=180°-boc-dbc=45°ocb=dbcob=ocbfcf，bfc=90°obh=180°-boc-omb=90°-omb，ocf=180°-bfc-fmc=90°-fmc，且omb=fmc，obh=ocf在obh和ocf中 obhocf