3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(王彬已改）

1、“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué)案例 一、教學(xué)設(shè)計(jì) 1、教學(xué)內(nèi)容分析“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”是數(shù)列中的重要內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)，既有利于對(duì)等比數(shù)列定義、性質(zhì)的理解，又為將來(lái)學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”打下基礎(chǔ)；而且，推導(dǎo)該公式的常用方法“錯(cuò)位相減法”是數(shù)列求和的常用方法。2、設(shè)計(jì)思想為降低等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，采用了數(shù)學(xué)“情境問(wèn)題”教學(xué)模式組織教學(xué)，以實(shí)際問(wèn)題作為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，在解決具體問(wèn)題的基礎(chǔ)上，抽象出解決一般問(wèn)題方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，反思總結(jié)的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)意識(shí)和習(xí)慣

2、。教師要充分發(fā)揮主要作用，營(yíng)造民主、平等、和諧、積極的課堂氛圍，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，以數(shù)學(xué)情境為立足點(diǎn)，為學(xué)生自主探索、合作交流提供時(shí)間和空間，放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，大膽實(shí)踐，在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)。并由此獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。3、教學(xué)目的 (1) 掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能夠運(yùn)用它解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；(2) 通過(guò)學(xué)生的自主探索，培養(yǎng)提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。(3) 通過(guò)“師生共作”培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的精神，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。4、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用是重點(diǎn)，“錯(cuò)位相減法”的探求是難點(diǎn)。二、教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情境某

3、制糖廠今年制糖5萬(wàn)噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%2、提出問(wèn)題 （1）明年產(chǎn)量為多少萬(wàn)噸？（2）從今年起第n年產(chǎn)量為多少萬(wàn)噸？（3）從今年起，6年內(nèi)的總產(chǎn)值為多少？（4）若n年內(nèi)，可以使總產(chǎn)值達(dá)到30萬(wàn)噸，那么n是多少(保留到個(gè)位)？（5）從今年起，n年內(nèi)的總產(chǎn)值是多少？能用求和公式表示嗎？3、解決問(wèn)題師：請(qǐng)同學(xué)們思考問(wèn)題（3）。學(xué)生：這個(gè)糖廠從今年起，平均每年的產(chǎn)量(萬(wàn)噸)組成一個(gè)等比數(shù)列。師：這是用文字語(yǔ)言描述的，能否用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)？學(xué)生：可以用a1，a2=a1q，a3=a1q2 a6=a1q5表示，記為an，其中a1=5, q=1+10%=1.1。則S6 = a1+a1q+a

4、1q2+a1q5 = 5+5×1.1+5×1.12 + + 5×1.15師：能很快求出結(jié)果嗎？生：很繁鎖，要用計(jì)算器才能很快的計(jì)算出結(jié)果。師：能不能簡(jiǎn)化運(yùn)算？ 生：可以。先提公因式：S6=5(1+1.1+1.12+1.15)再提公因式：S6=51+1.1 (1+1.1+1.14)如此做下去，可簡(jiǎn)化運(yùn)算師：用提公因式簡(jiǎn)化運(yùn)算，想法很好，還有其它做法嗎？生：有?？梢詮牡仁降男再|(zhì)著手考慮，只要在等式兩邊同乘以公比1.1，即得到1.1S6=5×1.1+5×1.12+5×1.16，這樣兩式相減就可消去中間的相同項(xiàng)，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。即(1-1.1

5、)S6=5-5×1.16，S6=。師：你是怎么想到的？為什么不乘以5呢？生：我是從消元這個(gè)角度考慮的。因?yàn)橐?，必須出現(xiàn)相同的項(xiàng)。而乘以5，雖然等式仍然成立，但沒(méi)有出現(xiàn)相同的項(xiàng)，不能達(dá)到消元化簡(jiǎn)的目的，所以等式兩邊同乘以公比1.1。師：太好了。這種方法非常適用，后面求特殊數(shù)列和時(shí)經(jīng)常用到，我們稱(chēng)它為“錯(cuò)位相減法”。下面請(qǐng)同學(xué)們用此法解決問(wèn)題（5）。生：設(shè)Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1 兩邊同乘以q，得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn 則兩式相減，得 (1-q)Sn=a1-a1qn Sn=師：上面的推導(dǎo)過(guò)程完全正確嗎？生：啊！看出來(lái)了，等式兩邊同乘

6、以q時(shí)，必須q0，才滿足等比數(shù)列的條件。師：還有嗎？生：有，由(1-q)Sn=a1(1-qn) 得到Sn=，必須1-q0，即q1，才成立。而當(dāng)q=1時(shí)，Sn=a1+a1+a1=na1。 則Sn= 由通項(xiàng)公式an=a1q( n-1)，還可寫(xiě)為Sn= (q1)4、知識(shí)應(yīng)用師：請(qǐng)同學(xué)們完成問(wèn)題（4）及課堂練習(xí)1,2師：大家從練習(xí)中得到了哪些啟式？生在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中，共有a1、an、n、q、Sn 5個(gè)量，只要知道其中任意三個(gè)量，都可以通過(guò)建立方程(組)等手段求出其余兩個(gè)量。在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到公式的使用條件為q1，當(dāng)q=1時(shí)，應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn=na1。在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和

7、問(wèn)題時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論q=1與q1兩種情況。5、拓展思維能否由求和方法推出(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n) (可留作作業(yè))三、教學(xué)反思創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)情境，進(jìn)行必要的啟發(fā)和引導(dǎo)，放手讓學(xué)生進(jìn)行探索和實(shí)踐，是教師體現(xiàn)主導(dǎo)作用的重要途徑，也是落實(shí)學(xué)生主體地位的重要保證。本課例中，由學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題為背景，提出問(wèn)題，進(jìn)而探求如何求得等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，讓學(xué)生自主探索，發(fā)現(xiàn)求和公式推導(dǎo)的方法“錯(cuò)位相減法”，這是本節(jié)課收到良好教學(xué)效果的主要原因。本課例還說(shuō)明，學(xué)生具有提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的潛能，只要條件適宜，誘導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生的潛能是完全能夠展現(xiàn)出來(lái)的。從這堂課的情況看，一部分學(xué)生的主動(dòng)性還較差。說(shuō)

8、明以前的以教師講授為主的教習(xí)方式，還在影響著學(xué)生，使學(xué)生的主動(dòng)性得不到充分發(fā)揮。但在數(shù)學(xué)“情境問(wèn)題”教學(xué)中，只有按照“設(shè)置數(shù)學(xué)情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)問(wèn)題注重知識(shí)應(yīng)用”的基本模式實(shí)施，長(zhǎng)期不懈地堅(jiān)持下去，學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)局面是完全可以改變的！ 參考文獻(xiàn)：呂傳漢,汪秉彝.中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問(wèn)題教學(xué)探究M.貴陽(yáng):貴州人民出版社,2002,7.（云南昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 650051）點(diǎn) 評(píng)：“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”是“數(shù)列”模塊中較為重要的內(nèi)容之一，它給學(xué)生學(xué)習(xí)的獲得是十分豐富的：既有“等比數(shù)列”特征比較明顯的性質(zhì)和方法，如“等比性質(zhì)”，“錯(cuò)位相消”等；又有處理數(shù)列問(wèn)題的常用方法，如“觀查歸納猜想論證”等。1創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單情境，引入等比數(shù)列，學(xué)生易于分析，將精力集中在探索“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”上，留給學(xué)生更多的探索時(shí)間和空間。2從5+5×1.1+5×1.12+5×1.13+5×1.14+5×1.15的具體計(jì)算作為基礎(chǔ)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和體會(huì)其中蘊(yùn)含的一般方法，再由此過(guò)渡到“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的探求和證明，降低了難度，易于為學(xué)生所接受。3有針對(duì)性地評(píng)析“等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式”，如對(duì)公比q的討論和公式變式的研究，以及處理數(shù)列問(wèn)題常用的方程的思想