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1、 初中數(shù)學(xué)絕對值問題探究 曹恒【摘 要】初中生對絕對值問題的理解,常常不那么深入,往往是定義背得熟透了,一到回答問題或者寫作業(yè)的時(shí)候就老是犯錯(cuò)誤,只停留在死記硬背定義的層面,不能靈活運(yùn)用,我們首先對絕對值問題進(jìn)行深入講解,然后結(jié)合足夠例子的演講,以期能提供給初中數(shù)學(xué)老師參考,共同搞好初中數(shù)學(xué)教學(xué)。【關(guān)鍵詞】絕對值;正數(shù);數(shù)軸;原點(diǎn);距離: g633.6 : a : 2095-2457(2018)34-0240-002doi:10.19694/ki.issn2095-2457.2018.34.099如果一個(gè)數(shù)是正數(shù),那么它的絕對值就是它自己;如
2、果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù),那么它的的絕對值就是它的相反數(shù);如果一個(gè)數(shù)是零,那么它的絕對值就是零。即:一個(gè)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。這樣一來,任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)?;喓^對值的式子,關(guān)鍵的地方是去絕對值符號,先根據(jù)所給的條件,確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)a的正負(fù)(即a>0,a<0還是a=0)。如果已知條件沒有給出其正負(fù),應(yīng)該分類討論(即分別討論a>0,a<0和a=0的情形)。分類思想是數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想。以下我們用具體例子來加以說明。例l.x+1+x-1的最小值是( )。a.2 b.0 c.1 d.-1【分析】常規(guī)方法是去掉絕對值,分類討論,但我們還可從絕
3、對值幾何意義入手?!窘夥ㄒ弧糠诸愑懻摚寒?dāng)x<-1時(shí),x+1+x-1=-(x+1)-(x-1)=-2x>2;當(dāng)-1?燮x?燮1時(shí),x+1+x-1=x+1-(x-1)=2;當(dāng)x>l時(shí),x+1+x-1=x+1+(x-1)=2x>2.比較可知,x+1+x-1的最小值是2,選a。【解法二】 由絕對值的幾何意義知,x-1表示數(shù)x所對應(yīng)昀點(diǎn)與數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;x+1表示數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;x+1+x-1的最小值是指到點(diǎn)1與點(diǎn)-1兩點(diǎn)之間距離之和的最小值,如圖1。易知,當(dāng)-1?燮x?燮1時(shí),x+1+x-1的值最小,最小值是2,故選a。例2.若a+b+1與
4、(a-b+1)互為相反數(shù),則a與b的大小關(guān)系是( )。a.a>b b.a=b c.a< p>【分析】互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0,若這兩數(shù)均為非負(fù)數(shù),則這兩數(shù)均為0?!窘夥ㄒ弧恳?yàn)閍+b+1?叟0,(a-b+1)2?叟0,且a+b+1與(a-b+1)2互為相反數(shù),而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù):一個(gè)不大于0,另一個(gè)不小于0。所以,即,解得。故a< p>【解法二】 由解法一知a-b+1=0,所以b=a+l,所以a< p>例3.下列選項(xiàng)中,( )的解集如圖2所示。a.x-4<3 b.x-4>3 c.x+4<3 d.x+4>3【分析】這是一道關(guān)于數(shù)
5、形結(jié)合的絕對值問題,應(yīng)考慮絕對值的幾何意義:x-4表示在數(shù)軸上點(diǎn)x離開點(diǎn)4的距離。【解】 對于a有1<x7或x<1;對于c有-7<x<-1;對于d有x>-l或x<-7,所以選c?!咎矫堋?.解絕對值問題常與數(shù)軸緊密相連.若能理解絕對值的幾何意義和數(shù)軸間的關(guān)系,本題求解就會(huì)得心應(yīng)手了。2.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧,主要包括:數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)的正負(fù)性;數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。例4.如果m-3+(n+2)=0,則方程3mx+1=x+n的解是_?!痉治觥?想辦法先去絕對值,再解方程?!窘狻?由絕對值的性質(zhì),得m-3?叟0,又(n+2)2?叟0.所以m-3=0且n+2=0,解得m=3,n=-2。于是,方程3mx+1=x+n轉(zhuǎn)化為9x+l=x-2,解得x=-。【參考文獻(xiàn)】1李益鋒.找尋那最初的“模樣”絕對值函數(shù)最值問題的探討j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2018年04期,56-60.2樊友年.數(shù)形結(jié)合解一次絕對值函數(shù)若干問題j.中等數(shù)學(xué),2000年01期,71-73.3周學(xué)文,南山,姜文清.含絕對值的函數(shù)j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,199
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