備考2022數學專題22 二次函數（原卷版）

1、專題22 二次函數知識點一：二次函數的基本概念與特征1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項知識點二：二次函數的基本形式及其性質1.的性質：（a 的絕對值越大，拋物線的開口越?。゛的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質：（上加下減）的符號開

2、口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質：（左加右減）a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下x=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值知識點三：二次函數圖象的平移1. 平移步驟：方法1： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋

3、物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律:在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法2：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）知識點四：二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中知識點五一：二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組

4、關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.知識點六：二次函數的性質1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減??；當時，有最大值知識點七：二次函數解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數，）；2. 頂點式：（，為常數，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解

5、析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.知識點八：二次函數的圖象與各項系數之間的關系1. 二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；

6、當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊，則，在軸的右側，則，概括的說就是“左同右異”。3. 常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的知識點九：二次函數圖象的對稱 二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式

7、是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；2. 關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；3. 關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對

8、稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式知識點十：二次函數與一元二次方程1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數：（1）當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. （2）當時，圖象與軸只有一個交點； （3）當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 一、二次函數解析式的確定根據已知條件確定二次函數解析式，常利用待定系數法用待定系數法求二次函數解析式必

9、須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式二、二次函數考查重點與常見題類型總結類型1.考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中；類型2.綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題；類型3.考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔

10、性的綜合題；類型4.考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題；類型5.考查代數與幾何的綜合能力，常見的中考題作為專項壓軸題。三、二次函數常用解題方法總結 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤梢话闶睫D化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函

11、數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.【例題1】（2020棗莊）如圖，已知拋物線yax2+bx+c的對稱軸為直線x1給出下列結論：ac0；b24ac0；2ab0；ab+c0其中，正確的結論有（）a1個b2個c3個d4個【例題2】如圖，拋物線y=x2bx+c交x軸于點a（1，0），交y軸于點b，對稱軸是x=2（1）求拋物線的解析式；（2）點p是拋物線對稱軸上

12、的一個動點，是否存在點p，使pab的周長最??？若存在，求出點p的坐標；若不存在，請說明理由【例題3】（2020杭州）在平面直角坐標系中，設二次函數y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b是實數，a0）（1）若函數y1的對稱軸為直線x3，且函數y1的圖象經過點（a，b），求函數y1的表達式（2）若函數y1的圖象經過點（r，0），其中r0，求證：函數y2的圖象經過點（1r，0）（3）設函數y1和函數y2的最小值分別為m和n，若m+n0，求m，n的值二次函數單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1（2020瀘州）已知二次函數yx22bx+2b

13、24c（其中x是自變量）的圖象經過不同兩點a（1b，m），b（2b+c，m），且該二次函數的圖象與x軸有公共點，則b+c的值為（）a1b2c3d42（2020綏化）將拋物線y2（x3）2+2向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線的解析式是（）ay2（x6）2by2（x6）2+4cy2x2dy2x2+43（2020濱州）對稱軸為直線x1的拋物線yax2+bx+c（a、b、c為常數，且a0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：abc0，b24ac，4a+2b+c0，3a+c0，a+bm（am+b）（m為任意實數），當x1時，y隨x的增大而增大其中結論正確的個數為（）a3b4c5d6

14、4（2020成都）關于二次函數yx2+2x8，下列說法正確的是（）a圖象的對稱軸在y軸的右側b圖象與y軸的交點坐標為（0，8）c圖象與x軸的交點坐標為（2，0）和（4，0）dy的最小值為95（2020河北）如圖，現要在拋物線yx（4x）上找點p（a，b），針對b的不同取值，所找點p的個數，三人的說法如下，甲：若b5，則點p的個數為0；乙：若b4，則點p的個數為1；丙：若b3，則點p的個數為1下列判斷正確的是（）a乙錯，丙對b甲和乙都錯c乙對，丙錯d甲錯，丙對6（2020南充）關于二次函數yax24ax5（a0）的三個結論：對任意實數m，都有x12+m與x22m對應的函數值相等；若3x4，對應的

15、y的整數值有4個，則-43a1或1a43；若拋物線與x軸交于不同兩點a，b，且ab6，則a-54或a1其中正確的結論是（）abcd7（2020甘孜州）如圖，二次函數ya（x+1）2+k的圖象與x軸交于a（3，0），b兩點，下列說法錯誤的是（）aa0b圖象的對稱軸為直線x1c點b的坐標為（1，0）d當x0時，y隨x的增大而增大8（2020安順）已知二次函數yax2+bx+c的圖象經過（3，0）與（1，0）兩點，關于x的方程ax2+bx+c+m0（m0）有兩個根，其中一個根是3則關于x的方程ax2+bx+c+n0 （0nm）有兩個整數根，這兩個整數根是（）a2或0b4或2c5或3d6或49（202

16、0遂寧）二次函數yax2+bx+c（a0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x1，下列結論不正確的是（）ab24acbabc0cac0dam2+bmab（m為任意實數）10（2020衢州）二次函數yx2的圖象平移后經過點（2，0），則下列平移方法正確的是（）a向左平移2個單位，向下平移2個單位b向左平移1個單位，向上平移2個單位c向右平移1個單位，向下平移1個單位d向右平移2個單位，向上平移1個單位二、填空題（10個小題，每空3分，共33分）11（2020泰安）已知二次函數yax2+bx+c（a，b，c是常數，a0）的y與x的部分對應值如下表：x54202y60646下列結論：a0；當x2時，函數最

17、小值為6；若點（8，y1），點（8，y2）在二次函數圖象上，則y1y2；方程ax2+bx+c5有兩個不相等的實數根其中，正確結論的序號是 （把所有正確結論的序號都填上）12（2020哈爾濱）拋物線y3（x1）2+8的頂點坐標為 13（2020無錫）請寫出一個函數表達式，使其圖象的對稱軸為y軸： 14（2020上海）如果將拋物線yx2向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是 15（2020黔東南州）拋物線yax2+bx+c（a0）的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標為（3，0），對稱軸為x1，則當y0時，x的取值范圍是 16. 如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過點（0，3），請你確

18、定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間你確定的b的值是 .17. 如圖，是二次函數 y=ax2+bx+c（a0）的圖象的一部分，給出下列命題：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的兩根分別為3和1；a2b+c0其中正確的命題是 （只要求填寫正確命題的序號）18.如圖，拋物線y=-x2+2x+m（m0）與x軸相交于點a（x1，0）、b（x2，0），點a在點b的左側當x=x2-2時，y_0（填“”“=”或“”號）19二次函數yx22x+3的圖象的頂點坐標為 20（2020樂山）我們用符號x表示不大于x的最大整數例如：1.51，1.52那么：（1）當1x2時，x

19、的取值范圍是；（2）當1x2時，函數yx22ax+3的圖象始終在函數yx+3的圖象下方則實數a的范圍是 三、解答題（6小題，共57分）21（7分）（2020寧波）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數yax2+4x3圖象的頂點是a，與x軸交于b，c兩點，與y軸交于點d點b的坐標是（1，0）（1）求a，c兩點的坐標，并根據圖象直接寫出當y0時x的取值范圍（2）平移該二次函數的圖象，使點d恰好落在點a的位置上，求平移后圖象所對應的二次函數的表達式22（10分）（2020瀘州）如圖，已知拋物線yax2+bx+c經過a（2，0），b（4，0），c（0，4）三點（1）求該拋物線的解析式；（2）經過點b的直線

20、交y軸于點d，交線段ac于點e，若bd5de求直線bd的解析式；已知點q在該拋物線的對稱軸l上，且縱坐標為1，點p是該拋物線上位于第一象限的動點，且在l右側，點r是直線bd上的動點，若pqr是以點q為直角頂點的等腰直角三角形，求點p的坐標23（8分）（2020濟寧）我們把方程（xm）2+（yn）2r2稱為圓心為（m，n）、半徑長為r的圓的標準方程例如，圓心為（1，2）、半徑長為3的圓的標準方程是（x1）2+（y+2）29在平面直角坐標系中，c與軸交于點a，b，且點b的坐標為（8，0），與y軸相切于點d（0，4），過點a，b，d的拋物線的頂點為e（1）求c的標準方程；（2）試判斷直線ae與c的位置關系，并說明理由24（12分）（2020甘孜州）如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線ykx+3分別交x軸、y軸于a，b兩點，經過a，b兩點的拋物線yx2+bx+c與x軸的正半軸相交于點c（1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）若p為線段ab上一點，a