數(shù)學建模期末試卷A及答案(1)4頁

1、1 （10分）敘述數(shù)學建模的基本步驟，并簡要說明每一步的基本要求。(1)模型準備：首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息。(2)模型假設(shè)：為了利用數(shù)學方法，通常要對問題做出必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。(3)模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系，把問題化為數(shù)學問題，注意要盡量采用簡單的數(shù)學工具。4)模型求解：利用已知的數(shù)學方法來求解上一步所得到的數(shù)學問題，此時往往還要作出進一步的簡化或假設(shè)。(5)模型分析：對所得到的解答進行分析，特別要注意當數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果是否穩(wěn)定。(6)模型檢驗：分析所得結(jié)果的實際意義，

2、與實際情況進行比較，看是否符合實際，如果不夠理想，應該修改、補充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。(7)模型應用：所建立的模型必須在實際應用中才能產(chǎn)生效益，在應用中不斷改進和完善。2（10分）試建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，。在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開始一段時間（）邊生產(chǎn)邊銷售，后一段時間（）只銷售不生產(chǎn)，存貯量的變化如圖所示。設(shè)每次生產(chǎn)開工費為，每件產(chǎn)品單位時間的存貯費為，以總費用最小為準則確定最優(yōu)周期，并討論和的情況。單位時間總費用，使達到最小的最優(yōu)周期。當時，相當于不考慮生產(chǎn)的情況；當時，因為產(chǎn)量被售量抵消，無法形成貯存量。3（10分）設(shè)表示時刻的人口，試解釋阻

3、滯增長（Logistic）模型中涉及的所有變量、參數(shù)，并用盡可能簡潔的語言表述清楚該模型的建模思想。時刻；時刻的人口數(shù)量；人口的固有增長率；自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量；初始時刻的人口數(shù)量人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用。且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大，從而人口增長率是人口數(shù)量的的減函數(shù)。假設(shè)為的線性函數(shù)：，其中，稱為人口的固有增長率，表示人口很少時（理論上是）的增長率。當時人口不再增長，即增長率，代入有，從而有，根據(jù)Malthus人口模型，有4（25分）已知8個城市v0，v1，,v7之間有一個公路網(wǎng)（如圖所示），每條公路為圖中的邊，邊上

4、的權(quán)數(shù)表示通過該公路所需的時間（1）設(shè)你處在城市v0，那么從v0到其他各城市，應選擇什么路徑使所需的時間最短？(1)到其它各點的最短路如下圖：各點的父點如下：v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3各點的最短路徑及最短路長分別為：v0: 0v0v1: 1v0v2: 2v0v2v3: 3v0v2v3v4: 6v0v5: 4v0v5v6: 6v0v2v3v7: 9(2)最小生成樹如下圖：7（10分）有12個蘋果，其中有一個與其它的11個不同，或者比它們輕，或者比它們重，試用沒有砝碼的天平稱量三次，找出這個蘋果，并說明它的輕重情況。先把蘋果編號11

5、2,把14和58放在天平兩邊:（1）兩邊持平：就在912中,再把9和10放在天平兩邊,再平就在11或12中,若9和10不平，則在9或10中；（2）兩邊不平:假設(shè)1234重5678輕,則進行第二次稱量125和349；若平了就在678中且是輕的,再稱6與7即可；若125重349輕則在12中且是重的, 再稱1與2即可；若125輕349重,則壞的是5。某家具廠生產(chǎn)桌子和椅子兩種家具，桌子售價50元/個，椅子銷售價格30元/個，生產(chǎn)桌子和椅子要求需要木工和油漆工兩種工種。生產(chǎn)一個桌子需要木工4小時，油漆工2小時。生產(chǎn)一個椅子需要木工3小時，油漆工1小時。該廠每個月可用木工工時為120小時，油漆工工時為50小時。問該廠如何組織生產(chǎn)才能使每月的銷售收入最大？（建立模型不計算）(10) 解：（1）確定決策變量：x1=生產(chǎn)桌子的數(shù)量  x2=生產(chǎn)椅子的數(shù)量  （2）確定目標函數(shù)：家具廠的目標是銷售收入最大 max z=50x1+30x2 （3）確定約束條件： 4x1+3x2<120（木工工時限制） 2x1+x2>50（油漆工工時限制） （4）建立的數(shù)學模型為： max S=50x1+30x2 s.t. 4x1