彈性力學(xué)應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系

1、第四章應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系1知識(shí)點(diǎn)應(yīng)變能原理應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式完全各向異性彈性體正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系彈性常數(shù)各向同性彈性體應(yīng)變能格林公式廣義胡克定理一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系 各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系 應(yīng)變表示的各向同性本構(gòu)關(guān)系一、內(nèi)容介紹前兩章分別從靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度推導(dǎo)了靜力平衡方程，幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于彈性體的靜力平衡和幾何變形是通過具體物體的材料性質(zhì)相聯(lián)系 的，因此，必須建立了材料的應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系。 應(yīng)力和應(yīng)變是相輔相成的， 有應(yīng)力就有應(yīng)變； 反之，有應(yīng)變則必有應(yīng)力。對(duì)于每一種材料，在一定的溫度 下，應(yīng)力和應(yīng)變之間有著完全確定的關(guān)系。 這是材料的固有特性

2、，因此稱為物理 方程或者本構(gòu)關(guān)系。對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的實(shí)驗(yàn)測(cè)試是有困難的，因此本意首先通 過能量法討論本構(gòu)關(guān)系的一般形式。 分別討論廣義胡克定理；具有一個(gè)和兩個(gè)彈 性對(duì)稱面的本構(gòu)關(guān)系一般表達(dá)式；各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系等。本意的任務(wù)就是建立彈性變形階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。二、重點(diǎn)1、應(yīng)變能函數(shù)和格林公式；2、廣義胡克定律的一般表達(dá)式；3、具 有一個(gè)和兩個(gè)彈性對(duì)稱面的本構(gòu)關(guān)系；4、各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系； 5、材料的彈性常數(shù)。§4.1彈性體的應(yīng)變能原理學(xué)習(xí)思路:內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，因此外力在變形過程中作功。同時(shí)，彈性體 借助于能量關(guān)系，可以使得

3、彈性力學(xué)問題的求解方法和思路簡(jiǎn)化，因此能量原理是一個(gè)有效的分析工具。本節(jié)根據(jù)熱力學(xué)概念推導(dǎo)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式，并且建立應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)的材料本構(gòu)方程。根據(jù)能量關(guān)系，容易得到由丁變形而存儲(chǔ)丁物體內(nèi)的單位體積的彈性勢(shì)能， 即應(yīng)變能函數(shù)。探討應(yīng)變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本 構(gòu)關(guān)系。如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量 的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應(yīng)變或者應(yīng)力表示的應(yīng) 變能函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)變能；2、格林公式；3、應(yīng)變能原理。1、應(yīng)變能彈性體發(fā)生變形時(shí)，外力將要做功，內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。本節(jié) 通過熱力

4、學(xué)的觀點(diǎn)，分析彈性體的功能變化規(guī)律。根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力在變形過程中所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，一 部分將轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；另外變形過程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界 吸收或釋放熱量。設(shè)彈性體變形時(shí)，外力所做的功為 dW,則dW=dWi + dW2其中，dWi為表面力Fs所做的功，dW2為體積力Fb所做的功。變形過程中, 由外界輸入熱量為dQ,彈性體的內(nèi)能增量為dE,根據(jù)熱力學(xué)第一定律，dW+dW2=dE - dQ因?yàn)榈亩?耳. dudS = jj 二 JJj$1L二 m（%也）,/=jjj 叵V Vd吃二JjJk血d礦二JJJ尺也破V F將上式代入功能關(guān)系公式，則d股二郵+ d叫二皿

5、（%, > +凡）也+ % 岑叱呼¥阪j'唄氣喝）sjp加嚼）W登計(jì)=明樨（普嚕）略"火爵82、格林公式如果加載很快，變形在極短的時(shí)間內(nèi)完成，變形過程中沒有進(jìn)行熱交換，稱 為絕熱過程。絕熱過程中，dQ=0,故有dWi+dW2=dE對(duì)丁完全彈性體，內(nèi)能就是物體的應(yīng)變能，設(shè)U0為彈性體單位體積的應(yīng)變能, 則由上述公式，可得皚二dm仁故二m氣虹"F¥V即d%二閂d&二+%屹+電d& +&能裕+豚& + &d九設(shè)應(yīng)變能為應(yīng)變的函數(shù)，則由變應(yīng)能的全微分e duQ duG j duQ J duG AdUQ =+

6、dq +dq + dyxv溢*喝'喝-機(jī)對(duì)上式積分，可得Uo=Uo ("),它是由丁變形而存儲(chǔ)丁物體內(nèi)的單位體積的 彈性勢(shì)能，通常稱為應(yīng)變能函數(shù)或變形比能。 在絕熱條件下，它包等丁物體的內(nèi) 能。r _沁。L srx比較上述公式，可得小-叢 b *以上公式稱為格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系 3、應(yīng)變能原理如果加載緩慢，變形過程中物體與外界進(jìn)行熱交換，但物體的溫度保持不變， 稱為等溫過程。設(shè)等溫過程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ,嫡的增量為dS, 對(duì)丁彈性變形等可逆過程，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，有d$ 二竺 >0T因?yàn)?，dQ=TdS,所以,Q=TS。上式中,T為

7、絕對(duì)溫度，TS為輸入單位體積 的熱能。代入公式可得d、+ d趴二 dE dg 二 df|JE；dY - d JJJTSdV 二 jjjd（輪一TS）AV 二 JJJ氣dq d/VVVV為物體單£商而號(hào)ik氣TS為輸入的熱能，即U0=E0 - TS。所所以上式中，E0為以在等溫條件下，功能公式仍然成立。上述公式是從熱力學(xué)第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質(zhì)的限制。如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性彈性的，則由格林公式，單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得乃”斗 5U06U. 誑 dUQ2Un = £ + e + £

8、; + y + / 十% = 旋+ b冉+ " + &+小上+孔匕J用張量表示，寫作設(shè)物體的體積為V,整個(gè)物體的應(yīng)變能為 U = JJJ UGdr。§4.2廣義胡克定義 學(xué)習(xí)思路:根據(jù)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)，可以確定本構(gòu)方程的能量表達(dá)形式。本節(jié)的任務(wù) 是利用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。如果將應(yīng)力分量表達(dá)為應(yīng)變分量的函數(shù)，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表 達(dá)式。對(duì)丁小變形問題，這個(gè)一般表達(dá)式可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。對(duì)丁各向同性材料，根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變的性質(zhì)，可以得到具有36個(gè)常數(shù)的廣義胡克定理。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式；2、廣義胡克定理。1、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般

9、表達(dá)式由丁應(yīng)變能函數(shù)的存在，通過格林公式就可求出應(yīng)力。本節(jié)將通過應(yīng)變能的 推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。若將應(yīng)力表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的 一股表達(dá)式為電二石（與,勺，我/少孔寸及）。廣£（勺，齊如這里的函數(shù)f i （i=1, 2,，6）取決丁材料自身的物理特性。對(duì)丁均勻的各 向同性材料，單向拉伸或壓縮時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)直接確定。 但是對(duì) 丁復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過實(shí)驗(yàn)直接確定其關(guān)系。這里不去討論如何建立一般條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，僅考慮彈性范圍內(nèi)的小變形問題。對(duì)丁小變形問題，上述一般表達(dá)式可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并且可以略去二階 以上的高階小量。例

10、如將的第一式展開，可得上式中（f 1） 0表達(dá)了函數(shù)f 1在應(yīng)變分量為零時(shí)的值，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變的一般 關(guān)系式可知，它代表了初始應(yīng)力。2、廣義胡克定理根據(jù)無初始應(yīng)力的假設(shè)，（f 1）0應(yīng)為零。對(duì)丁均勻材料，材料性質(zhì)與坐標(biāo)無 關(guān)，因此函數(shù)f 1對(duì)應(yīng)變的一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)。因此應(yīng)力應(yīng)變的一般關(guān)系表達(dá)式 可以簡(jiǎn)化為X =烏勺 + °薩，+ 弓3& + GlZ +。叭m =。城 +。必 + 弓靠 + 3/ Bw + 3“6 =。3百 + %丈網(wǎng) + 3霆& = 8* + ¥ + %月 +。4皿十 + Qg丁網(wǎng)=°5】與+。莎j + °妒/ °

11、/刑十。羽匕+& =+ q 瑋 +。妍 +十 3遂上述關(guān)系式是胡克（Hooke）定律在復(fù)雜應(yīng)力條件下的推廣，因此乂稱作廣 義胡克定律。廣義胡克定律中的系數(shù) Cmn (m, n=1, 2,，6)稱為彈性常數(shù)，一共有 36個(gè)。如果物體是非均勻材料構(gòu)成的，物體內(nèi)各點(diǎn)受力后將有不同的彈性效應(yīng)，因 此一般的講,Cmn是坐標(biāo)x, y, z的函數(shù)。但是如果物體是由均勻材料構(gòu)成的，那么物體內(nèi)部各點(diǎn)，如果受同樣的應(yīng)力, 將有相同的應(yīng)變；反之，物體內(nèi)各點(diǎn)如果有相同的應(yīng)變，必承受同樣的應(yīng)力。這一條件反映在廣義胡克定理上，就是 Cmn為彈性常數(shù)。§4.3各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系學(xué)習(xí)思路：本節(jié)應(yīng)用應(yīng)變

12、能函數(shù)推導(dǎo)各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。對(duì)丁完全的各向異性彈性體，本構(gòu)關(guān)系有 21個(gè)彈性常數(shù)，對(duì)丁具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性材料，本構(gòu)各向具有13個(gè)彈性常數(shù)。對(duì)丁正交各向異性材料，彈性常數(shù)有 9個(gè)。正交各向異性材料的本構(gòu)方程中，正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng) 的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間，以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合 作用。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、完全各向異性彈性體；2、有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體；3、有一 個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系；4、正交各向異性彈性體；5、正交 各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系。1、完全各向異性彈性體下面從廣義胡克定理公式出發(fā)，用應(yīng)變能的概念建立常見的各向異性彈性體 的應(yīng)力和

13、應(yīng)變關(guān)系。根據(jù)格林公式和廣義胡克定律，有弘二q二5 + %弓y痙 y心+ m + 5對(duì)丁上式，如果對(duì)切應(yīng)變：Xy求偏導(dǎo)數(shù)，有同理，有筍=c您+ F +烏弟+ q必+ m +弓熱對(duì)丁上式，如果對(duì)正應(yīng)變 政求偏導(dǎo)數(shù)，有3帆機(jī)脆 41因此，C14=C41。對(duì)丁其它的彈性常數(shù)可以作同樣的分析，貝UCmn=Cnm上述結(jié)論證明完全各向異性彈性體只有 21個(gè)彈性常數(shù)。其本構(gòu)方程為= °11& + °12 勺 + 匚摭& + fK 胡 + 仁1%£ + °16酒% =。餌、+。G施+穢+ 5思=。弟+弓3弓十烏拓+仁加/整+。35匕工+ G” XI 雷璀

14、 °1疙+。網(wǎng)弓+ &弓+。44尸穢十。45為町+ 溜 七=g弟+&弓+&&十q炒/ 烏心+烏心 T酒=°16旦十弓6勺十勺弟+ °45?% +探2、具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體如果彈性體內(nèi)每一點(diǎn)都存在這樣一個(gè)平面，和該面對(duì)稱的方向具有相同的彈性性質(zhì)，則稱該平面為物體的彈性對(duì)稱面。垂直丁彈性對(duì)稱面的方向稱為物體的彈性主方向。若設(shè)yz為彈性對(duì)稱面，則x軸為彈性主方向。以下根據(jù)完全各向異性彈性體本構(gòu)方程，推導(dǎo)具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異 性彈性體的本構(gòu)方程。將x軸繞動(dòng)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)兀角度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)

15、系。新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為xyzx'l1 = -1m1=0n1=0y'l2=-1m2=0n2=0z'l3=-1m3=0n3=0根據(jù)彈性對(duì)稱性質(zhì)，關(guān)丁 x軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)保持不變，而關(guān)丁 x軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以Cx'=必, °y' =%> §z' =z, IX'y' =Xy, y'z' =yz, z'x' =zx敦=Ex ,身'=句, & =電，4'y' = <xy, S'=；&#

16、39;yz, 4'x' = <zx根據(jù)彈性主方向性質(zhì)，作這一坐標(biāo)變換時(shí)，本構(gòu)關(guān)系將保持不變。3、有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)關(guān)系根據(jù)完全各向異性彈性體的本構(gòu)方程，將上述關(guān)系式0 二%, 氣，二 b”二電，切二 一丁掣，弓史二小，§ 二與， 弓=馬，套aX/y = Y ?7共=? A'r -y ys>代入廣義胡克定理，可得b* = cn + % 勺 +。"-4如by =+ ey. + C*% -+ y.xl - Gs/冊(cè)47_,乙=%勺+仁弟、+烏&一烏/沖+ 一 Gm官 一丁 沖，=G1 公 +。4勇y + C43%.-尸 Jf&

17、gt; + KYy'x' Cm/w S'J1 = 11 勺 + C* 弓 + G舟,一x'y' * C55?兀、- Gs/板 T" = C沽* + %£史- C"+ Cgjy.、- C66ym將上式與廣義胡克定理相比較，要使變換后的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系保持不變，則必有Cl4=C 16=C 24=C 26=C 34=C 36=C 54=C56= 0這樣，對(duì)丁具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體，其彈性常數(shù)由21個(gè)將減少為13個(gè)。具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為力=5 +弓角+ G3& +6 = m +弓名+弓靠+ d=3,

18、+ % 瀉 +=。44匕十Q人=二5丹+ G舟+。步司+。爵髀=科+ d/猝4、正交各向異性彈性體若物體每一點(diǎn)有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，稱為正交各向異性彈性體。以下根據(jù)完全具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體本構(gòu)方程? = Gi知 +。勇 + G3 勺 + cix 弓=弓益+弓豹十弓靠+ d / = °3百+ &勺十3# + &辦 & = °44 匕 +芯Tj>s =+ &勺 + Gm，# + & 七xz平面也是彈& = q心+喝話推導(dǎo)具有兩個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性彈性體的本構(gòu)方程。設(shè)性對(duì)稱面，即y軸也是彈性主方向。在具有一個(gè)彈性對(duì)

19、稱面的基礎(chǔ)上，將y軸繞動(dòng)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)M度，成為新的Ox'y'z'坐標(biāo)系，如圖所示根據(jù)彈性對(duì)稱性質(zhì)。關(guān)丁 y軸對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)也保持 不變，而關(guān)丁 y軸反對(duì)稱的應(yīng)力和應(yīng)變分量在坐標(biāo)系變換時(shí)取負(fù)值。所以，則 新舊坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變分量的關(guān)系為心x' =x, % =%,心z'=z,&'y'=-&y,=y'z' =-Tyz,z'x' =zxyz,將上述關(guān)丁 y軸彈性對(duì)稱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向 異性材料本構(gòu)關(guān)系。為保持應(yīng)力和應(yīng)變?cè)谧鴺?biāo)變換后不變，則必有Cl5= C2

20、5= C35= C64=05、正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系這樣，對(duì)丁具有二個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體，如圖所示，其彈性常數(shù)由 13個(gè)將減 少為9個(gè)。丁是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化為? = °薩大+ q珂+已iK% =。21與 +勺 +弓弓=+ &勺十& = Ci 心殊=。必J = q 疚口假如彈性體有3個(gè)彈性對(duì)稱面，也就是說，如果設(shè) xy平面也是彈性對(duì)稱面， z軸也為彈性主方向，則類似的推導(dǎo)可以證明，本構(gòu)方程不會(huì)出現(xiàn)有新的變化。因此，如果相互垂直的3個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱面，則第三個(gè)必為彈性對(duì)稱面。二個(gè)彈性對(duì)稱面的彈性體本構(gòu)方程表明：如果坐標(biāo)軸與彈性主方向一致時(shí)， 正應(yīng)力僅與正應(yīng)變有

21、關(guān)，切應(yīng)力僅與對(duì)應(yīng)的切應(yīng)變有關(guān)，因此拉壓與剪切之間， 以及不同平面內(nèi)的剪切之間將不存在耦合作用。這種彈性體稱為正交各向異性彈性體，其獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個(gè)。§4.4各向同性彈性體 學(xué)習(xí)思路:各向同性彈性體，就物理意義來講，就是物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全相 同，即物理性質(zhì)的完全對(duì)稱。該物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間 的關(guān)系在所有方位不同的坐標(biāo)系中都一樣。對(duì)丁各向同性材料，材料性質(zhì)不僅與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，而且與坐標(biāo)軸的任意變換方位也無關(guān)。根據(jù)這一原則，可以確定具有2個(gè)獨(dú)立彈性常數(shù)的本構(gòu)關(guān)系。各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系可以通過拉梅（Lam®彈性常數(shù)赤，卜表示；也可以通 過

22、工程彈性常數(shù)E, v, G表示。各彈性常數(shù)可由實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、各向同性彈性體；2、各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系； 3、應(yīng)變表示的本構(gòu)關(guān)系；4、彈性常數(shù)與應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系。1、各向同性彈性體各向同性彈性體，就其物理意義來講，就是物體各個(gè)方向上的彈性性質(zhì)完全 相同。這一物理意義在數(shù)學(xué)上的反映，就是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在所有方位不 同的坐標(biāo)系中都一樣。本節(jié)將從正交各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變公式出發(fā)，建立各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。對(duì)丁各向同性材料，顯然其材料性質(zhì)應(yīng)與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)，任意一個(gè)平面都是彈性對(duì)稱面。因此Cl1=C22=C33, Cl2=C23=C31, C44=C55=

23、C66丁是其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系簡(jiǎn)化為% = GE + J弟 +。'遇K <7=G弟+ °11勺+弟 g* q我+q舟+Gi號(hào) & = °44 命弓H千 口 二其獨(dú)立的彈性常數(shù)僅為 C11, C12和C44。但是各向同性彈性體的彈性常數(shù)不但與坐標(biāo)軸的選取無關(guān)， 而且與坐標(biāo)軸的 任意變換方位也無關(guān)。為了簡(jiǎn)化分析，將坐標(biāo)系沿Z軸旋轉(zhuǎn)任一角度甲。新舊坐 標(biāo)系之間的關(guān)系如下所示XyzX'11 = cos ；：m1 = sinn1=0y'12=-sin ;：m2= cosn2=0Z'l3=0m3=0n3=12、各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系根據(jù)應(yīng)

24、力分量轉(zhuǎn)軸公式，可得心v-電加血2督+匕cos2根據(jù)應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式3 二（弓-勺）sin l（p +cos2p將以上兩式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系公式的第四式"二,則- bjsin2胃 + & cos2（p = C（sy - ）sin2 + 上 cos2 £因?yàn)闉?%，所以弓/ = 2。44（£_ 。根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式，可得= （Gh -（弓一知）。比較上述兩個(gè)公式，可得，2C44 = C11-C12。所以各向同性彈性體的彈性常數(shù)只有 兩個(gè)。其應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為二 Cm+%勺+C啟二0*（% 一孔）四 二。"世+ Gi弓+ C弟二烏。+ （Gi -烏）弓

25、二弓+京+q】每二%&+（% -勺）勺二;（烏-烏旗二;（-%）七二;（ -烏）/其中，& =孔十Ep十%。3、應(yīng)變表小的本構(gòu)關(guān)系為了使得各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系公式表達(dá)簡(jiǎn)潔，令Cq = / > Un 。鹽=2聲則同性材料的本構(gòu)關(guān)系公式可以簡(jiǎn)化為叫=粕+訴八丁/咯+ 弓，弋辨=時(shí)薩或?qū)懽鲝埩勘磉_(dá)式% =丸賓q +上述公式即為各向同性彈性材料的廣義胡克(Hooke)定理，&卜稱為拉梅 (Lame)彈性常數(shù)。如果將坐標(biāo)軸選取的與彈性體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力主方向重合， 則對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力分 量均應(yīng)為零。根據(jù)各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系的后三式可見， 此時(shí)所有的切應(yīng)變分 量也為零。根據(jù)上述分析，對(duì)丁各向同性彈性體內(nèi)的任一點(diǎn)，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向是一致的。因此這三個(gè)坐標(biāo)軸，即應(yīng)力主軸同時(shí)乂是應(yīng)變主軸方向， 對(duì)丁各向 同性彈性體，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向二者是重合的。設(shè)體積應(yīng)力為&二b + b +CT將拉梅公式的前三式相加，可得® = (3Z + 2p)上式稱為體積應(yīng)變的胡克定理。4、彈性常數(shù)與應(yīng)力表示的本構(gòu)關(guān)系E, v, G如果各向同性材料的本構(gòu)關(guān)系用應(yīng)力表示，一般用工程彈性常數(shù) 表示胡克定律，有與二 §弓-頃 + %)二+- v&弓二與弓 Mb, +巳)二如(E)弓"5