剛體力學參考答案

1、第五章剛體力學參考答案(2014) |一、 選擇題C 1、【基礎訓練2】一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質量為mi和m2的物體(mi v m2),如圖5-7所示.繩與輪之間無相對滑動.若某時刻滑輪 沿逆時針方向轉動，則繩中的張力(A)處處相等.(B)左邊大于右邊.nm2|mi圖5-7(C)右邊大于左邊.(D)哪邊大無法判斷.【提示】:逆時針轉動時角速度方向垂直于紙面向外 ，由于mvm,實際上滑輪在作減 速轉動，角加速度方向垂直紙面向內 ，設滑輪半徑為 R,受右端繩子向下拉 力為T2，左端繩子向下拉力為 Ti,對滑輪由轉動定律得:(T 2-Ti)R=J :D2、【基

2、礎訓練3】如圖5-8所示，一質量為 m的勻質細桿AB, A端靠在粗糙的豎直墻 壁上，B端置于粗糙水平地面上而靜止.桿身與豎直方向成角，則A端對墻壁的壓力大(C)為 mgsinv.(D)不能唯一確定11(A) 為 mgcos v.(B)為 mgtg v42【提示】：因為細桿處于平衡狀態(tài)，它所受的合外力為零，以Na = fBfA Nb =mgmg -sin ： - f Al sinN Alcon ：2三個獨立方程有四個未知數(shù)，不能唯一確定。A圖5-8B為參考點，外力矩也是平衡的，則有:C 3、基礎訓練(7) 一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸0轉動，如圖5-11射來兩個質量相同，速度大小相同，方

3、向相反并在一條直線上的子彈，子彈射入圓盤并且留在盤內，則子彈射入后的瞬間，圓盤的角速度(A)增大.(C)減小.(B)不變.(D)不能確定.m <1【提示】:把三者看作同一系統(tǒng)時 設L為每一子彈相對與，系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒。O點的角動量大小，3 0為子彈射入前圓盤的角速度，3為子彈射入后的瞬間與圓盤共同的角速度，J為圓盤的轉動慣量，J子彈為子彈轉動慣量，據(jù)角動量守恒定律有：J 0 L - L =(J J子彈)-J J子彈C 4、【自測提高4】光滑的水平桌面上，有一長為 2L、質量為m的勻質細桿，可繞過其 中點且垂直于桿的豎直光滑固定軸 0自由轉動，其轉動慣量為 -mL2，起

4、初桿靜止桌面上3有兩個質量均為 m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同速率v相向運動，如圖5-19所示當兩小球同時與桿的兩個端點發(fā)生完全非彈性碰撞后，就與桿粘2v(A)3L(B)4v5L(C) 6v7L【提示】：視兩小球與細桿為系統(tǒng)，碰撞:過程中系統(tǒng)所在一起轉動，則這一系統(tǒng)碰撞后的轉動角速度應為(D) 9L(E) 12v 7Lv令$ v0俯視圖圖 5-19滿足角動量守恒條件，所以lmv lmv2 2 1 2二ml2 ml2m(2l)2 12可得答案（C）A 5、【自測提高7】質量為m的小孩站在半徑為 R的水平平臺邊緣上平臺可以繞通過 其中心的豎直光滑固定軸自由轉動，轉動慣量為

5、 丄平臺和小孩開始時均靜止當小孩突然 以相對于地面為 v的速率在臺邊緣沿逆時針轉向走動時， 貝U此平臺相對地面旋轉的角速度和 旋轉方向分別為（A）二-，順時針.JIr .丿2mR(B)JR(C)mR2 v_J mR2 R ，順時針.(D)mR2 vJ mR2 R,逆時針.【提示】：視小孩與平臺為一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)所受的外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒：Rmv mR2 v、O=Rmv-J，可得（一）。J J R二、填空題1、【基礎訓練8】繞定軸轉動的飛輪均勻地減速，t = 0時角速度為 =5rad s , t= 20s時角速度為:-0.8 0 ,則飛輪的角加速度：=-0.05 rad/s2 , t =

6、0到t= 100 s時間內飛輪所 轉過的角度 v - . 250rad .【提示】：飛輪作勻變速轉動，據(jù).=0 譏，可得出：1 =:0 - 2 二-0.05rad. s1據(jù)V - - .0tt2可得結果。22、【基礎訓練10】如圖5-13所示，P、Q、R和S是附于剛性輕質細桿上的質量分別為4m、3m、2m和m的四個質點，PQ= QR= RS= I,則系統(tǒng)對 00 軸的轉動慣量為 50ml2?！咎崾尽浚? 2 2 2J =4m(3l)3m(2l) 2ml 0 = 50ml圖 5-13R)3、【基礎訓練12】 如圖5-14所示，滑塊A、重物B和滑輪C的質量分別為 mA、mB和me, 1滑輪的半徑為

7、R,滑輪對軸的轉動慣量 J=mcR2滑 塊A與桌面間、滑輪與軸承之間均2無摩擦，繩的質量可不計，繩與滑輪之間無相對滑動滑塊A的加速度2mBg2(mA mB) meC .QAB1圖 5-14【提示】：由轉動定律得TbTbR -TaR 二 J :(1)Gb -Tb - mBa(2)Ta 二 mAaa =聯(lián)立以上4式，可解得:Gba =2mBgf(2 mA mB mc4、【自測提高9】一長為I、質量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質量為2m和m的小球，桿可繞通過其中心 O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內轉動.開始桿與水平方向 成某一角度K處于靜止狀態(tài)，如圖5-21所示釋放后，桿繞 O軸轉動則當桿

8、轉到水平位 置時，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M = mgl /2，此時該系統(tǒng)角加速度的大小 P =空.3I【提示】:M = 2mgl / 2-mgl/2 二 mgl / 2- =M =mgl=一 一 2 2 J 2m(l /2) m(l /2) 3l圖 5-215、【自測提高12】一根質量為 m、長為I的均勻細桿，可在水平桌面上繞通過其一端的豎直固定軸轉動已知細桿與桌面的滑動摩擦系數(shù)為=u m2【提示】:在細桿長x處取線元dx，它所受到的摩擦力矩，則桿轉動時受的摩擦力矩的大小為dM f =卩 dm g，x = A f dx g x，則Jmgl2三、計算題1、 【基礎訓練16】一轉動慣量為J的

9、圓盤繞一固定軸轉動，起初角速度為°，設它所受阻1力矩與轉動角速度成正比， 即M二-k （k為正的常數(shù)），求圓盤的角速度從0變?yōu)?02 時所需時間.解 : M 二-k 根據(jù) M =：J2 -J d 'dt可得 Mdt = Jd國代入M=-k有：-kdt = Jdco1 1兩邊積分: 1一型0三唱過謬評所所得得t L世2k k2、【基礎訓練18】如圖5-17所示、質量分別為 m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起， 可以繞通過盤心且垂直盤面的水平光滑固定軸轉動，對轉軸的轉動慣量為9mr2/2，大小圓盤邊緣都繞有繩子，繩子下端都掛一質量為m的重物，求盤的角加速度

10、的大小.解：受力情況如圖5-17, T, =T, , T2 =T2mg -T, = ma, E - mg 二 ma2 Ti2r Jr = J 13 = 2 r ： a2 二 r ：聯(lián)立以上幾式解得113、【自測提高16】如圖5-24所示，長為I的輕桿，兩端各固定質量分別為 m和2m的小球,12桿可繞水平光滑固定軸 0在豎直面內轉動，轉軸 0距兩端分別為-I和-I .輕桿原來靜止33在豎直位置.今有一質量為 m的小球，以水平速度v0與桿下端小球 的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度.1 m作對心碰撞，碰后以一v 02m 2解 :系統(tǒng)所受的合外力矩為零，角動量守恒:碰前的角動量為：”2mv0

11、I31 22 21 2碰后的角動量為：-m vo I，m(|) ，2m(|) 333Vo5-24所以： 2丨122.1n2.mv0 丨=-m v0 丨 +m(l) +2m(l) 陰32333得3v0得 -圖 5-252l4、【自測提高17】如圖5-25所示，一質量均勻分布的圓盤，質量為m。,半徑為R,放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為 )，圓盤 可繞通過其中心0的豎直固定光滑軸轉動.開始時，圓盤靜止，一質量為 m的子彈以水平速度 vo垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上。求：(1)子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度. (2)經(jīng)過多少時間后，圓盤停1 2止轉動.(圓盤繞通過0的豎直

12、軸的轉動慣量為m0R2，忽略子彈重力造2成的摩擦阻力矩)解：(1)以子彈和圓盤為系統(tǒng)，設 -0為碰撞后瞬間的角加速度，由角動量守恒定律得: 2 1mv0R = (mR + m2mv°0 二 1 (一 m° m)R(2)圓盤的質量面密度mo2，在圓盤上取一半徑為 r,寬為dr的小環(huán)帶，質量元dm -丁2二rdr此環(huán)帶受到的摩擦阻力矩dM J dm g r - 1 _2：rdr g r則M f -RP )兀R根據(jù)m f = j d dtm0 c222 2- gr drm0gRt可推出：-Mfdt二f說3mv00 Jd1 m0R2 mR2 d M2丿所以t -2%i°g

13、m的小球靜止在環(huán)內最高處 A點,O在同一高度的B點和環(huán)的最 ?(設環(huán)的內壁和小球都是光滑5、【自測提高18】如圖5-26所示，空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉動，轉動慣量為J。，環(huán)的半徑為 R初始時環(huán)的角速度為-，0.質量為 由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心 低處的C點時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多大 的，小球可視為質點，環(huán)截面半徑r<<R.)但重力方向與轉解 :選小球和環(huán)為系統(tǒng). 運動過程中小球雖受重力作用， 軸平行，對繞軸轉動不起作用，系統(tǒng)所受的對轉軸的合外力矩為零，故系 統(tǒng)對該軸的角動量守恒.即系統(tǒng)起初的角動量 J00與小球滑到B點時系統(tǒng)

14、角動量相同，J0 ；：0= (J0+ mR2)圖 5-26所以乩匕J0 +mR2又因環(huán)的內壁和小球都是光滑，只有保守力做功，系統(tǒng)機械能守恒.取過環(huán)心的水平面為勢能零點，則有1 2 1 2 1 2 2 2 -J0 .0 mgR=§J0m( R - vB)式中Vb表示小球在B點時相對地面的豎直分速度，也等于它相對于環(huán)的速度代入，得:JoR2 2gR A0 , mR + J0當小球滑到 C點時，由角動量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復至0,又由機械能守恒定律可知，小球在 C的動能完全由在 A點的重力勢能轉換而來.所以：1 2mvC2VB=mg 2R , v 4gR四、附加題1、【基礎訓練17】

15、在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上,1在距轉軸為 丄R處，人的質量是圓盤質量的 1/10 開始時盤載人對地2以角速度-.0勻速轉動，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率v沿與盤轉動相反方向作圓周運動，如圖5-16所示.已知圓盤對中心軸1 2的轉動慣量為一MR2 .2有一人靜止站立圖 5 16求：（1）圓盤對地的角速度.1 一（2）欲使圓盤對地靜止，人應沿著一R圓周對圓盤的速度 V的大小及方向?2解：（1）設當人以速率v沿相對圓盤轉動相反的方向走動時， 圓盤對地的繞軸角速度為3,則人對地的繞軸角速度為, v2vco=國一一1r R2視人與盤為系統(tǒng)，所受對轉軸合外力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒，設盤的質量為 的質量為M/10，有：(1)M,則人Jmr2MQL2 10 2將（1）式代入（2）有:亠2v-0 -21R（2 ）欲使盤對地靜止，則式（3）必為零，即©-2V-21R=0。所以,21R 0'。式中負號表示人的走動方向與上一問中人走動的方向相反，即與盤的初始轉動方向一致。2、【（自測提高19】一輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的半徑為R,質量為m/4,均勻分布在其邊緣上繩子的 A端有一質量為 m的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質量為m/2的重物，如圖5-27所示。設人從靜止開始相對于繩勻速