初中數學絕對值問題探究

1、    初中數學絕對值問題探究    曹恒【摘 要】初中生對絕對值問題的理解，常常不那么深入，往往是定義背得熟透了，一到回答問題或者寫作業(yè)的時候就老是犯錯誤，只停留在死記硬背定義的層面，不能靈活運用，我們首先對絕對值問題進行深入講解，然后結合足夠例子的演講，以期能提供給初中數學老師參考，共同搞好初中數學教學?！娟P鍵詞】絕對值；正數；數軸；原點；距離： g633.6 ： a ： 2095-2457（2018）34-0240-002doi：10.19694/ki.issn2095-2457.2018.34.099如果一個數是正數，那么它的絕對值就是它自己；如

2、果一個數是負數，那么它的的絕對值就是它的相反數；如果一個數是零，那么它的絕對值就是零。即：一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。這樣一來，任何數的絕對值都是非負數?；喓^對值的式子，關鍵的地方是去絕對值符號，先根據所給的條件，確定絕對值符號內的數a的正負（即a>0，a<0還是a=0）。如果已知條件沒有給出其正負，應該分類討論（即分別討論a>0，a<0和a=0的情形）。分類思想是數學中一種非常重要的思想。以下我們用具體例子來加以說明。例l.x+1+x-1的最小值是（ ）。a.2 b.0 c.1 d.-1【分析】常規(guī)方法是去掉絕對值，分類討論，但我們還可從絕

3、對值幾何意義入手。【解法一】分類討論：當x<-1時，x+1+x-1=-（x+1）-（x-1）=-2x>2；當-1？燮x？燮1時，x+1+x-1=x+1-（x-1）=2；當x>l時，x+1+x-1=x+1+（x-1）=2x>2.比較可知，x+1+x-1的最小值是2，選a?！窘夥ǘ?由絕對值的幾何意義知，x-1表示數x所對應昀點與數1所對應的點之間的距離；x+1表示數x所對應的點與數-1所對應的點之間的距離；x+1+x-1的最小值是指到點1與點-1兩點之間距離之和的最小值，如圖1。易知，當-1？燮x？燮1時，x+1+x-1的值最小，最小值是2，故選a。例2.若a+b+1與

4、（a-b+1）互為相反數，則a與b的大小關系是（ ）。a.a>b b.a=b c.a< p>【分析】互為相反數的兩數之和為0，若這兩數均為非負數，則這兩數均為0?！窘夥ㄒ弧恳驗閍+b+1？叟0，（a-b+1）2？叟0，且a+b+1與（a-b+1）2互為相反數，而互為相反數的兩個數：一個不大于0，另一個不小于0。所以，即，解得。故a< p>【解法二】 由解法一知a-b+1=0，所以b=a+l，所以a< p>例3.下列選項中，（ ）的解集如圖2所示。a.x-4<3 b.x-4>3 c.x+4<3 d.x+4>3【分析】這是一道關于數

5、形結合的絕對值問題，應考慮絕對值的幾何意義：x-4表示在數軸上點x離開點4的距離?！窘狻?對于a有1<x7或x<1；對于c有-7<x<-1；對于d有x>-l或x<-7，所以選c?！咎矫堋?.解絕對值問題常與數軸緊密相連.若能理解絕對值的幾何意義和數軸間的關系，本題求解就會得心應手了。2.從數軸上獲取有關信息是解有理數問題的常用技巧，主要包括：數軸上的點所表示的數的正負性；數軸上的點到原點的距離。例4.如果m-3+（n+2）=0，則方程3mx+1=x+n的解是_?！痉治觥?想辦法先去絕對值，再解方程?！窘狻?由絕對值的性質，得m-3？叟0，又（n+2）2？叟0.所以m-3=0且n+2=0，解得m=3，n=-2。于是，方程3mx+1=x+n轉化為9x+l=x-2，解得x=-。【參考文獻】1李益鋒.找尋那最初的“模樣”絕對值函數最值問題的探討j.中學數學教學，2018年04期，56-60.2樊友年.數形結合解一次絕對值函數若干問題j.中等數學，2000年01期，71-73.3周學文，南山，姜文清.含絕對值的函數j.中學數學教學參考，199