分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)培優(yōu)講義精品

1、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)培優(yōu)講義（精品）作者: 日期:小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題閱讀與思考分?jǐn)?shù)、白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，它是整數(shù)應(yīng)用題的加深和擴展。同時，它 也有其獨有的特點和規(guī)律，它的數(shù)量關(guān)系與“量”、“率”相聯(lián)系。它的最基本類型有三種：1. 求一個數(shù)是另一個數(shù)的兒分之兒（或百分之兒）；2. 求一個數(shù)的兒分之兒（百分之兒）是多少；3. 已知一個數(shù)的兒分之兒（百分之兒）是多少，求這個數(shù)。解答分?jǐn)?shù)、白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是：首先要分清哪個量是標(biāo)準(zhǔn)量單位“1”，哪個量是比 較量（或部分量），然后找出與之相對應(yīng)的分率。典型例題例1乙數(shù)是中數(shù)的丙數(shù)是乙數(shù)的纟，丙數(shù)是甲數(shù)的兒分之兒？4 5【分析與解

2、】如下圖所示，把甲數(shù)看作“1”，用長方形表示。乙數(shù)是中數(shù)的畫斜線4表示，丙數(shù)是乙數(shù)的土，畫網(wǎng)線表示。5（1） （2）從圖看出：丙數(shù)是甲數(shù)的2和纟，即-x- = -。把甲數(shù)看作單位"1”，丙數(shù)就對應(yīng)著二454 555的 343ffiT： x =-4 55答：丙數(shù)是屮方數(shù)3。訓(xùn)練快餐1一根水管，第一次截去全長的丄，笫二次截去余下的？，兩次共截去全長的兒分之兒？43例2中數(shù)的。等宇乙數(shù)的二，屮數(shù)是乙數(shù)的兒分之兒？乙數(shù)是屮數(shù)的兒分之兒？5 3【分析與解】根據(jù)題中的條件可寫出數(shù)量關(guān)系式：Vx-=乙2,把“甲”、“° ”看作535兩個因數(shù)，乙X?看作積，則甲=乙x-o甲=乙X-,所以，

3、求甲數(shù)是乙數(shù)的兒分之兒 33 59用：2一2 = 12。同理，求乙數(shù)是甲數(shù)的兒分之兒用：- = -o3 595310何 23103293 595310答：甲數(shù)是乙數(shù)的巴，乙數(shù)是甲數(shù)的2。910訓(xùn)練快餐2六年級學(xué)生人數(shù)的3等于五年級學(xué)生人數(shù)的？，六年級學(xué)生人數(shù)是五年級的兒分之兒？ 46五年級學(xué)生人數(shù)是六年級的兒分之兒？令五年級13 5六年級x-=lx-4 6亠斤m 53545六年級=_=>< = 6 46 39例3紅光村修一條水渠，第一周修了全長的丄，第二周修了余下的？，第二周比第一周 45多修了 15米。這條水渠全長多少米？21【分析與解】依題意可得，把“第二周修了余下的幺”轉(zhuǎn)化成

4、“第二周所修全長的(1-)54X ?即可得岀15米占全長的510解 15 + (1一*|一扌=300 (米)答：這條水渠全長300米。訓(xùn)練快餐3華聯(lián)超市購入一批水果，蘋果的筐數(shù)占總筐數(shù)的55%,比其他水果的筐數(shù)多10筐。這批水果共有多少筐？例4工人王師傅要加工-批零件，第-天加工的零件比這批零件的護多21個，第二天加工的零件比這批零件的丄少6個,還剩下172個沒有加工。王師傅一共加工多少個零件？6【分析與解】此題中雖然單位“1”數(shù)量沒有變化，但“量”與“率”之間搓系不太明顯, 可畫線段圖幫助分析。答：王師傅一共要加工264個零件。訓(xùn)練快餐4機械廠要加工一批零件，屮車間加工這批零件的20%,乙車

5、間加工余下的25%,丙車間加 工的比乙余下的40%少100個，這時還剩下3700個零件沒有加工。這批零件共有多少個？例5中百超市水果臺上放有一些水果，第一次賣出？后，超市營業(yè)員乂放入60千克水 5果，第二次乂賣出水果臺上水果的丄后，水果臺上還剩下水果180千克，問水果臺上原有水 3果多少千克？【分析與解】根據(jù)“第二次乂賣出水果臺上水果的可知，剩下的180千克是放入60千克水果后水果臺上水果的則第一次賣出后水果有180 一 1# 60 = 210千克。而這210千克是原有水果的(-1),山此可得原有水果的總重量。解:180 一 111-603丿350 (千克)答：水果臺原冇水果350克。訓(xùn)練快餐

6、525張強看-本故事書，第-天看了全書的；，第二天看了剩下的還有36頁沒有看，這本故事書一共有多少頁?例6某工廠把制衣任務(wù)按5:3分給甲、乙兩個車間，甲車間實際制衣960套，超過原分 配任務(wù)的20%,原計劃乙車間要制衣多少套？解：9604- （1 + 20%） =80003800x- = 480 （件）5答：原計劃乙車間要制衣480套。例7兩個車間，甲車間人數(shù)是乙車間的？，乙車間調(diào)走48人后，甲車間人數(shù)比乙車間8少丄，甲車間多少人？4方法仁解：= ±448一一 = 180 （人）15答：甲車間有180人。方法2：解：設(shè)乙車間有X人，5 1 二 x = （x_48）x 1-84）53

7、站x = x-3684x = 288288x- = 18O （人）8答：甲車間有180人。能力檢測31、某校男生人數(shù)是女生人數(shù)的二，女生人數(shù)是男生人數(shù)的兒分之兒？42、乙數(shù)是屮數(shù)的丄，內(nèi)數(shù)是乙數(shù)的上，丙數(shù)是屮數(shù)的兒分之兒？4 53、中數(shù)是丙數(shù)的乙數(shù)是丙數(shù)的？，中數(shù)是乙數(shù)的兒分之兒？4 54、修一條長2400米的公路，第一天修了全長的丄，第二修了余下的丄，還剩下多少米沒 43有修完?5、某校六(1)班有學(xué)生46人，六(2)班學(xué)生人數(shù)比全年級人數(shù)的丄多2人。這兩個班3人數(shù)的和共占全年級人數(shù)的丄，六年級共有學(xué)生多少人？76、王永騎摩托車從家去東湖，走了全程的。后，剩下的路程比已經(jīng)走過的多3千米。王8

8、永家到東湖的路程有多少千米？7、一艘輪船從甲港開往乙港，第一天走了全程的°,第二天走了余下路程的？，第三天83走了 250千米到達(dá)乙港，甲、乙兩港相跑多少千米？8、水果店運進一批梨，第一天賣出全部的第二天賣出剩下的丄，第三天比第一天少5 2賣丄，這時還剩下50千克。水果店共運進了多少千克梨？39、某糧食倉庫往外發(fā)出一批大米，第一次運走總數(shù)的丄還多60袋，第二次運走總數(shù)的丄5 4少60袋，不剩220袋沒有運走。這批大米一共有多少袋？】。、小玲和小聰收集各種卡片，如果小玲拿町給小聰，小聰再拿出現(xiàn)有吋給小玲，這 時兩人的卡片張數(shù)相等。原來小玲的卡片張數(shù)是小聰?shù)膬悍诌@兒？百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題知識要點

9、與延抻拓展1. 表示一個數(shù)是另一個數(shù)的白分這兒的數(shù)叫做白分?jǐn)?shù)，白分?jǐn)?shù)也叫白分率或白分比，百 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有三種類型：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之兒；求一個數(shù)的百分之兒是多少；已 知一個數(shù)的百分之兒是多少，求這個數(shù)。2. 一瓶鹽水中有多少鹽，放多少水和放多少鹽才能配成某一濃度的鹽水，這就是我們平 時所說的濃度問題，在進行濃度問題的計算時都要用到白分?jǐn)?shù)，因此有關(guān)濃度的計算也是白 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一個重要內(nèi)容。3. 商店出焦點商品，總是期望獲得利潤。通常，利潤率也可以用百分?jǐn)?shù)來表示，所以利 潤問題也是一種常見的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。4. 求一個數(shù)是另一個數(shù)的白分之兒的應(yīng)用題，解答時一般從問題入手進行分析，弄清把 誰

10、看做單位“1”，誰和“1”比，就用誰去除以單位“1”，這類問題也是“百分率”的問題， 如“出勤表”“出粉率”等。5. 求一個數(shù)的百分之兒是多少，或已知一個數(shù)的百分之兒是多少，求這個數(shù)。這種典型 的白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法是一致的。首先要找出題LI中的關(guān)鍵問進行分析， 通過分析關(guān)鍵句，確定把什么看做單位“1”，找出解題的數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘除法的 意義列式解答。6. 濃度問題是白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一個重要部分，解答濃度問題，要理解濃度的含義及相關(guān) 的數(shù)量關(guān)系式。濃度=溶質(zhì)十（溶質(zhì)+溶劑）溶質(zhì)=溶液X濃度7. 利潤問題與我們平時的生活實際聯(lián)系十分緊密，解答利潤問題首先要理解以下的關(guān)系。利潤

11、=賣價（定價）一成本（進價）利潤率=（定價一進價）一進價競賽能力要求1. 理清求一個數(shù)是另一個數(shù)的白分之兒的應(yīng)用題的解題思路，體驗對不同類型的百分之 數(shù)應(yīng)用題的探究過程，總結(jié)出白分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律，并能結(jié)合主活實際，靈活運用解題 方法來正確解答相關(guān)的題目。2. 理清稀釋、蒸發(fā)以及兩種溶液混合等相關(guān)濃度問題的解題思路，會靈活運用各種方法 來正確解答濃度問題，并提高解決實際問題的能力。3. 理清求利潤、求成本、求利潤率等相關(guān)利潤問題的解題思路，并能結(jié)合生活實際，總 結(jié)利潤問題的解題規(guī)律。解題技巧與方法1. 在解答求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之兒應(yīng)用題時，要從問題入手進行分析，首先要弄 清求誰是誰的百

12、分之兒，確定把誰看做單位“1”，誰和“1”去比，最后用除法計算。2. 求一個數(shù)的百分之兒或已知一個數(shù)的百分之兒是多少，求這個數(shù)，這類應(yīng)用和分?jǐn)?shù)應(yīng) 用題的解題思路是一致的，一方面要找誰是單位“1”，一方面找準(zhǔn)具體數(shù)量和分率之間的對 應(yīng)關(guān)系。3. 在商品出售過程中，可能出現(xiàn)降低利潤(其至虧本)減價出售，理解“折扣”的相關(guān) 意義。列方程解答相關(guān)的利潤問題是一種比較好的解題方法。4. 在解答濃度問題時，首先要理解濃度的含義及相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，解答復(fù)雜的濃度問題 時，要適當(dāng)?shù)剡\用分步分析，分步列式的方法，也可以列方程解答。例題解說例1小明家的熱水器貯滿了水，一天早晨，小明媽媽用去了 20%,小明爸爸乂用1

13、8升, 小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有貯存量的一半還少3升，問小明家的電熱水器 貯水量是多少升？分析：山題意可知，小明的媽媽用的水是20%,小明的爸爸用水量是18升，小明的爸爸、 媽媽用水后剩下80%少18升，這樣小明的用水量是80%X10%=8%少18X10%=1.8升。三人 用水的總量則是20%+8%再加18 1.8 = 16.2 (升)，三人用水的總量也應(yīng)該是50%多3升。 根據(jù)量和分率相對應(yīng)的關(guān)系很容易求出小明家的電熱水器貯水量的升數(shù)。解：(1-20%) X10%=8%18X10%=1.8?T(18-1.8-3) 4- 50%- (20%+8%)= 13. 2%4-22%=

14、60 (升)答：小明家的電熱水器貯水量是60升。解后反思：在解答口分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，經(jīng)常會岀現(xiàn)單位“1”不統(tǒng)一的情況，這時，就要釆 取轉(zhuǎn)化的方法，先統(tǒng)一單位“1”，而且要保證量等率大小不變，再按照量率相對應(yīng)的關(guān)系來 解答。例2黃河中學(xué)上學(xué)年高中男、女生共有300人，這一學(xué)年度高中男生增加4%,女生增 男增加5%,共增加13人，問這一學(xué)處度黃河中學(xué)男、女生各有多少人？分析：如果假設(shè)這一學(xué)年度黃河中學(xué)高中男生、女生都增加4%,那么增加的數(shù)應(yīng)為300 X4%=12 (人)，這與實際增加的13人相差1人，由此可知，這1人應(yīng)占原女生人數(shù)的5% 4%=1%,再按量率對應(yīng)關(guān)系，求出原來女生的人數(shù)。解：300X4

15、%= 12 (人)(13-12) 4- (5%-4%) =100 (人)100X (1 + 5%) =105 (人)(300-100) X (1+4%) =208 (人)答：這一學(xué)年度黃河學(xué)男生有208人，女生有105人。解后反思：這道題山豈兩個部分量增加的分率不同，不利于從局部入手考慮，可以從整 體切入，找出量與率的關(guān)索，以此為突破口進行解答。例3有兩包糖果，每包中都奶糖、水果糖和巧克力糖，第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的2 , 3 笫一包糖中奶糖占25%,第二包中水果糖占50%,巧克力在第一包糖中所占的白分比是在第二 包糖中所占白分比的兩倍，當(dāng)兩包糖合在一起時，巧克力糖占28%,那么水果糖所占的

16、白分 比是多少？分析：如果設(shè)第二包糖的粒數(shù)是3份，那么第一包糖的粒數(shù)為2份，兩包糖的總粒數(shù)為 5份，第二包糖中水果糖的份數(shù)是3X50%= 1.5份，兩包糖合在一起，巧克力糖的粉數(shù)是5 X28%= 1.4份，乂因為巧克力糖在第一包糖中所占的百分比也是笫二包中所占白分比的2售, 如果把第一包糖中巧克力糖所占的口分比看做“1”，則可求出第一包糖中巧克力實際據(jù)點為 百分比是1.4H- （2 + 3X丄）=40%, 乂知道第一包糖中奶糖占25%,所以第一包糖中水果糖 2所占白分比是1-25%-40%=35%,即水果糖有2X35%=0. 7份，再根據(jù)求白分?jǐn)?shù)的方法算出 最后結(jié)果。解：設(shè)第二包糖的煉數(shù)為3份

17、，由第一包的粒數(shù)為2份，兩包合起來的粒數(shù)就是5份。2X25%=0.5 （份）3X50%= 1.5 （份）5X28%= 1.4 （份）1.44- （2 + 3X 丄）=40%22X （1 一25%40%） =0.7 （份）（0.7+1.5） 4-5=44%答：兩包糖合在一起時，水果糖所占的百分比是44%。解后反思：求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之兒（白分比），關(guān)鍵是要知道這兩個數(shù)（室兩數(shù) 可以是具體的數(shù)量，也可以是份數(shù)），當(dāng)條件紛繁復(fù)雜時，要學(xué)會分?jǐn)?shù)整理，選擇條件，反復(fù) 雜的問題解成兒個簡單的問題來解答。例4有兩堆煤共136噸，某廠從甲堆取走30%,從乙堆中取走丄，這時乙堆剩下的煤恰 4好比原來的總數(shù)

18、的62. 5%少13噸，這個廠從甲堆中取走多少煤？分析：根據(jù)''乙堆剩下的煤恰好比原來總數(shù)的62. 5%少13噸”可以求出乙堆剩下的噸數(shù), 根據(jù)''乙堆取走丄”剩下72噸，可以求出乙堆原來的噸數(shù)，從而求出中堆原來煤的噸數(shù)，最4后根據(jù)求一個數(shù)的百分之兒是多少列式求出中堆取走多少噸煤。解：136- （136X62. 5%-13） 4- （1-1） X30%43= 136-72X-X30%4= 40X30%=12 （噸）答：這個廠從甲堆中取走12噸煤。評注：從這題中可很明顯的看出百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路是-樣的，解答 時要善于抓住題LI中的關(guān)鍵句進行分析，另

19、外在列式時要考慮具體數(shù)量和分率之間的對應(yīng)關(guān) 系。例5有濃度為30%的酒精溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的酒精溶 液，如果再加入同樣多的水，那么酒精深液的濃度為多少？分析：在濃度為30%的酒精溶液中，溶質(zhì)重量與溶液重量的比為30:100,在濃度為24% 的酒精溶液中，溶質(zhì)重量與溶液重量的比為24:100,發(fā)現(xiàn)溶質(zhì)的重量不變，可以設(shè)溶質(zhì)重量 為120份，從而得出水增加的份數(shù)，最后得出若再增加同樣多的水，酒精溶液的濃度。解：30:100 = 120:40024:100=120:500若設(shè)溶質(zhì)的重量為120份，發(fā)現(xiàn)水增加了 500 400 = 100 （份），若再加同樣多的水，此 時

20、酒精溶液的濃度為：120x 100% = 20%500+100答：最后酒精溶液的濃度為20%。解后反思：在濃度問題中，溶質(zhì)的重量不變，溶劑的重量增加，這類問題稱為稀釋問題； 若洛質(zhì)的重量，而溶劑的重量減少，這類問題稱為蒸發(fā)問題，稀釋問題與蒸發(fā)問題的共同特 點是溶質(zhì)的重量是不變量，在解答這兩類問題的應(yīng)用題時，要弄清什么是不變馴，什么是變 量，抓住不變量是解決問題的關(guān)鍵。賽前強化練習(xí)1. 填空題（1）一種商品先降價20%,又漲價20%,現(xiàn)價是原價的（）%。（2）貨車速度是客車的80%,客車比貨車快（）%o（3）一項工程，甲隊獨修12天完成，乙隊獨修15天完成，甲隊的工效比乙隊高（）%o（4）60克鹽加入（）克水可能制成含鹽15%的鹽水。（5）某商品按20%的利潤定價，然后按8. 8折出售，共獲利84元，商品的進價是（） 7U o2. 解答下列各題（1）甲、乙、丙三人，甲的年齡比乙的年齡大20%,乙的年齡比丙大20%,甲比丙的年齡 大百分之兒？（2）有兩包糖果，第一包的粒數(shù)是第二包粒數(shù)的在第