2005級(jí)物理本科班.

1、2005級(jí)物理本科班量子力學(xué)期終考試卷B參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1 根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋，因?yàn)榱Ｗ颖囟ㄒ诳臻g某一點(diǎn)出現(xiàn)，所 以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為 1，因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度的絕對(duì)大??；（1 分）因而將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，這是其他波動(dòng)過(guò)程 所沒(méi)有的。（1 分）2 波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個(gè)條件：有限性、連續(xù)性和單值性。（3 分）3 因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。（1 分）而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實(shí)數(shù)。（1 分）厄米算符的本征值必定是

2、實(shí)數(shù)。所以表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符。（1 分）4 由電子、質(zhì)子、中子這些自旋為 -的粒子以及自旋為的奇數(shù)倍的粒子2 2（1 分）組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，（1 分）這類粒子服從費(fèi)米（Fermi）狄拉克（Dirac） 統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子。（1 分）5 束縛態(tài)，能級(jí)是分立的。（2 分）6 兩個(gè)算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符對(duì)易。（1 分）例如，認(rèn)=0，這兩個(gè)算符有共同的完備本征函數(shù)系。（ 2 分）7 ,；（X?x）-=；X（P：Qd（1 分）二（刃 J* ?/ 如個(gè)？1）*7（1 分）因?yàn)? x4=?x所以,?x不是厄米算符.填空題（1分）（1d284x2y是線

3、性算符dx2.2 , 2 , 22d2d2d4x2(GU1c 12 )2= 4x2(cu1”4x2c u )2 2dxdxdx2 2/2 d*/2d=C 4x2u1C24x2u2dxdx9 由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確定的交換對(duì)稱性 將這一性質(zhì)應(yīng)用到費(fèi)米子組成的全同粒子體系，必然推出費(fèi)米不相容原理10dx2(3cosx)二(3sin x)二dx3cosx(3cosx)所以，3cosx的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為一1。二、證明題i 證明：寫(xiě)出歸一化波函數(shù):空 n(x)= J2sinv a先計(jì)算坐標(biāo)平均值:a2 .2n二x 11sin xdx =0a aa0(1-cos2n二X

4、）xdx利用公式: .,xcos px 1 sin pxxsin pxdxPP.xsin px cos pxx cos pxdx2ppx2i a . 2nxa- xsin- -2l2n 兀丿a0 兀2n 二 xcos a2證明：因?yàn)?d2屮所以 二-2m(E -U)/2訂.-2m(E -U)/ 22（1分）,（1 分）（2 分）（2 分）（1分）（3分）（2分）（1分）（1分）（1分）（1分）（1分）湊全微分得：CT-：22打），=0（1分）2（2分）二ab?E? - b?aE?A（2分）因a,b?與A,E?對(duì)易，b? = Ab?,?E?二餡（1分）前式二a?b? - b?aA二?R,b?（1

5、分）4 證： - ;（A E）-2d . =2d2d（ 1分）=嚴(yán)2（A巴）*dl+匸2伯巴）*?。? 分）二2（A R*1*d.（ 1 分）A+B也是厄米的。（1 分）三、 計(jì)算題1=（2e 二2二Nr/a 2一二-er/a0r2二 a30 00rsin：drd：d2ere0712 04e2a34e22r /aoer/a0r drr sidrd d2 LZPX一 PXLz=（鴉-yPX）PX-氏冏 -？?）（1分）（1分）= XPxPy-yP-pXPyyPX2（1分）ao32a。 2 a。積分得：f2亠2二常數(shù)（1分）3等號(hào)右方=1（J?+I?）（AB?_BA）+1（?b?_?）（AB? +

6、 BA）（1分）2 2二-（a?AB?一a?BA一b? ?b?AB?一b?E?- b?）湊全微分得：CT-：22打），=0（1分）2=（?xPxX）Py（1分）（1分）3 解：Sx的久期方程為-JSx的本征值為（2分）（2分）設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值-的本征函數(shù)為21/2由本征方程Sx1/21/2，得由歸一化條件即2 a12=1對(duì)應(yīng)于本征值仲】 -丿b1）21十71 /2 1/2=1，得（31,31）ai31b11V.2（3分）h-的本征函數(shù)為21 /22（2分）（2分）h設(shè)對(duì)應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為2A/2a2由本征方程S 4/2132丿.a a42二 x2二 y；! xysin sin dxdya00aaa；5 解：在此能量中，氫原子能量有確定值E2 = _22n282