備考2022數(shù)學(xué)專題54 探究發(fā)現(xiàn)類創(chuàng)新型綜合素養(yǎng)能力題（原卷版）

1、專題54 探究發(fā)現(xiàn)類創(chuàng)新型綜合素養(yǎng)能力題探究題類型比較煩雜，以問題表現(xiàn)形式來分，大致可歸類為開放型、新信息型、存在型等.一、開放型探究題 開放型探究題按題型結(jié)構(gòu)分為條件開放型、結(jié)論開放型與策略開放型.此類探究題注重考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和培養(yǎng)發(fā)散思維的能力. 二、新信息型探究題 進入新時代，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點，這類題目通常都會出現(xiàn)一些新的定義概念、規(guī)則、運算等，如何理解和運用題中提供的新信息是處理此類問題的關(guān)鍵.比如“等鄰邊四邊形”、“智慧三角形”、“勾股分割點”等都屬于新信息探究題. 三、存在型探究題 存在與否型探索問題歷來都是考查的重點，幾何與代數(shù)都有涉及.解決此類問題的一般

2、思路為假設(shè)結(jié)論成立或存在.結(jié)合已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，仔細分析，層層推進，如果能獲得相應(yīng)的結(jié)論，則假設(shè)成立，如果出現(xiàn)矛盾則說明原假設(shè)并不成立. 探索結(jié)論的存在性問題，是綜合探究題之一，是開放型試題的重點題型，是中考的熱點，也是難點，更是亮點。若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，一般考查的難度屬于中等難度，若在選擇題或者填空題的最后一道小題出現(xiàn)，就屬于壓軸題。但根據(jù)全國各地中考試卷看，探索結(jié)論的存在性問題，都以壓軸大題形式出現(xiàn)，這類試題只是覆蓋面廣，綜合性強。解決問題基本思路是：首先假設(shè)研究的數(shù)學(xué)對象存在，然后從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合題目條件進行計算推理論證，若所得結(jié)論正確合理，說明結(jié)論存在；若所得結(jié)論不合理，說

3、明結(jié)論不存在。解題時要注意的是：（1）明確這類問題的解題思路，即假設(shè)存在法；（2）要對各方面知識理解到位，能靈活應(yīng)用知識進行分析、綜合、概括和推理；（3）心中一定要裝有重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如建構(gòu)方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化思想等，在數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下，讓解決問題具有方向性，避免盲目性。（4）作圖要科學(xué)規(guī)范，便于解決問題為宜?！纠}】（2020河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖，點d是bc上一動點，線段bc8cm，點a是線段bc的中點，過點c作cfbd，交da的延長線于點f當(dāng)dcf為等腰三角形時，求線段bd的長度小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)

4、的經(jīng)驗研究此問題請將下面的探究過程補充完整：（1）根據(jù)點d在bc上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段bd，cd，fd的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值 bd/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0cd/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40fd/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點d為bc的中點時，bd5.0cm”則上表中a的值是；“線段cf的長度無需測量即可得到”請簡要說明理由（2）將線段bd的長度作為自變量x，cd和fd的長度都是x的函數(shù)，分別記為ycd和yfd，并在平面直角坐標(biāo)系xoy中畫出了函數(shù)yfd的圖象，如圖所示請在同

5、一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ycd的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)dcf為等腰三角形時，線段bd長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）【對點練習(xí)】在rtabc中，abc=90°，ab=，ac=2，過點b作直線mac，將abc繞點c順時針旋轉(zhuǎn)得到abc（點a，b的對應(yīng)點分別為a'，b），射線ca，cb分別交直線m于點p，q（1）如圖1，當(dāng)p與a重合時，求aca的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)ab與bc的交點為m，當(dāng)m為ab的中點時，求線段pq的長；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點p，q分別在ca，cb的延長線上時，試探究四邊形pa'bq的面積是否存在最小值若存

6、在，求出四邊形pabq的最小面積；若不存在，請說明理由1（2020浙江寧波）問題小明在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：求不等式x3+3x2x30的解集他經(jīng)歷了如下思考過程：回顧（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y1ax+b與雙曲線y2交于a （1，3）和b（3，1），則不等式ax+b的解集是 探究將不等式x3+3x2x30按條件進行轉(zhuǎn)化：當(dāng)x0時，原不等式不成立；當(dāng)x0時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x1；當(dāng)x0時，不等式兩邊同除以x并移項轉(zhuǎn)化為x2+3x1（2）構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象：設(shè)y3x2+3x1，y4，在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；雙曲線y4如圖2所示，請在此坐標(biāo)系

7、中畫出拋物線yx2+3x1（不用列表）（3）確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)：觀察所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知：滿足y3y4的所有x的值為 解決（4）借助圖象，寫出解集：結(jié)合“探究”中的討論，觀察兩個函數(shù)的圖象可知：不等式x3+3x2x30的解集為 2（2020湖北隨州）一個問題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想探索歸納問題解決的過程，下面結(jié)合一道幾何題來體驗一下.（發(fā)現(xiàn)猜想）（1）如圖，已知aob70°，aod100°，oc為bod的角平分線，則aoc的度數(shù)為 ；. （探索歸納）（2）如圖，aobm，aodn，oc為bod的角平分線. 猜想aoc的度數(shù)（用含m、n

8、的代數(shù)式表示），并說明理由.（問題解決）（3）如圖，若aob20°，aoc90°，aod120°.若射線ob繞點o以每秒20°逆時針旋轉(zhuǎn)，射線oc繞點o以每秒10°順時針旋轉(zhuǎn)，射線od繞點o每秒30°順時針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與直線oa重合時，三條射線同時停止運動. 運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？3（2020江西）已知mpn的兩邊分別與o相切于點a，b，o的半徑為r（1）如圖1，點c在點a，b之間的優(yōu)弧上，mpn80°，求acb的度數(shù)；（2）如圖2，點c在圓上運動，當(dāng)pc最大時，要使四邊

9、形apbc為菱形，apb的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；（3）若pc交o于點d，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含r的式子表示）4（2020北京）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o的半徑為1，a，b為o外兩點，ab1給出如下定義：平移線段ab，得到o的弦a'b'（a'，b分別為點a，b的對應(yīng)點），線段aa'長度的最小值稱為線段ab到o的“平移距離”（1）如圖，平移線段ab得到o的長度為1的弦p1p2和p3p4，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點p1，p2，p3，p4中，連接點a與點的線段的長度等于線段ab到o的“平移距離”；（2）若點a，b都在直線y=3x+23上，記線段

10、ab到o的“平移距離”為d1，求d1的最小值；（3）若點a的坐標(biāo)為（2，32），記線段ab到o的“平移距離”為d2，直接寫出d2的取值范圍5（2020哈爾濱）已知：o是abc的外接圓，ad為o的直徑，adbc，垂足為e，連接bo，延長bo交ac于點f（1）如圖1，求證：bfc3cad；（2）如圖2，過點d作dgbf交o于點g，點h為dg的中點，連接oh，求證：beoh；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接cg，若dgde，aof的面積為925，求線段cg的長6（2020成都）如圖，在abc的邊bc上取一點o，以o為圓心，oc為半徑畫o，o與邊ab相切于點d，acad，連接oa交o于點e，連接c

11、e，并延長交線段ab于點f（1）求證：ac是o的切線；（2）若ab10，tanb=43，求o的半徑；（3）若f是ab的中點，試探究bd+ce與af的數(shù)量關(guān)系并說明理由7（2020攀枝花）實驗學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實踐”測量活動有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線mn的距離皆為100cm王詩嬑觀測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線mn互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i1：0.75，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：（1）若王詩嬑的身高

12、為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內(nèi)請直接回答這個猜想是否正確？（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100 cm，則高圓柱的高度為多少cm？8（2020陜西）問題提出（1）如圖1，在rtabc中，acb90°，acbc，acb的平分線交ab于點d過點d分別作deac，dfbc垂足分別為e，f，則圖1中與線段ce相等的線段是 問題探究（2）如圖2，ab是半圓o的直徑，ab8p是ab上一點，且pb=2pa，連接ap，bpapb的平分線交ab于點c，過點c分別作ceap，c

13、fbp，垂足分別為e，f，求線段cf的長問題解決（3）如圖3，是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖已知o的直徑ab70m，點c在o上，且cacbp為ab上一點，連接cp并延長，交o于點d連接ad，bd過點p分別作pead，pfbd，重足分別為e，f按設(shè)計要求，四邊形pedf內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)設(shè)ap的長為x（m），陰影部分的面積為y（m2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)ap的長度為30m時，整體布局比較合理試求當(dāng)ap30m時室內(nèi)活動區(qū)（四邊形pedf）的面積9.(2020浙江舟山)比較x2+1與2x的大?。?）嘗試（用“”，“”或“”填空）：當(dāng)x1時，x2+1 2x；當(dāng)x0時，x2+1 2x；當(dāng)x2時，x2+1 2x（2）歸納：若x取任意實數(shù)，