2-8多元函數(shù)的無條件極值PPT課件

1、2021/7/241ReviewPeanoTaylor帶余項的二元公式0000 ( ,)(,)(,)f x yf xyhkf xyxy001(,)!nhkf xynxy22.nohk0.mmmiim imim iihkC h kxyxy其中算子2021/7/2420000( ,)(,)(,)f x yf xyhkf xyxy001 (,)!nhkf xynxy0011(,)(1)!nhkf xh yknxy01LagrangeTaylor帶余項的二元公式2021/7/243.首先回顧一元函數(shù)的極值問題9.多元函數(shù)的極值00()()0f xfx極小00()()0f xfx極大000 ()0()(

2、)0fxf xfx 極小000()0()()0fxf xfx極大2021/7/2441.極值的定義與必要性00000, ( )( )(),()()Def. ().nnfxUxU xxf xf xf xfxf 元函數(shù) 在的某個鄰域 中有定義,若都有則稱為 的一個 嚴格 極小值,稱 為 的一個嚴格 極小值點0000, ( )( )(),()()().xU xxf xf xf xfxf 若都有則稱為 的一個 嚴格 極大值,稱 為 的一個嚴格 極大值點2021/7/245000012000 ,(),gThm.rad ()0.nnnfxxxxf xxff x元函數(shù) 在的某個鄰域中可微,極小 則 為 的一

3、個駐點,即0000121Pro (),of.,nf xf x xxx極小一元函數(shù)在取到極小值010.fxx從而0,0,2,3,.kfxkxn 同理0grad ()0.f x于是2021/7/2460022 ,(),( ,Remark:),(0,0),(0,0).f f xxf x yxyff對一般的函數(shù)極小不一定為駐點.例如極小但不是的駐點(偏導數(shù)不存在)0022 grad ()0,.,( , ),grad (0,0)0,(0,R0).emark:f xxff x yxyff但 不一定是 的極值點例如但不是 的極值點()().Remar,()() .k: 極大 小 值不一定是最大 小 值 反之

4、 最大 小 值一定是極大 小 值2021/7/2472.矩陣的正定性(),(),Tn nn nijPaMPP ,(),0,( )0.(),0,( )0.,0,0.TnTTTTn nnnPMPxxx PxPxxx PxPx yx PxDefy PPPy 設稱 正定 負定 若稱 半正定 半負定 若稱 不定 若,1:nTij iji jx Pxa x x二次型12,.Tnnxx xx2021/7/248 , 0 0 0.Thm.Tn nPMPPPPPPP則正定的每個主子式的每個順序主子式半正定的每個主子式 000,0,01Remar(.k:),.PPPPP的每個順序主子式不能推出 半正定例如每個順序

5、主子式都等于 但 半負定半正定 而非半正定2021/7/2493.極值的充分條件12 D f.(ennf x xx設 元函數(shù), ,)二階連續(xù)可微,000012(,),nMxxx稱對稱矩陣0.fMHasse為 在點的矩陣0()fHM221fx212fx x 21nfx x 0M221fx x 222fx22nfx x 21nfxx22nfxx22nfx2021/7/241000001200000000000 (,),grad ()0,(1)(),().(2)(),().(3)(),()(4)(),().(5)()0,(T m.h)fffffnnfxxxxf xHxf xHxf xHxf xHxf

6、 xHxf x元函數(shù) 在的鄰域中二階連續(xù)可微若正定 則嚴格極小若負定 則嚴格極大若不定 則不是極值.若0半正定 則不是極大值若半負定 則不是極小值2021/7/2411Taylor,公式0( )()f xf x21212( )nnhhhf xxxx12012()nnhhhf xxxx00 (),01xxxx其中200,1()niji jijhhf xxxx x 12012()nnhhhf xxxx000grad ()0,Proof:iiif xhxx因記,由多元函數(shù)的T0000()() ()fxxHxxxxx2021/7/2412T0000()() ()fxxHxxxxx0( )()f xf

7、x0(1)(),0.fHx若正定 則其各階主子式都f由 的二,階連續(xù)可微性00,xx存在當時00()0,fHxxx的各階主子式都00()fHxxx即正定.0 xx從而當且00, ( )()0.xxf xf x時0()f x即為嚴格極小值.00 (2)(1),(),0,fHxxx同可證 若負定存在當000,(),()fHxxxf x時負定為嚴格極大值.2021/7/24130(),. .nfHxy zst(3)若不定,則存在,*TT00()0,()0,ffy Hxyz Hx z0,0,fxx由 的二階連續(xù)可微性 存在當時T00()0,fy HxxxyT00()0.fz Hxxxz001(0, )

8、,2xxyxx 取則,且00000( )()()Tff xf xxxHxxxxx2T001()0.4fy Hxxxy0()f x故不是極大值.1.yz2021/7/2414001,2xxzxx同理,取則,且0( )()0.f xf x0()f x故不是極小值.000,(),()fHxxxf x綜上不定不是極值.0()0,. .nfHxyst(4)若半正定 則存在,*T0()0, 1.fy HxyyT00T00,()0.()().1,0(),0().1,20,0,()0,.ijnijffijiiijfiijjijfyy HxyHxayyjiy HxyayyaaaaHx 否則,記令則令則故矛盾20

9、21/7/241500,xx同(3),存在當時,001(0, ),2xxyxx 取則,且0().f x故不是極大值(5)(4).* 證法同Remark Hasse判斷多元函數(shù)的駐點是否為極值點,關鍵在于研究函數(shù)在這一點的矩陣的正定性.T00()0.fy Hxxxy0 ( )()0,f xf x,特別地 對二元函數(shù)有如下定理:2021/7/2416000( , )(,)Thm.f x yMxy設在的鄰域中二階連續(xù)可微,00grad (,)0,f xy記22200022()()(),f Mf Mf MABCxx yy 2001)0,0,(,)AACBf xy則 若則嚴格極小.2002)0,0,(,

10、)AACBf xy若則嚴格極大.2003)0,(,).ACBf xyf若則不是 的極值Proof. 200,0().fAACBHM負定200()fACBHM不定.0()fH M ,A BB C200,0().fAACBHM正定2021/7/2417200 0,(Rema,k:)rACBf xyf當時可能不是 的極:f值,也可能是 的極大值或極小值.例如(0,0)fH ( , )f x y23xy222xx y222xx y20002000(0,0)2000f不是 的極值點.f是 的極小值點.f是 的極大值點2021/7/24180000 (,)R(,emark:).fHxyf xy半正定不蘊含

11、極小0000(,)(,).fHxyf xy半負定不蘊含極大(0,0)fH ( , )f x y23xy2000半正定2000半負定(0,0)f不是 的極值點23xyf不是 的極值點Remark:ff求函數(shù) 的極值,先求出 的所有駐點,再逐個判斷他們是否為極值點.2021/7/24194.例題22222410 10: xyzxyz 確例定隱函數(shù):解視方程Step1. ( ,.:)zz x y分求的駐點析Step2.Hasse.求駐點處的矩陣,判斷是否為極值點( , ).( , ).zz x yz x y求的極值222224100 xyzxyz( , ),zz x yxy中分別對 和 求偏導 得

12、22240 (1)22240 (2)xxyyxzzzyzzz2021/7/2420于是 22240 (1)22240 (2)xxyyxzzzyzzz11,.22xyxyzzzz( , )(1, 1),2,6.x yzz 駐點為對應或(1),x y分別對求偏導 得222240,xxxxxzzzz2240,x yxyxyz zzzz(2),y對 求偏導 得222240.yyyyyzzzz2021/7/2421( , , )(1, 1, 2)x y z 當時,222240,xxxxxzzzz2240,x yxyxyz zzzz222240.yyyyyzzzz1/4,0,1/4.xxxyyyAzBzC

13、z20,0,AACB2.z 故為極小值( , , )(1, 1,6)x y z 當時,1/4,0,1/4.xxxyyyAzBzCz 20,0,6. AACBz故為極大值2021/7/242222()22 ():.xyfxye求2的極值例Step1, : 解求駐點.由22(0,0)1.xy得駐點或Step2. Hasse求矩陣,極值判斷22()222222(1 3)4(1)xyxxfxyxxye22()222 (1)0 xyxfxxye22()222 (1)0 xyyfyxye22()222222(13)4(1)xyyyfxyyxye22()224(2)xyxyfxyxye 2021/7/242

14、3( , )(0,0),x y當時2,0,2.xxxyyyAfBfCf20,0,(0,0).AACBf極小221,xy當時211214,4,4.Ax eBxyeCy e 20,( , ).f xACBy不能直接判斷是否為極值22,txy令1(1)0.ge 1( )1(1).g ttge在時有極大值221( , )1.f x yxye從而當時有極大值( )(1)01.tg tt et由得駐點則22()22( , )()( )xytf x yxyeteg t( )(2),tg tte2021/7/24242( , )(0,0)( , )(0,0)lim0,:sinx yf x yfAfxy例3連續(xù)

15、.22,: 0,fxy由 的連續(xù)解性 存在當時2( , )(0,0)sin20.f x yfA xy(0,0). f故為 的極小值點2( , )(0,0)sRiemark: n,f x yfxy若(0,0).f判斷是否為 的極值點2( , )(0,0),2sinf x yfAxy(0,0)則不是嚴格極小值點.2021/7/242522 2( , )(0,0)( , ),lim1. (0,0)?):(x yf x yxyffxy連例續(xù)是否極值( , )(0,0)lim( , )0,x yf x yxy解:(0,0)0.f220,xy存在,當時22 222 231()( , )() .22xyf

16、x yxyxy, n于是對充分大的241 112,0,fn nnn2422111616,(1)0.fnnnnnn (0,0). f故不是極值2021/7/242622 ( , )1.,.xxyyu x yxyuuu在上連續(xù)可微*例221, ( , )0.:xyu x y且當時求證221) ( , )0,1.u x yxy222) ( , )0,1.u x yxy22 1),( ,:)u x yxy若不然 則連續(xù)函數(shù)在有界閉集解10.上的最小值00(,),uxy設 在處取到最小值 則00221(,)min( , )0.xyu xyu x y00221,xy2021/7/2427記00(,)xyu

17、最小值點也是 的極小值點,則000000(,),(,),(,).xxxyyyAuxyBuxyCuxy20,ACB0.AC 從而,xxyyuuu另一方面 由有()Hasse否則矩陣不定00(,)0.ACu xy0,0,0.ACA C于是且不同時為0,0AC當時,00(,),uABHxyBC0負半定00(,).uxy在不是極小值矛盾2021/7/2428000(,),00uAHxy0負半定00(,)u xy 不是極小值.矛盾.,0,0,AC同理時0000(,)0uHxyC0負00, (,)u xy半定不是極小值.矛盾.22, ( , )0,1.u x yxy綜上0,0,AC當時20,0.ACBB因

18、必有于是2021/7/2429222211(2)= min( , ), max (),yxxyxyu x yee記0,0.則令( , )( , )().2yxv x yu x yee22( , )1,v x yxy則在上連續(xù)可微 且22, 1.xxyyvvvxy22( , )0, 1.v x yxy(1),由中結論22( , )0, 1.v x yxy于是,22( , )()0, 1.2yxu x yeexy 2021/7/2430(最小例6:二乘法).xyO(,)iix yyaxb: 使誤差的分析平方和最小.21( , )(): niiif a byaxb解Step1.( , ).f a b證明有最小值22( , )2f a bAaBabnbDaEbG211,nniiiiAxBx記則2Cauchy,440,BnA 由不等式可以證明22.lim( , )abf a b 2220,( , )(0,0).RabRf a bf故當時,f從而222abR在上的最小值就是全局最小值.2021/7/2431Step2.( , )