二元函數(shù)概念極限連續(xù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1二元函數(shù)概念極限連續(xù)二元函數(shù)概念極限連續(xù)第1頁/共30頁平面直角坐標(biāo)系 oxy平面內(nèi)任取一點(diǎn)O原點(diǎn) 過O點(diǎn)另作一垂線y軸（縱軸） 過O點(diǎn)做一直線x軸（橫軸） 兩坐標(biāo)軸分平面為、 象限 實(shí)數(shù)對（x，y）對應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)P，記作P（x，y），分別 稱數(shù)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，數(shù)y為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。 平面內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對一一對應(yīng) P(x,y)xy第2頁/共30頁 空間解析幾何簡介 空間直角坐標(biāo)系（三維直角坐標(biāo)系）右 手 原 則（縱軸）yx （橫軸）z（豎軸）zxyO空間直角坐標(biāo)系zxyOzxyOO第3頁/共30頁xoy平面xoz平面yoz平面yzxO三個坐標(biāo)平面分空間為八個卦限 （演示） 三個坐標(biāo)平面

2、八個卦限 第4頁/共30頁點(diǎn)的坐標(biāo)（演示）000,M x y zzxy0 x0y0z兩點(diǎn)間的距離1111,Mx y z2222,Mxyz12M M222121212xxyyzz點(diǎn) M到原點(diǎn)的距離222000OMxyz第5頁/共30頁xM)4 , 0 , 2(A)3, 2 , 1 (BxM)0 , 0 ,(x222)40()00()2(xMA16)2(2x222) 30()20() 1(xMB22232) 1(xMBMA 例1 在軸上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)和的距離相等。軸上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得由題意知解： 因所求點(diǎn)在16)2(2x22232) 1(x1x得得)0 , 0 , 1(點(diǎn)點(diǎn)坐坐

3、標(biāo)標(biāo)為為M第6頁/共30頁空間曲面:, ,0F x y z三元方程如果曲面 S 上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 F( x ,y ,z)=0，同時不滿足方程 F( x ,y ,z)=0的點(diǎn)都不在曲面 S 上，則稱三元方程F (x ,y ,z)=0 為曲面 S 的方程。zxyS, ,M x y z第7頁/共30頁平面平面一種特殊曲面 平面方程的一般形式： 0AxByCzDyzxO幾種特殊平面 （三元一次方程）平行于 z 軸的平面： 0AxByD過 z 軸的平面： 0AxBy過原點(diǎn)的平面： 0AxByCz平行于 y 軸的平面： 0AxCzD過 y 軸的平面： 0AxCz平行于 x 軸的平面： 0ByCz

4、D過 x 軸的平面： 0ByCz第8頁/共30頁面的平面：面的平面：平行于平行于xoy0 DCz面的平面：面的平面：平行于平行于xoz0 DBy面的平面：面的平面：平行于平行于yoz0 DAxxoy平面：xoz平面：yoz平面：0z 0 x 0y 第9頁/共30頁二次曲面橢球面（幾何演示） 拋物面（幾何演示） 球面（幾何演示） 1222222czbyax2222azyx22yxz第10頁/共30頁柱面 平面內(nèi)一直線L沿著一定曲線C移動而形成的曲面叫做柱面，其中，直線L叫做母線，曲線C叫做準(zhǔn)線。 如：平行于 Z 軸的直線沿著XOY平面內(nèi)的橢圓移動，而形成的曲面叫做橢圓柱面。22221xyab22

5、221xyab其它柱面（幾何演示） 柱面方程的特點(diǎn)：如果方程中不含變量 Z（ X 或 Y )，則母線平行于Z ( X 或 Y )軸，柱面垂直于 XOY( YOZ 或 XOZ )面 。xyoz其方程為 第11頁/共30頁 二元函數(shù)的概念一、平面點(diǎn)集平面上滿足某個條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為平面點(diǎn)集。1 yx),(yxRyxyxyx, 1| ),(例1 平面上滿足的所有點(diǎn)構(gòu)成平面點(diǎn)集，記作1 yxRyxyxyx, 1| ),(例2 平面上滿足的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面點(diǎn)集 ，記作 1 yx1 yx第12頁/共30頁鄰域：平面點(diǎn)集 稱為點(diǎn)P0 (x0 , y0) 的鄰域，記做 U(P0 ，),(0PU0P20

6、20)()(| ),(yyxxyx第13頁/共30頁開集：如果點(diǎn)集E中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集E為開集。 連通集：如果點(diǎn)集E中的任意兩點(diǎn)， 都可以用完全屬于E中的折 線段將它們連接起來，則 稱E為連通集。區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域。閉區(qū)域：區(qū)域連同它的邊界，稱為閉區(qū)域。 二元函數(shù)的概念 幾個概念：開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。 例如：點(diǎn)集 即為一開集。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集 即為區(qū)域。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集 即為閉區(qū)域。 22( , )1Ex y xy連通 不連通 第14頁/共30頁 二元函數(shù)的概念定義：設(shè)D是平面上的非空點(diǎn)集，如果存在一個對應(yīng)法則

7、 f，使得對集合D中的每一個點(diǎn)(x , y)，按法則 f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值 z 與之對應(yīng)，則稱此對應(yīng)法則 f 為集合D上的二元函數(shù)，記為： f ：(x, y) z 或 z=f (x , y)，(x , y) D稱 x , y 為函數(shù) f 的自變量，z 為函數(shù) f 的因變量；集合D為函數(shù)f 的定義域，記作 D ( f ) 或 Df。( , ) ( , )zf x yx yD稱實(shí)數(shù)集 為函數(shù) f 的值域。約定：函數(shù) z=f (x , y) 的定義域約定為使得式子有意義的所有的實(shí)數(shù)對（x , y）。例如：函數(shù) 的定義域?yàn)閘nzxy,0Dx y xy它表示如右圖所示的無界區(qū)域。 第15頁/共30頁

8、二元函數(shù)的圖像 空間點(diǎn)集 稱為函數(shù) 的圖像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x yx yD( , )zf x y它表示空間曲面。 :, ,0F x y zzxy一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù) 二元函數(shù) 定義域 數(shù)軸上的區(qū)間 平面中的區(qū)域 圖像 平面中的曲線 空間中的曲面 極限 單極限 二重極限 微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 積分學(xué) 定積分 二重積分 第16頁/共30頁，22yxzRyxyxfD,| ),()(), 0|)(zzfZ例3 二元函數(shù)其定義域?yàn)橹涤?),(xyeyxfyx),()2 , 1 ()0 , 0(aafff，求例4 已知二元函數(shù) 第17頁/

9、共30頁例6 作二元函數(shù)22) 1(1yxz的圖形。22) 1(1yxz222) 1(1yxz1) 1(222zyx22) 1(1yxz解： 因?yàn)樗哉淼?此方程表示以點(diǎn)（0，1，0）為球心，以1為半徑的球面。的圖形是球面的上半部。 因此，函數(shù)第18頁/共30頁 二元函數(shù)定義域的求法 例7 求函數(shù)yxz1的定義域。0 yxxy0 yx解：要使函數(shù)有意義，必須滿足即函數(shù)的定義域是平面上上直線下方的無界區(qū)域。 xy00 yx第19頁/共30頁2229yxxyz090222yxxy9222yxxy例8 求函數(shù)解：要使函數(shù)有意義，必須滿足的定義域 。2xy 922 yx函數(shù)的定義域是拋物線的內(nèi)部（含

10、邊界）與圓的內(nèi)部的公共部分。 xy2xy 922 yx第20頁/共30頁4arccos25arcsinyxzz141151yx4455yx例9 求函數(shù)的定義域。有定義，必須解： 要使xy5544第21頁/共30頁二元函數(shù)的極限 定義：設(shè)二元函數(shù) z=f (x , y)在點(diǎn) P0(x0 ,y0)的鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)P0可以除外），如果當(dāng)點(diǎn) P (x , y)無論以何種方式趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)時，函數(shù)值 f (x , y)可以無限逼近常數(shù)A，則稱A為函數(shù) f (x ,y) 在PP0時的極限，記作00lim( , )xxyyf x yA( , )(,)lim( , )oox yxyf x yA或

11、 或 0( ,) ()f x yAPP當(dāng)時二重極限 00,P xyxyz第22頁/共30頁 二元函數(shù)的極限計(jì)算計(jì)算下列極限 sin2limxyyxy0 220221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx第23頁/共30頁 二元函數(shù)的極限計(jì)算 006limxyxyxy00,P xy換元時 與 不能相互制約xy2xy事實(shí)上，設(shè)1xkyk011lim11yy kky kk00limxyxyxy則結(jié)果與 有關(guān)，故原極限不存在。k03lim3yyy第24頁/共30頁000,),(22yxyxyxxyyxf不同時為不同時為例：設(shè)函數(shù)例：設(shè)函數(shù)證明：),(lim)0 , 0(),(yxfy

12、x不存在。),(lim)0, 0(),(yxfyx),(yx),(yxf證明： 要證明不存在，即要證當(dāng)沿不同的路徑趨向（0，0）時 ，趨向于不同的值。),(yxkxy 因?yàn)楫?dāng)沿直線趨向于（0，0）時),(lim)0 , 0(),(yxfyx222)0 , 0(),() 1(limxkkxyx12kk結(jié)果與 有關(guān)，故原極限不存在。k第25頁/共30頁若0000lim,xxyyf x yf xy則稱函數(shù),f x y在點(diǎn)00,P xy處連續(xù)。若函數(shù)在某區(qū)域上點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)域上連續(xù)。 直觀上來看，若函數(shù)在區(qū)域 D 上連續(xù)，則其對應(yīng)的空間曲面沒有裂縫，沒有洞，是一個連續(xù)曲面。初等二元函數(shù)在其定義區(qū)域上都是連續(xù)的。例如：lnzxy在:,0Dx y xy上連續(xù)。 二元函數(shù)的連續(xù)性第26頁/共30頁閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)具有以下性質(zhì)（1）最值定理：有最大、最小值（2）介值定理：能取得介于最大、最小值之間的任意值（3）零點(diǎn)存在定理：從幾何意義理解 xyzo第27頁/共30頁例3 求yxyx