第六章-多元函數微積分6.4-全微分

1、第六章第六章- -多元函數微積分多元函數微積分6.4-6.4-全微分全微分一、全微分的概念一、全微分的概念 例例6.4.2例例6.4.3例例6.4.4二、二、 函數可微的條件函數可微的條件例例6.4.1例例6.4.5三、三、 全微分在近似計算中的應用全微分在近似計算中的應用本節(jié)內容本節(jié)內容:四、四、 內容小結內容小結 思考題思考題 習題解答習題解答 作業(yè)作業(yè)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄回憶一元函數的微分回憶一元函數的微分若存在僅與x有關的實數A，使 yfxxfxA xo x 則稱函數)(xf在點x處可微，xA為函數)(xf在點x處的微分，且,d)(dxxfyxxd可微可導上一頁上一頁

2、 下一頁下一頁 目目 錄錄全增量全增量(perfect increment)的概念的概念上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數數 對對 x 和和對對 y 的的偏偏微微分分 (partial differential) 二元函數二元函數 對對 x 和對和對 y 的的偏增量偏增量(partial increment) 由一元函數微分學中增量與微分的關系得由一元函數微分學中增量與微分的關系得上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄),(),(yxfyyxxf按一元函數的微分，形式上有這里應是一個

3、無窮小量。),(),( ),(),(yxfyyxfyyxfyyxxfyxBA 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄一、全微分的概念、全微分的概念 定義定義: 如果函數 z = f ( x, y )在定義域 D 的內點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，稱為函數),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數在域 D 內各點都可微,22)()(yx則稱函數 f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數在函數在D 內可微內可微.A xB

4、 y 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄全微分概念的描述可表示為極限形式0)(lim2200yxybxazyx上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄可微連續(xù)可導?在多元函數中，三者的關系如何？在多元函數中，三者的關系如何？二、多元函數可微的條件、多元函數可微的條件 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄)(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏導數連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導數的關系:(1) 函數可微函數函數 z = f (x, y) 在點在點 (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx當函數可微時當函數可微時 :得z

5、yx00lim0),(yxf函數在該點連續(xù)函數在該點連續(xù)偏導數存在 函數可微 即上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄可微連續(xù)可導?在多元函數中，可微在多元函數中，可微連續(xù)連續(xù)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄定理定理6.4.1(6.4.1(必要條件必要條件) )若函數 z = f (x, y) 在點(x, y)則該函數在該點的偏導數yzxz,yyzxxzzd( , )( , )xzfyfyxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證:因函數在點(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA可微可微 ,上一頁上

6、一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄一元函數在某點的導數存在一元函數在某點的導數存在 微分存在微分存在多元函數的各偏導數存在多元函數的各偏導數存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有0)0 , 0()0 , 0( yxff上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當當

7、 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數數在在點點)0 , 0(處處不不可可微微.上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄回頭看定理回頭看定理定理定理若),(yxfz 在點),P(yx處可微，則其兩個偏導數,xzyz均存在，且zdxzxyzy上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄xzzxdxyzzydy稱為函數關于 x 的偏微分。稱為函數關于 y 的偏微分。函數的全微分等于各偏微分之和：zzzyxddd這與物理中的疊加原理相符。上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄 ),(yyxxf定理定理6.4.2 (充分條件充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxf

8、z)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數),(yxfz 的偏導數( , ),x y在在連連續(xù)續(xù)點點則函數在該點可微分.0lim00yx,0lim00yx上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(xy 所以函數),(yxfz ),(yxyx在點可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄多元函數連續(xù)、可導、可微的關系多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續(xù)函數連續(xù)偏

9、導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導函數可導上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄xxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數的可微性問題.例如, 三元函數),(zyxfu ud習慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作dxu故有下述疊加原理疊加原理ddddxyzuuuu 稱為偏微分偏微分.yyudzzudduxx uyduzd的全微分為yyuzzu于是uuuzyxd,d,d上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄函數22yyxz是否可微？若可微，求其全微分。解xyxz2yxyz22易知這兩個偏導數在 2R中連續(xù)，故22yyxz在2R中可微。yyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22例例6.4.1上一

10、頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解解 1,yxfx yyx 所求全微分所求全微分dz2. dx ,ln ,yyfx yxx 1,22,xf 1,20,yf 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分1dd( cos)dd .22yzyzyuxzeyyez上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄可知當三、全微分在近似計算中的應用三、全微分在近似計算中的應用1. 近似計算近似計算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時,yyxfxyxfzzyx),()

11、,(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于誤差分析或近似計算) (可用于近似計算) 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.4.4.6.4.4.計算計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設( , )yf x yx ,則),(yxfx取1,2,xy則)02. 2,04. 1(04. 102. 2f(1, 2)(1, 2)(1, 2)xyffxfy 08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln0.04,0.02xy 上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄例例6.4.56.4.5上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄P212 1.P212 1.2.2.（3 3

12、）（）（4 4） 3.3.（1 1）（）（3 3）4. 4. 5.5.作業(yè)作業(yè)上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄1. 微分定義微分定義:),(為例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(dz yyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系重要關系:)( o函數可導函數可導函數可微函數可微偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數連續(xù)函數連續(xù)內容小結內容小結上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄3. 微分應用微分應用 近似計算z yyxfxyxfyx),(),(,)f xxyy yyxfxyxfyx),(),( , )f x y上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄思考題思考題函數)

13、,(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當時是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當時是無窮小量 .1. 選擇題D上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄練練 習習 題題上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄練習題答案練習題答案上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄6.4 部分習題答案部分習題答案2.(4).上一頁上一頁 下一頁下

14、一頁 目目 錄錄4.上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄5.上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄在點 (0,0) 可微 .備用題備用題在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導數在點 (0,0) 不連 證明函數xy所以上一頁上一頁 下一頁下一頁 目目 錄錄),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時當yx,)0 , 0(),(時趨于沿射線當點xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx(lim