初中數(shù)學(xué)絕對值問題探究

1、    初中數(shù)學(xué)絕對值問題探究    曹恒【摘 要】初中生對絕對值問題的理解，常常不那么深入，往往是定義背得熟透了，一到回答問題或者寫作業(yè)的時(shí)候就老是犯錯(cuò)誤，只停留在死記硬背定義的層面，不能靈活運(yùn)用，我們首先對絕對值問題進(jìn)行深入講解，然后結(jié)合足夠例子的演講，以期能提供給初中數(shù)學(xué)老師參考，共同搞好初中數(shù)學(xué)教學(xué)。【關(guān)鍵詞】絕對值；正數(shù)；數(shù)軸；原點(diǎn)；距離： g633.6 ： a ： 2095-2457（2018）34-0240-002doi：10.19694/ki.issn2095-2457.2018.34.099如果一個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么它的絕對值就是它自己；如

2、果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么它的的絕對值就是它的相反數(shù)；如果一個(gè)數(shù)是零，那么它的絕對值就是零。即：一個(gè)數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。這樣一來，任何數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)?；喓^對值的式子，關(guān)鍵的地方是去絕對值符號，先根據(jù)所給的條件，確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)a的正負(fù)（即a>0，a<0還是a=0）。如果已知條件沒有給出其正負(fù)，應(yīng)該分類討論（即分別討論a>0，a<0和a=0的情形）。分類思想是數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想。以下我們用具體例子來加以說明。例l.x+1+x-1的最小值是（ ）。a.2 b.0 c.1 d.-1【分析】常規(guī)方法是去掉絕對值，分類討論，但我們還可從絕

3、對值幾何意義入手?！窘夥ㄒ弧糠诸愑懻摚寒?dāng)x<-1時(shí)，x+1+x-1=-（x+1）-（x-1）=-2x>2；當(dāng)-1？燮x？燮1時(shí)，x+1+x-1=x+1-（x-1）=2；當(dāng)x>l時(shí)，x+1+x-1=x+1+（x-1）=2x>2.比較可知，x+1+x-1的最小值是2，選a。【解法二】 由絕對值的幾何意義知，x-1表示數(shù)x所對應(yīng)昀點(diǎn)與數(shù)1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；x+1表示數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；x+1+x-1的最小值是指到點(diǎn)1與點(diǎn)-1兩點(diǎn)之間距離之和的最小值，如圖1。易知，當(dāng)-1？燮x？燮1時(shí)，x+1+x-1的值最小，最小值是2，故選a。例2.若a+b+1與

4、（a-b+1）互為相反數(shù)，則a與b的大小關(guān)系是（ ）。a.a>b b.a=b c.a< p>【分析】互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，若這兩數(shù)均為非負(fù)數(shù)，則這兩數(shù)均為0?！窘夥ㄒ弧恳?yàn)閍+b+1？叟0，（a-b+1）2？叟0，且a+b+1與（a-b+1）2互為相反數(shù)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)：一個(gè)不大于0，另一個(gè)不小于0。所以，即，解得。故a< p>【解法二】 由解法一知a-b+1=0，所以b=a+l，所以a< p>例3.下列選項(xiàng)中，（ ）的解集如圖2所示。a.x-4<3 b.x-4>3 c.x+4<3 d.x+4>3【分析】這是一道關(guān)于數(shù)

5、形結(jié)合的絕對值問題，應(yīng)考慮絕對值的幾何意義：x-4表示在數(shù)軸上點(diǎn)x離開點(diǎn)4的距離。【解】 對于a有1<x7或x<1；對于c有-7<x<-1；對于d有x>-l或x<-7，所以選c?！咎矫堋?.解絕對值問題常與數(shù)軸緊密相連.若能理解絕對值的幾何意義和數(shù)軸間的關(guān)系，本題求解就會(huì)得心應(yīng)手了。2.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括：數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)的正負(fù)性；數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。例4.如果m-3+（n+2）=0，則方程3mx+1=x+n的解是_?！痉治觥?想辦法先去絕對值，再解方程?！窘狻?由絕對值的性質(zhì)，得m-3？叟0，又（n+2）2？叟0.所以m-3=0且n+2=0，解得m=3，n=-2。于是，方程3mx+1=x+n轉(zhuǎn)化為9x+l=x-2，解得x=-。【參考文獻(xiàn)】1李益鋒.找尋那最初的“模樣”絕對值函數(shù)最值問題的探討j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018年04期，56-60.2樊友年.數(shù)形結(jié)合解一次絕對值函數(shù)若干問題j.中等數(shù)學(xué)，2000年01期，71-73.3周學(xué)文，南山，姜文清.含絕對值的函數(shù)j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，199