第四章(1) 統(tǒng)計(jì)推斷

1、抽樣分布抽樣分布參數(shù)估計(jì)簡(jiǎn)介參數(shù)估計(jì)簡(jiǎn)介假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理統(tǒng)計(jì)推斷概述統(tǒng)計(jì)推斷概述X2S 將樣本中分散的信息濃縮集中起來成為樣本將樣本中分散的信息濃縮集中起來成為樣本的一個(gè)函數(shù)，它不含未知參數(shù)，這樣的樣本函的一個(gè)函數(shù)，它不含未知參數(shù)，這樣的樣本函數(shù)稱為數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量，如，如描述總體特征的統(tǒng)稱為描述總體特征的統(tǒng)稱為參數(shù)參數(shù)抽樣分布的概念n樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布（sampling distribution）q 樣本是通過對(duì)總體的隨機(jī)抽樣獲得的q 樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，有一定的概率分布簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本抽樣是完全隨機(jī)的抽樣是完全隨機(jī)的 - 總體中的每個(gè)個(gè)體都總體

2、中的每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽中有相同的機(jī)會(huì)被抽中抽樣是彼此對(duì)立的抽樣是彼此對(duì)立的 - 每次抽樣的結(jié)果都不每次抽樣的結(jié)果都不會(huì)影響到其他抽樣的結(jié)果會(huì)影響到其他抽樣的結(jié)果4抽樣分布n樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布（sampling distribution）q 樣本是通過對(duì)總體的隨機(jī)抽樣獲得的q 樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，有一定的概率分布原總體原總體樣本樣本1樣本樣本2樣本樣本n1x2x2x新總體新總體n 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量54.1 常用的三種抽樣分布常用的三種抽樣分布n一、 分布 n二、t分布n三、F 分布2 均為連續(xù)型隨機(jī)均為連續(xù)型隨機(jī)變量分布，分布只與變量分布，分布只與自由度，即樣本含量自由度，即

3、樣本含量有關(guān)有關(guān)62 (chi-square)分布n定義q設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, , Xn彼此獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0, 1)，則隨機(jī)變量2iXY服從自由度為服從自由度為n的的 2分布，記為分布，記為)(2nY72 分布2f(2)2/) 12/(2222)2/(21)(ef82 分布n性質(zhì)q2 分布隨機(jī)變量的取值范圍為（0，）q若Y1 2 (n)，Y2 2 (m)，且相互獨(dú)立，則nY1 Y2 2 (n m)q2 分布為非對(duì)稱分布，其分布曲線的形狀由自由度決定，自由度越大，分布越趨于對(duì)稱q q當(dāng) n ， 2 (n) N(n, 2n) nnE)(2nnV2)(22魏澤輝講稿92 分布n2

4、 分布上側(cè)分位數(shù)表：附表4（p.338）)(2XP下尾概率查1-10t 分布 n定義q設(shè)u N(0, 1)，Y 2 (n)，且相互獨(dú)立，則 nYut 服從自由度為服從自由度為n的的 t 分布，記為分布，記為)( tntxxu11t 分布tf(t)2)1(2)/1 ()2(2) 1()(ttf 廣義積分 是參變量的函數(shù)稱為函數(shù)（其中0）01)(dxexx12t 分布n性質(zhì)q與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相似n關(guān)于 t = 0對(duì)稱n只有一個(gè)峰，峰值在t = 0q分布曲線受自由度影響，自由度越小，離散程度越大q q當(dāng) n ，t(n) N(0, 1) 0)(tE)2/()(2nntV 13t 分布o(jì) t 分布與正態(tài)分

5、布的比較魏澤輝講稿14t 分布nt分布雙側(cè)分位數(shù)表：附表5（p. 339）)(1tttP15F 分布 n定義q若 X 2 (m)，Y 2 (n)，且相互獨(dú)立，則nYmXF 服從自由度為服從自由度為m（第一自由度）（第一自由度）和和n（第（第二自由度）的二自由度）的 F 分布，記為分布，記為),(FnmF16F 分布f(F)F22121122/22/12121121)(222)(FFFf17F 分布n性質(zhì)qF分布隨機(jī)變量的取值范圍為（0，）qF分布的分布曲線受兩個(gè)自由度的影響q若F F(m, n)，則 1/F F(n, m)q q若X t(n)，則 X2 F(1, n)22( )2nE Fn2(

6、2)n 222122112(224)( )(2) (4)nnnV Fn nn2(4)n 魏澤輝講稿18F 分布nF分布的上側(cè)分位數(shù)表：附表6（p.340）)(FFP下尾概率查1-假設(shè)男人的血壓資料服從正態(tài)分布假設(shè)男人的血壓資料服從正態(tài)分布 從從113個(gè)男人中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式，以樣本量為個(gè)男人中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式，以樣本量為20，進(jìn)行，進(jìn)行500次抽樣，每次抽的樣本繪制直方圖次抽樣，每次抽的樣本繪制直方圖樣本樣本1：n20樣本樣本2：n20匯總：樣本量樣本量500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均數(shù)的平均數(shù)均數(shù)的平均數(shù)500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均

7、數(shù)的分布均數(shù)的分布2020125mmHg125mmHg3.3mmHg3.3mmHg接近正態(tài)接近正態(tài)5050125mmHg125mmHg3.3mmHg3.3mmHg接近正態(tài)接近正態(tài)100100125mmHg125mmHg3.3mmHg3.3mmHg接近正態(tài)接近正態(tài)假設(shè)假設(shè)2014年全國患者的住院時(shí)間資料如下年全國患者的住院時(shí)間資料如下：樣本量樣本量500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均數(shù)的平均數(shù)均數(shù)的平均數(shù)500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差500500個(gè)樣本平個(gè)樣本平均數(shù)的分布均數(shù)的分布20205.055.05天天1.491.49天天接近正態(tài)接近正態(tài)50505.045.04天天1.00

8、1.00天天接近正態(tài)接近正態(tài)1001005.085.08天天0.700.70天天接近正態(tài)接近正態(tài)匯總：匯總：中心極限定理 無論樣本所來自的總體是否服從正態(tài)分布，無論樣本所來自的總體是否服從正態(tài)分布， 只要樣本足夠大，樣本平均數(shù)就近似服從正只要樣本足夠大，樣本平均數(shù)就近似服從正態(tài)分布，樣本越大，近似程度越好。態(tài)分布，樣本越大，近似程度越好。所需的樣本含量隨原總體的分布而異，但只所需的樣本含量隨原總體的分布而異，但只要樣本含量要樣本含量 30，無論原總體是何分布，都，無論原總體是何分布，都足以滿足近似的要求。足以滿足近似的要求。設(shè)原總體的期望為設(shè)原總體的期望為 ，方差為，方差為 2，則樣本平，則樣

9、本平均數(shù)的期望為均數(shù)的期望為 ，方差為，方差為 2 /n。正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布樣本平均數(shù)的期望和方差樣本平均數(shù)的期望和方差設(shè)樣本來自均數(shù)為設(shè)樣本來自均數(shù)為 ，方差為，方差為 2的總體的總體設(shè)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本設(shè)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本ixnx1正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布n期望nnnxxxEnxnExEnix1)(1)(1)1()(21正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布nnnnxxxVarnxnVarxVarnix222222221221)(1)(1)1()(方差方差標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差nx（平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤）（平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤）4.6.2 標(biāo) 準(zhǔn) 誤n 標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)

10、抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差) 的大小反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即的大小反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。精確性的高低。n 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本成正比，與樣本含量含量n的平方根成反比。從某特定總體抽樣，的平方根成反比。從某特定總體抽樣，因?yàn)橐驗(yàn)槭且怀?shù)，所以只有增大樣本含量才能是一常數(shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù)的抽樣誤差。降低樣本平均數(shù)的抽樣誤差。nx/xn在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差往往是未知的，因而往往是未知的，因而無法求得無法求得 。此時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差。此時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)估計(jì)。于。于是，以是，以 估

11、計(jì)估計(jì) 。記。記 為為 ，稱作樣本標(biāo)，稱作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是平均數(shù)抽樣誤準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值。若樣本中各觀測(cè)值為差的估計(jì)值。若樣本中各觀測(cè)值為, x1 , x2 ,xn ，則，則x) 1(/)() 1()(222nnnxxnnxxnSSxxxSnSnS 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 標(biāo) 準(zhǔn) 誤樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別在于：樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別在于：n樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是反映樣本中各觀測(cè)值是反映樣本中各觀測(cè)值x1,x2,xn 變異變異程度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說明了程度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說明了 對(duì)該樣本代對(duì)該樣本代表性的強(qiáng)弱。表性的強(qiáng)弱。

12、樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是 抽樣抽樣誤差的估計(jì)值，其大小說明了樣本間變異程度的大誤差的估計(jì)值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及小及 精確性的高低。精確性的高低。n 對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本平均數(shù)與樣本平均數(shù) 配合使用，記為配合使用，記為 S，用以說明所考察性狀或指標(biāo)，用以說明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。n對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 與樣本平均數(shù)與樣本平均數(shù)配合使用，記為配合使用，記為 ，用以表示所考察性狀或指，用以表示所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與抽

13、樣誤差的大小。標(biāo)的優(yōu)良性與抽樣誤差的大小。xxxxxxSxSx正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布n正態(tài)總體樣本平均數(shù)的分布q設(shè)樣本來自正態(tài)總體 N( , 2)，則樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布，其總體均數(shù)為 ，方差為 2/n。),(N2X),(N2nx2 N(0,1)xn正態(tài)總體樣本方差的 分布樣本方差的期望和方差樣本方差的期望和方差設(shè)樣本來自均數(shù)為設(shè)樣本來自均數(shù)為 ，方差為，方差為 2的總體的總體設(shè)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本設(shè)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本1)(22nxxsi) 1()()()(22222222nnxxxnxxxiii) 1() 1(222nsn)(221nXniinSXnSnnXt22) 1() 1(/) 1

14、 , 0(/NnX) 1() 1(222nSn2112221112122222221222(1)(1)(1,1)(1)(1)nSnSFF nnnSSn) 1, 1(212221nnFSSF) 1() 1(1221211nSn) 1() 1(2222222nSn2221當(dāng) 時(shí):121222121212221122221212()() (2)(1)(1)2XXnntt nnnSnSnn2212121212,XXNnn)2() 1() 1(2122222221211nnSnSn1212122211221212()() (2)(1)(1)112XXtt nnnSnSnnnn時(shí)：當(dāng)22221參數(shù)估計(jì)n參

15、數(shù)估計(jì)的定義q以樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)n基本形式q點(diǎn)估計(jì)（point estimation）q區(qū)間估計(jì)（interval estimation）參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì))(xg例：例：xxni1222)(11sxxni樣本觀測(cè)值樣本觀測(cè)值參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì) 基本方法基本方法 - 構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(x)的方法的方法 矩法：用與總體參數(shù)相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量作矩法：用與總體參數(shù)相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)值，必要時(shí)可對(duì)統(tǒng)計(jì)量作適當(dāng)調(diào)整為估計(jì)值，必要時(shí)可對(duì)統(tǒng)計(jì)量作適當(dāng)調(diào)整 最大似然法：用使樣本觀測(cè)值的似然函數(shù)最大似然法：用使樣本觀測(cè)值的似然函數(shù)達(dá)到最大的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)值達(dá)到最大的統(tǒng)計(jì)量作為

16、估計(jì)值 最小二乘法：用使估計(jì)誤差平方和的統(tǒng)計(jì)最小二乘法：用使估計(jì)誤差平方和的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)值量作為估計(jì)值 貝葉斯法：根據(jù)貝葉斯理論構(gòu)造估計(jì)量貝葉斯法：根據(jù)貝葉斯理論構(gòu)造估計(jì)量參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì)衡量估計(jì)值優(yōu)劣的指標(biāo)衡量估計(jì)值優(yōu)劣的指標(biāo)無偏性無偏性：)(E無偏估計(jì)：無偏估計(jì)：0)(E有偏估計(jì)：有偏估計(jì)：0)(E)(xE的無偏估計(jì)量是x參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì)n樣本方差的期望22222222222) 1()()()()()()()()(2)()()()(nnnnxnExExnxExnxxxExxExxEi222)(11)(xxEnsEis2是是 2的無的無偏估計(jì)量偏估計(jì)量參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì)抽樣方差抽

17、樣方差/標(biāo)準(zhǔn)誤：標(biāo)準(zhǔn)誤：估計(jì)值的方差估計(jì)值的方差/標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均數(shù)的抽樣方差：樣本平均數(shù)的抽樣方差：樣本方差的抽樣方差樣本方差的抽樣方差：nxVar2)(4212)(nsVar參數(shù)估計(jì) - 點(diǎn)估計(jì)均方誤差均方誤差：22)()()(EVarE一致性：估計(jì)值隨著樣本的增大而更加接近一致性：估計(jì)值隨著樣本的增大而更加接近 真值真值有效性有效性: 抽樣方差達(dá)到最小的無偏估計(jì)抽樣方差達(dá)到最小的無偏估計(jì)充分性充分性: 估計(jì)函數(shù)包含了關(guān)于被估參數(shù)的全估計(jì)函數(shù)包含了關(guān)于被估參數(shù)的全 部信息部信息56參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)n由于估計(jì)量是隨機(jī)變量，所以一般都帶有一定由于估計(jì)量是隨機(jī)變量，所以一般都帶有一定的

18、隨機(jī)誤差，點(diǎn)估計(jì)僅僅給出了參數(shù)的一個(gè)估的隨機(jī)誤差，點(diǎn)估計(jì)僅僅給出了參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，有時(shí)候還需要了解這種估計(jì)結(jié)果的可靠計(jì)值，有時(shí)候還需要了解這種估計(jì)結(jié)果的可靠程度。程度。n用區(qū)間的的形式給出未知參數(shù)的變化范圍，并用區(qū)間的的形式給出未知參數(shù)的變化范圍，并賦予一定的概率保證，這便構(gòu)成了區(qū)間估計(jì)的賦予一定的概率保證，這便構(gòu)成了區(qū)間估計(jì)的基本思想?；舅枷搿以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)。以一定的置信度對(duì)參數(shù)可能取值范圍的估計(jì)。57參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)確定置信區(qū)間的步驟確定置信區(qū)間的步驟n計(jì)算樣本平均數(shù)計(jì)算樣本平均數(shù) ；n確定置信水平，一般用確定置信水平，一般用 1-=0.95或或0.99

19、，通過查表可確定分位數(shù)；通過查表可確定分位數(shù)；n求出標(biāo)準(zhǔn)誤求出標(biāo)準(zhǔn)誤 ，(總體標(biāo)準(zhǔn)差，總體標(biāo)準(zhǔn)差，n n樣樣本數(shù)本數(shù)) )。xnx參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)1)(21ttP1 - ：置信度（置信水平）t1, t2：置信區(qū)間t1、t2：置信限（置信下限、置信上限）求統(tǒng)計(jì)量求統(tǒng)計(jì)量 t1和和 t2 ，使得對(duì)于給定的，使得對(duì)于給定的 (0 1，常用常用 =0.05和和 =0.01)，有，有例如：參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)n正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)（方差已知）),(2nNx1)(uxuPx1)(xxuxuxP當(dāng)當(dāng) 2已知已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布兩尾概率布兩尾概率分位點(diǎn)分位點(diǎn)) 1 , 0(Nxx參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)n正態(tài)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)（方差未知）當(dāng)當(dāng) 2未知未知) 1 , 0(Nxx) 1() 1(222nsn) 1( t) 1() 1(22nsxnsxnsnxxx參數(shù)估計(jì) - 區(qū)間估計(jì)1)(tsxtPxt分布兩尾分布兩尾概率分位點(diǎn)概率分位點(diǎn)1)(xx