圖論與網(wǎng)絡模型(四)

1、圖論與網(wǎng)絡模型圖論與網(wǎng)絡模型及其應用及其應用(五五)沖量模型沖量模型 本節(jié)我們用一個能源利用系統(tǒng)的例子本節(jié)我們用一個能源利用系統(tǒng)的例子說明說明沖量過程沖量過程的建模方法的建模方法. 我們考察某地區(qū)的能源利用狀況我們考察某地區(qū)的能源利用狀況.先界先界定系統(tǒng)的范圍定系統(tǒng)的范圍,比如只考慮能源利用量、價比如只考慮能源利用量、價格、生產(chǎn)率、環(huán)境質(zhì)量、工業(yè)產(chǎn)值、就業(yè)格、生產(chǎn)率、環(huán)境質(zhì)量、工業(yè)產(chǎn)值、就業(yè)機會及人口總數(shù)等機會及人口總數(shù)等7個因素，它們之間相互個因素，它們之間相互復雜的關(guān)系可以簡化為一個因素對另外因復雜的關(guān)系可以簡化為一個因素對另外因素直接的促進素直接的促進(正面正面)或促退或促退(負面負面)

2、作用。要作用。要研究的問題是研究的問題是,當其中某個因素突然發(fā)生改當其中某個因素突然發(fā)生改變時變時,預測系統(tǒng)各因素的演變過程和趨勢預測系統(tǒng)各因素的演變過程和趨勢.定性模型定性模型V1-能源利用量能源利用量V2-能源價格能源價格V3-能源生產(chǎn)率能源生產(chǎn)率V4-環(huán)境質(zhì)量環(huán)境質(zhì)量V5-工業(yè)產(chǎn)值工業(yè)產(chǎn)值V6-就業(yè)機會就業(yè)機會V7-人口總數(shù)人口總數(shù)v3v2v5v6v7v4v1+-+-G1我們將能源利用系統(tǒng)的我們將能源利用系統(tǒng)的每個因素用圖的一個頂點來每個因素用圖的一個頂點來表示表示,因素間的直接影響用帶方向的邊表示因素間的直接影響用帶方向的邊表示.為了表示為了表示因素間的影響是促進還是促退因素間的影響是

3、促進還是促退,我們在箭頭旁邊分別我們在箭頭旁邊分別標示標示“+”或或“-”.這樣這樣,我們便得到了一個帶符號的有我們便得到了一個帶符號的有向圖向圖G1.需說明的是需說明的是:第一第一,兩頂點之間的有向邊表示兩頂點之間的有向邊表示兩因素間的直接影響兩因素間的直接影響,如如v1v3帶正號表示某時帶正號表示某時段能源利用量段能源利用量v1的增加導致下一時段能源生的增加導致下一時段能源生產(chǎn)率的增長產(chǎn)率的增長, v1v4帶符號則表示帶符號則表示v1的增加導致的增加導致下一時段環(huán)境質(zhì)量的下降下一時段環(huán)境質(zhì)量的下降.至于因素間的間至于因素間的間接影響是由幾條相連的同向邊反映出來接影響是由幾條相連的同向邊反映

4、出來. 第二第二,像能源利用這樣的社會經(jīng)濟系統(tǒng)像能源利用這樣的社會經(jīng)濟系統(tǒng),因素間的影響關(guān)系十分復雜因素間的影響關(guān)系十分復雜,應該合理、簡應該合理、簡化地確定哪些因素間有直接影響化地確定哪些因素間有直接影響,這里除了這里除了主要根據(jù)客觀規(guī)律作出決定外主要根據(jù)客觀規(guī)律作出決定外,方針政策有方針政策有時也是判斷的依據(jù)時也是判斷的依據(jù).如能源利用量增加時能如能源利用量增加時能源價格是降低還是升高源價格是降低還是升高,是由政府鼓勵利用是由政府鼓勵利用能源還是限制能源利用的價格政策決定的能源還是限制能源利用的價格政策決定的.定義鄰接矩陣定義鄰接矩陣A=(aij)如下如下: vvvvvvajijijiij

5、若若不不存存在在邊邊為為負負若若為為正正若若 0, 1,- ,1于是于是 0000001100000001000011000000001001000000010001110Av3v2v5v6v7v4v1+-+-定量模型定量模型v3v2v5v6v7v4v111-2-0.51.21.50.30.81.5-0.7-1.2G2這里能源利用量這里能源利用量v1和生產(chǎn)率和生產(chǎn)率v3均以變均以變化化10%為一個單位為一個單位,如圖如圖, v1增加增加1個單個單位將引起位將引起v30.8個單個單位的增長位的增長.邊上的權(quán)邊上的權(quán)我們用我們用wij表示表示.剛才的有向圖剛才的有向圖G1以及矩陣以及矩陣A是定性模

6、型是定性模型,如果將系如果將系統(tǒng)各因素加以量化統(tǒng)各因素加以量化,那么我們便得到定量模型那么我們便得到定量模型,我們我們用加權(quán)的有向圖表示用加權(quán)的有向圖表示.如如:這樣我們便得到圖這樣我們便得到圖G2的鄰接矩陣為的鄰接矩陣為 0000005 . 1100000005 . 100002 . 13 . 000000000100200000007 . 00002 . 18 . 05 . 00Wv3v2v5v6v7v4v111-2-0.51.21.50.30.81.5-0.7-1.2V1出發(fā)的邊出發(fā)的邊沖量過程沖量過程為了研究系統(tǒng)的某個因素一個突然變化所引起的整個為了研究系統(tǒng)的某個因素一個突然變化所引起

7、的整個系統(tǒng)在其后各時段的演變過程系統(tǒng)在其后各時段的演變過程,用用vi(t)表示因素表示因素vi在時在時段段t的值的值(我們這里實際上是將時間離散化處理我們這里實際上是將時間離散化處理), pi(t)表示在時段表示在時段t的改變量的改變量(沖量沖量).設系統(tǒng)共有設系統(tǒng)共有n個因素個因素,根根據(jù)據(jù)wij的含義的含義,對對t=0,1,2,有有,2,1),()1(,2,1),1()()1(1njtpwtpnitptvtvniiijjiii .W)0(P)(P,., 2 , 1 , 0,W) t (P)1t (P),1t (P)(V)1(V),(,),()(),(,),()(V11ttttttptptP

8、tvtvtnn 由此由此為為上面兩式可用矩陣表示上面兩式可用矩陣表示則則我們記我們記如果只考慮系統(tǒng)在初始狀態(tài)基礎上的變化如果只考慮系統(tǒng)在初始狀態(tài)基礎上的變化,不不妨設妨設 V(0)=P(0)于是我們便可以計算出于是我們便可以計算出P(t)和和V(t)(以以A為例為例):tp1p2p3p4p5p6p7v1v2v3v4v5v6v701000000100000010-11-10001-11-100021-10010-12-21-110031-11-10103-32-211-1 這種由某些因素在初始時段的變化這種由某些因素在初始時段的變化(沖量沖量)引引起的系統(tǒng)的演變過程成為起的系統(tǒng)的演變過程成為沖量

9、過程沖量過程.當初始當初始沖量沖量P(0)中只有一個分量是中只有一個分量是1,其余為其余為0時時,成成為為簡單沖量過程簡單沖量過程,記為記為S.一般的沖量過程可一般的沖量過程可以看成若干個簡單沖量過程的疊加以看成若干個簡單沖量過程的疊加.簡單沖量過程的穩(wěn)定性簡單沖量過程的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)的任一因素在如果系統(tǒng)的任一因素在t=0的變化的變化,引起的引起的各因素在任意時段的沖量和值都不會無限各因素在任意時段的沖量和值都不會無限增長或無限減少增長或無限減少,那么這個系統(tǒng)的那么這個系統(tǒng)的沖量過程沖量過程S是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的.對于所有的對于所有的i和任意的和任意的t,若若|Pi(t)|有界有界,稱稱S是沖是沖

10、量穩(wěn)定的量穩(wěn)定的;若若|vi(t)|有界有界,稱稱S是值穩(wěn)定的是值穩(wěn)定的.若若S是值穩(wěn)定的是值穩(wěn)定的,則必然是沖量穩(wěn)定的則必然是沖量穩(wěn)定的.反之不然反之不然.定理定理1 S是沖量穩(wěn)定的必要條件是是沖量穩(wěn)定的必要條件是|1.這里這里是是W的非零特征值的非零特征值.下同下同.特別特別, ,當只取數(shù)值當只取數(shù)值0,1,-10,1,-1時時, ,條件化為條件化為|=1.必必要條件不滿足時必然有某個簡單沖量過程要條件不滿足時必然有某個簡單沖量過程,其其沖量不穩(wěn)定沖量不穩(wěn)定.定理定理2 S是沖量穩(wěn)定的充分條件是是沖量穩(wěn)定的充分條件是|1且且均為單根均為單根.定理定理3 S是值穩(wěn)定的充要條件是值穩(wěn)定的充要條

11、件S是沖量穩(wěn)是沖量穩(wěn)定且定且1.我們用上述定理檢查有向圖我們用上述定理檢查有向圖G1表示的能表示的能源利用系統(tǒng)源利用系統(tǒng).矩陣矩陣A的特征多項式為的特征多項式為).1()(352 f因為因為f(1)=-2,f(2)=76,所以所以f()在在(1,2)內(nèi)有根內(nèi)有根.由由定理定理1,必有某個簡單沖量過程是不穩(wěn)定的必有某個簡單沖量過程是不穩(wěn)定的.不穩(wěn)定過程的調(diào)節(jié)方法不穩(wěn)定過程的調(diào)節(jié)方法我們改變我們改變W或或A的值的值,使得其特征值滿足定理使得其特征值滿足定理2,3的要求的要求.不過不過,沒有統(tǒng)一的方法沒有統(tǒng)一的方法.如果一個帶符號的有向圖是雙向連通的如果一個帶符號的有向圖是雙向連通的(即任何兩即任何

12、兩個頂點間存在兩條有向路徑個頂點間存在兩條有向路徑,使得此兩頂點可以互相使得此兩頂點可以互相連通連通),并存在一個位于所有閉路的并存在一個位于所有閉路的中心頂點中心頂點,那么稱那么稱它是它是改進的玫瑰圖改進的玫瑰圖.所謂所謂閉路閉路,是指從某頂點出發(fā)是指從某頂點出發(fā),沿沿有向邊前進回到該頂點有向邊前進回到該頂點,且途中不經(jīng)過重復頂點的路且途中不經(jīng)過重復頂點的路徑徑.以圖以圖G1為例為例,它就滿足這個要求它就滿足這個要求,v1是中心頂點是中心頂點.由由v1 v3 , v3 v5 , v5v1構(gòu)成的閉路記做構(gòu)成的閉路記做v1 v3 v5v1.閉路有閉路有v1 v2v1 , v1 v3 v2v1 ,

13、 v1 v3 v5v1 , v1 v4 v7v1 , v1 v3 v5 v6 v7v1 .構(gòu)成閉路的有向邊的數(shù)目稱為閉路的構(gòu)成閉路的有向邊的數(shù)目稱為閉路的長度長度.當閉路包含奇數(shù)個帶當閉路包含奇數(shù)個帶-的有向邊時的有向邊時,定義該定義該閉路閉路的符號的符號為為-1,否則為否則為+1.用用ak記長度為記長度為k的閉路的符號和的閉路的符號和(不存在長度為不存在長度為k的閉路時的閉路時ak為為0),設設r是使得是使得ar 0的最大整數(shù)的最大整數(shù).我們記我們記用改進的玫瑰圖描述的沖量過程為用改進的玫瑰圖描述的沖量過程為S*.于是于是,存在一個序列存在一個序列a1 , a2 , , ar,S*的穩(wěn)定性的

14、穩(wěn)定性完全由這個序列決定完全由這個序列決定.定理定理4 S*沖量穩(wěn)定的必要條件是沖量穩(wěn)定的必要條件是 ar =1或或-1 且且 ak = -ar ar-k ,k=1,2, ,r-1.定理定理5 若若S*沖量穩(wěn)定的沖量穩(wěn)定的,則則S*是值穩(wěn)定的是值穩(wěn)定的充要條件是充要條件是.11 rkka下面我們根據(jù)定理下面我們根據(jù)定理4,5來調(diào)整鄰接矩陣來調(diào)整鄰接矩陣A的某些元的某些元素素.先檢查定理先檢查定理4的必要條件的必要條件.在圖在圖G1中中,沒有長度為沒有長度為1的閉路的閉路,于是于是a1=0;再看有再看有v1 v2v1 ,由于兩邊都是符由于兩邊都是符號號,故故a2=1;有三條長度為有三條長度為3的

15、閉路的閉路, v1 v3 v2v1 , v1 v3 v5v1 , v1 v4 v7v1 , 符號分別是符號分別是+1,+1,-1,故故a3=1; a4=0;只有一條長度為只有一條長度為5的閉路的閉路v1 v3 v5 v6 v7v1 ,其符號為其符號為+1,故故a5=1; ak=0,k5.故故r=5.這樣我們得到序列這樣我們得到序列a1, a2, a3, a4, a5=0,1,1,0,1.用定理用定理4的必要條件檢查發(fā)現(xiàn)的必要條件檢查發(fā)現(xiàn),條件條件a2=- a5 a3以及以及a3=- a5 a2不成立不成立.由此可見由此可見,為了滿足沖量穩(wěn)定的必要條件為了滿足沖量穩(wěn)定的必要條件,需將需將中的一個

16、從中的一個從1改成改成-1.由圖可知由圖可知,我們將我們將v1 v2的符的符號從號從-改成改成+時時, a2=1,而而a3, a5不變不變.此時此時a1, a2, a3, a4, a5=0,-1,1,0,1.還有其他調(diào)整方法還有其他調(diào)整方法.這個改動的實際含義是這個改動的實際含義是,將原來的將原來的“能源利用能源利用量的增加引起價格下降量的增加引起價格下降”,調(diào)整為調(diào)整為“能源利用能源利用量的增加導致價格上升量的增加導致價格上升”,即從鼓勵能源的利即從鼓勵能源的利用調(diào)整為限制利用用調(diào)整為限制利用.這種價格政策的變得一般這種價格政策的變得一般屬于人們可以控制的范圍屬于人們可以控制的范圍.當當v1

17、 v2的符號從的符號從-改成改成+后后,新的鄰接矩陣為新的鄰接矩陣為).1)(1)(1()1()(222352 f由定理由定理2,此時此時S*是沖量穩(wěn)定的是沖量穩(wěn)定的.即能源利用系統(tǒng)即能源利用系統(tǒng)的任何一個因素突然變化時的任何一個因素突然變化時,各因素在以后各個各因素在以后各個時段的改變量時有限的時段的改變量時有限的.若進一步判斷若進一步判斷S*是否值穩(wěn)定是否值穩(wěn)定.由于此時由于此時 a1+a2+ a3+ a4 +a5 =1,不滿足定理不滿足定理5的充要條件的充要條件.要想定要想定理理4成立的情況下定理成立的情況下定理5也成立也成立,需將需將a3, a5改成改成1.這要求將長度為這要求將長度為3的一條閉路和長度為的一條閉路和長度為5的閉路的閉路. 2/ )3i(1, 2/ )3i(-1i,-i,0,0,1, 于是特征值為于是特征值為的公共邊改變符號的公共邊改變符號.只能將只能將v3 v5由由+改成改成-(將將v7v1由由+改成改成-會導致會導致a3=3).而這兩種情形都是而這兩種情形都是不可能實現(xiàn)的不可能實現(xiàn)的,前者原意為前者原意為“能源生產(chǎn)率的能源生產(chǎn)率的增加導致工業(yè)產(chǎn)值增加增加導致工業(yè)產(chǎn)值增加”,后者原意為后者原意為“人人口總數(shù)的增加會