2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(新課標(biāo)I卷,解析版1)

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)試題解析（課標(biāo)）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷 1 至 2 頁，第卷 3 至 4 頁。全卷滿分 150 分?？荚嚂r(shí)間 120 分鐘。注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷 1 至 3 頁，第卷 3 至 5 頁。2. 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試題相應(yīng)的位置。3. 全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。4. 考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回。第卷一、 選擇題共 12 小題。每小題 5 分，共 60 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的一項(xiàng)。1、已知集合 A=x| x2 2x&

2、gt; 0， B=x| 5< x< 5，則 （ ）A、AB= B 、 AB=R C 、B? AD、A? B【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運(yùn)算及集合間關(guān)系，是容易題 .【解析】 A=（- ,0） （2,+ ）, A B=R,故選 B.2、若復(fù)數(shù) z 滿足 （3 4i）z |43i | ，則 z 的虛部為 （ ） 44A、 4（B） 5（C）4（D） 5【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，是容易題 .22【解析】由題知 z=|4 3i|= 4 3 （3 4i） =3 4i，故 z 的虛部為 4 ，故選 D.3 4i （3 4i）（3 4i） 5 5

3、 53、為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事 先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力 情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是 （ ） A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B、按性別分層抽樣C、按學(xué)段分層抽樣D、系統(tǒng)抽樣【命題意圖】本題主要考查分層抽樣方法，是容易題 .【解析】因該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣 方法是按學(xué)段分層抽樣，故選 C.解析】由題知，5，即 5=c224a2 b2b2 =1 ，a2 4C 的漸近線方4、已知雙曲線 C ：2 x2 aby22 1( ab20,b

4、0 ）的離心率為111A. y x B.yx C .yxD . y432命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，是簡(jiǎn)單題5 ，則 C 的漸近線方程為2x1程為 y 21 x ，故選 C.C .-4,324t t2 3,4 ，輸出 s 屬于 -3,4 ，故選 A.【命題意圖】本題主要考查球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式，是容易 題.【解析】設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為 R-2，則 R2 (R222)2 42 ，解得 R=5，球的體積為4 533500 33 cm ，故選 A.7、設(shè)等差數(shù)列an 的前n 項(xiàng)和為 Sn， Sm 1 2， Sm 0，Sm 1

5、3，則 m ( )D .-2,5A.-3,4B .-5,2【命題意圖】本題主要考查程序框圖及分段函數(shù)值域求法，是簡(jiǎn)單題解析】有題意知，當(dāng) t 1,1)時(shí)， s 3t 3,3) ，當(dāng) t 1,3 時(shí)， sA、3 命題意圖】am 1Sm 1 - Sm =3 ，公差 d = am1am =1， 3= am 1 = 2 m ， m =5，故選 C. 8、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. 16 8B. 8 8C. 16 16D. 8 16【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖及簡(jiǎn)單組合體體 積公式，是中檔題 .【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為 2 高為 4，上邊

6、放一個(gè)長為 4 寬為 2 高為 2 長方體，故其體積為n 項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式， 考查方程思想， 是容易題 .本題主要考查等差數(shù)列的前解析】有題意知 Sm=m(a1 am ) =0， a1=am=( Sm- Sm 1)=2，1 22 4 4 2 2 = 16 8 ，故選 A.29、設(shè) m為正整數(shù)， (x y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x y)2m 1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 b，若 13 a =7b ，則 m ( )A、5B 、 6C、7D、8命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大值及組合數(shù)公式，考查方程思想，是容易題m1m 1 ，解析】由題知 a=C2mm，b=C2mm11，13

7、C2mm=7C2mm11，即13 (2m)! =7 (2m 1)!， m!m! (m 1)!m!解得 m =6，故選 B.22xy10、已知橢圓 2 2 1( a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0) ，過點(diǎn)F 的直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 1)，則 E的方程為2 2 2 2 x yx yA、 1B、 145 3636 27命題意圖】本題主要考查橢圓中點(diǎn)弦的問題，是中檔題( )22 xy C、 27 18D、22xy 118 9解析】設(shè) A(x1, y1),B(x2, y2)，則 x1 x2 =2， y1 y2 = 2，22ax122 by122 1 2x22

8、a2by222 1得 (x1 x2)(x1 x2 )(y1y2)( y1 y2)b20， kAB =x1 x222y1 y2 b (x1 x2) =b ，又 02 = 2 ，又 kAB =a2(y1 y2) a1=1312b22 a12 ，又 9=c2=a2b2，得 b2 =9， a2=18，22橢圓方程為 x y 1 ，故選 D.18 9x211、已知函數(shù) f (x) =ln(x2x,x 0，若| f(x)| ax，則 a的取值范圍是1),x 0A. ( ,0B. ( ,1C .-2,1D .-2,0命題意圖】本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的解法，是難題。解析】 | f (x)

9、|=2x 2x,x 0 ， 由 | f (x) | ax 得 ， ln(x 1),x 0x0x2 2xaxx0ln(x1)axx由2x2x可得axx 2，則 a -2 ，排除，當(dāng) a=1 時(shí)，易證 ln(x1)x對(duì) x 0恒成立，故 a =1不適合，排除 C，故選D.12、設(shè) AnBnCn的三邊長分別為 an, bn, cn， AnBnCn的面積為 Sn， n=1,2,3,cnanbn an若 b1>c1，b1c12a1，an1 an， bn1， cn1 2 ，則 (B、 Sn為遞增數(shù)列S2n 為遞減數(shù)列S2n 為遞增數(shù)列A、 Sn為遞減數(shù)列C、 S2n1 為遞增數(shù)列，D、 S2n1 為

10、遞減數(shù)列， 命題意圖】 解析】 B第卷本卷包括必考題和選考題兩個(gè)部分。第(13)題- 第(21)題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第( 22)題 - 第( 24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二填空題：本大題共四小題，每小題5分。13、已知兩個(gè)單位向量 a，b的夾角為60°， ct a (1 t) b，若b·c=0，則t =.【命題意圖】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，是容易題 .2 1 1【解析】 bgc=b?ta (1 t)b=ta?b (1 t)b2= t 1 t=1 t =0，解得 t=2.222114、若數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn an，則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式

11、是 an =.33 【命題意圖】 本題主要考查等比數(shù)列定義、 通項(xiàng)公式及數(shù)列第 n 項(xiàng)與其前 n 項(xiàng)和的關(guān)系， 容易題 .21【解析】當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1 = a1，解得 a1=1，1 1 3 1 3 12 12122當(dāng)n2時(shí)， an=SnSn 1=3an3(3an 13)=3an3an1，即an=2an1，3 33333 an 是首項(xiàng)為 1，公比為 2的等比數(shù)列， an=( 2)n 1.15、設(shè)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù) f(x)sinx2cosx取得最大值，則 cos=【命題意圖】本題主要考查逆用兩角和與差公式、誘導(dǎo)公式、及簡(jiǎn)單三角函數(shù)的最值問題， 是難題 .解析】f (x)=sin x2 5

12、cosx)令 cos= 5 ，=5，sin255，則 f (x) = 5(sin xcossin cosx) = 5 sin( x )當(dāng)x=2k,kz ，即 x =2k ,kz時(shí)，f (x) 取最大值，此時(shí)2225=2k,k z， cos=cos(2k) =sin=.22516、若函數(shù) f (x)=(1 x2)(x2 ax b)的圖像關(guān)于直線 x =2對(duì)稱，則 f (x)的最大值是命題意圖】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是難題解析】由 f (x) 圖像關(guān)于直線 x =2對(duì)稱，則0= f ( 1) f( 3)=1 ( 3)2( 3)2 3a b ，0= f(1) f ( 5)=1

13、 ( 5)2 ( 5)2 5a b，解得 a=8，b=15， f(x)=(1 x2)(x2 8x 15) ，2 2 3 2 f (x)= 2x(x2 8x 15) (1 x2)(2x 8)= 4(x3 6x2 7x 2)= 4(x 2)(x 2 5)(x 2 5)當(dāng) x (, 2 5 )(2, 2 5 )時(shí)， f (x)>0，當(dāng) x( 2 5, 2) ( 2 5,+ )時(shí)， f (x) <0，f （ x）在（， 2 5 ）單調(diào)遞增， 在（ 25 ，2）單調(diào)遞減， 在（ 2， 25）單調(diào)遞增，在（ 2 5 ， + ）單調(diào)遞減，故當(dāng) x=5和 x= 2 5時(shí)取極大值，f ( 2 5)

14、= f ( 2 5) =16.三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17、（本小題滿分 12分）如圖，在 ABC中， ABC90°， AB= 3 ，BC=1， 為 ABC內(nèi)一點(diǎn)， BPC 90°1（1） 若 PB=2，求 PA；（2） 若 APB 150°，求 tan PBA【命題意圖】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及兩角和與差公式，是容易 題.解析 】（）由已知得，PBC=60o ，PBA=30o，在PBA中，由余弦定理得PA2=3）3 sin150o tan3 1 cos30o = 7 ， PA= 7 ；242PBA= ， 由 已

15、 知 得 ， PB= sin ， 在 PBA 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ，sin sin(30o)，化簡(jiǎn)得， 3cos 4sin= 3， tan4PBA= 4318、（本小題滿分 12 分）如圖，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA=CB， AB=A A1，A1=60°.()證明 ABA1C;）若平面 ABC平面 AA1B1B， AB=CB=2，求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直 的判定與性質(zhì)及線面角的計(jì)算，考查空間想象能 力、邏輯推論證能力，是容易題 .【解析】 （）取 AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE， A1B ，A1E

16、， AB= AA1 ， BAA1 = 600 ， BAA1是正三角形， A1E AB， CA=CB， CEAB， CE A1E =E， AB面 CEA1 ，AB A1C ；6分）由（）知 ECAB， EA1 AB，又面 ABC面 ABB1A1 ，面 ABC面 ABB1 A1 =AB，EC面 ABB1A1 ， EC EA1， EA， EC， EA1兩兩相互垂直，以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，uuur uuur EA的方向?yàn)?x軸正方向， | EA| 為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O xyz ，有 題 設(shè) 知 A(1,0,0), A1 (0,3 ,0),C(0,0,uuru3 ),B( 1,0,0)

17、, 則 BC = ( 1,0 ，uuur uuur3 ) , BB1 = AA1 =( 1,0, 3 ),uuurA1C =(0, 3 , 3),9分設(shè)n=（x,y,z） 是平面 CBB1C1的法向量，uuur n ?BCuuurn ?BB10 ，即0x 3zx 3y0，可取 n=（ 3，1，-1），0uuur cos n, A1Cuuurn?A1C10uu1ur，| n | A1C | 5直線 A1C 與平面 BB1C1C所成角的正弦值為512 分19、（本小題滿分 12 分） 一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，這 4件產(chǎn) 品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n。如果

18、 n=3，再從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品， 則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果 n=4，再從這批產(chǎn)品中任取 1 件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否 為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100 元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為 X(單位：元) ，求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望?！久}意圖】【解析】設(shè)第一次取出的 4件產(chǎn)品中恰有 3件優(yōu)質(zhì)品為事件 A，第一次取出的 4 件產(chǎn)品中全 為優(yōu)質(zhì)品為事件 B,

19、第二次取出的 4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件 C，第二次取出的 1 件產(chǎn)品是優(yōu) 質(zhì)品為事件 D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件 E，根據(jù)題意有 E=(AB) (CD), 且 AB與 CD互斥，3 1 2 1 1 4 1 4 1 3P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C43( )2 ( )4+( )4 = . 6 分4 2 2 2 2 2 64() X 的可能取值為 400,500,800 ，并且1 1 1 11 1 1 1 1P(X=400)=1- C43(1)3 1 (1)4=11，P(X=500)= 1 ，P(X=800)= C43(1)3 1=1，4 2 2

20、 2 16 16 4 2 2 4X 的分布列為X 405800000P 1111161410 分1111EX=400× +500× +800× =506.25 12 分16164(20) ( 本小題滿分 12 分 )已知圓 M : (x 1)2 y2 1,圓 N: (x 1)2 y2 9,動(dòng)圓 P與M 外切并且與圓 N 內(nèi)切，圓 心 P 的軌跡為曲線 C.()求 C 的方程；()l 是與圓 P,圓 M 都相切的一條直線， l 與曲線 C交于 A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓 P的半徑最長時(shí)， 求|AB|.【命題意圖】【解析】由已知得圓 M 的圓心為 M(-1，0),半徑 r1 =

21、1，圓N的圓心為 N (1,0), 半徑r2 =3. 設(shè)動(dòng)圓 P 的圓心為 P ( x ， y )，半徑為 R.)圓 P與圓M 外切且與圓 N內(nèi)切， |PM|+|PN|= (R r1) (r2 R)=r1 r2=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，場(chǎng)半軸長為 2，短半軸長為 3的橢圓 (左頂x2點(diǎn)除外 ) ，其方程為 x42y1(x 2) .3()對(duì)于曲線 C上任意一點(diǎn) P( x， y )，由于 |PM|-|PN|= 2R 22，R2, 當(dāng)且僅當(dāng)圓 P的圓心為( 2， 0)時(shí)， R=2.當(dāng)圓 P的半徑最長時(shí)，其方程為 (x 2)2 y2 4 ， 當(dāng)l的傾斜角為 900時(shí)，則 l與

22、y軸重合，可得 |AB|= 2 3.當(dāng)l 的傾斜角不為 900時(shí)，|QP | R| r1由 r1 R知l不平行 x軸，設(shè) l與x軸的交點(diǎn)為 Q，則|QQMP | =R，可求得Q(-4 ， 0)，設(shè) l ：y k(x 4) ，|3k|由 l 于圓 M相切得1 ，解得 k1 k2當(dāng) k= 24時(shí)，將 y22 代入 x42y32 1(x22) 并整理得 7x2 8x 80 ，解得462x1,2 =7當(dāng)k= 2 時(shí)，4， |AB|= 1 k2 |x1 x2 |=1818 由圖形的對(duì)稱性可知 |AB|= ，7綜上， |AB|= 18 或|AB|= 2 3. 7(21) (本小題滿分共 12 分)已知函數(shù)

23、 f(x) x2 ax b，g(x) ex(cx d) ，若曲線 y f (x)和曲線 y g(x)都過點(diǎn)P(0， 2) ，且在點(diǎn) P 處有相同的切線 y 4x 2()求 a， b，c， d的值()若 x2時(shí)， f(x)kg(x)，求 k的取值范圍?！久}意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、 函數(shù)最值，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí) , 是中檔題 .【解析】()由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4,g (0) 4，而 f (x)=2xb，g (x)=ex(cx dc)， a=4 ， b=2 ，c=2 ， d =2 ；4分()由()知，f (x

24、)x2 4x2，g(x) 2ex (x1)，設(shè)函數(shù) F(x) =kg(x)f (x)=2kex(x1)2x 4x 2 ( x2)，有題設(shè)可得 F (0) 0，即 k 1，令 F (x) =0得， x1= lnk，x2=2，(1)若1 k e2 ，則 2< x1 0，當(dāng) x ( 2, x1)時(shí)，F(xiàn) (x) <0，當(dāng) x (x1, )時(shí)，F(xiàn)(x)>0，即F(x)在( 2, x1)單調(diào)遞減， 在(x1, )單調(diào)遞增， 故F(x)在x=x1取最小值 F(x1)，2而 F(x1)=2x1 2 x1 4x1 2= x1(x1 2)0，當(dāng) x2時(shí)， F(x)0，即 f (x)kg(x)恒成

25、立，(2) 若 k e2，則 F (x) =2e2(x 2)(ex e2)，當(dāng) x2時(shí)， F (x)0， F ( x)在( 2,+ )單調(diào)遞增，而 F( 2) =0，當(dāng) x2時(shí)， F(x)0，即 f (x)kg(x)恒成立，(3) 若 k e2，則 F( 2)= 2ke 2 2= 2e 2(k e2)<0，當(dāng) x2時(shí)， f (x)kg(x) 不可能恒成立，綜上所述， k 的取值范圍為 1, e2.請(qǐng)考生在第( 22)、( 23)、( 24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。(22) (本

26、小題滿分 10 分)選修 41：幾何證明選講如圖，直線 AB為圓的切線，切點(diǎn)為 B，點(diǎn) C 在圓上， ABC的角平分 線 BE 交圓于點(diǎn) E， DB垂直 BE 交圓于 D。()證明： DB=DC；()設(shè)圓的半徑為 1，BC=，延長 CE交 AB 于點(diǎn) F，求BCF外接圓的半徑。 【命題意圖】本題主要考查幾何選講的有關(guān)知識(shí)，是容易題 . 【解析】()連結(jié) DE，交BC與點(diǎn) G.由弦切角定理得， ABF= BCE， ABE= CBE， CBE=BCE， BE=CE， 又 DBBE， DE是直徑， DCE=900 ，由勾股定理可得 DB=DC.)由()知，CDE=BDE，BD=DC，故 DG是BC的中垂線， BG= 3設(shè)DE中點(diǎn)為 O，連結(jié) BO，則 BOG=60o ， ABE= BCE= CBE=30o ， CFBF，Rt BCF的外接圓半徑等于32（ 2