專題3平面向量與三角(衛(wèi)賽民).

1、專題三 三角函數(shù)與平面向量【考情報(bào)告】題型2010年2011年2012年小題第3題:主要考查三角形中的正弦定理.第5題:主要考查三角形重心的性質(zhì)及向量運(yùn)算的幾何意義.第3題:主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩角和(差)公式的運(yùn)用.第8題:主要考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,線性規(guī)劃問題及轉(zhuǎn)化思想.第9題:主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解及余弦函數(shù)的求解.第11題:主要考查利用余弦定理解三角形等.大題第16題:主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩角和(差)公式、倍角公式等.第16題:主要考查三角函數(shù)的基本公式,利用正弦定理、余弦定理解三角形.第17題:主要考查三角函數(shù)的最小正周期、值域、二倍角公式、三角恒等變形以及向量

2、的運(yùn)算等.【考向預(yù)測(cè)】縱觀近幾年高考關(guān)于三角函數(shù)與平面向量部分的命題可以看出:三角函數(shù)的試題一般是一小題一大題;平面向量的試題一般是一小題,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).在解答題中對(duì)平面向量的考查,都不是以獨(dú)立的試題形式出現(xiàn),而是把平面向量作為解題的工具,滲透于解答題,如三角函數(shù)、圓錐曲線、數(shù)列等問題中.三角函數(shù)的解答題一般都為基礎(chǔ)題,而三角函數(shù)與平面向量的小題一般都屬于中低檔題,不會(huì)太難.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),如周期、最值、單調(diào)性、圖象變換、特征分析(對(duì)稱軸、對(duì)稱中心);三角函數(shù)式的恒等變形,如利用有關(guān)公式求值和簡(jiǎn)單的綜合問題等都是考查的熱點(diǎn);平面向量主要考查共線(垂直)向量的充要條件、向量

3、的數(shù)量積與夾角.預(yù)測(cè)在2013年的高考試卷中,考查三角函數(shù)與平面向量部分的題為兩小題一大題,三角解答題一般有兩種題型:一、解三角形,主要是運(yùn)用正余弦定理來(lái)求解邊長(zhǎng)、角度、周長(zhǎng)、面積等;二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),主要是運(yùn)用和角公式,倍角公式,輔助角公式進(jìn)行三角恒等變換,求解三角函數(shù)的最小正周期,單調(diào)區(qū)間,最值(值域)等.13年需要注意第二種題型的考查.難度為中低檔題.【知能診斷】1.(2012年·江西)若tan+=4,則sin 2=(    )(A).    (B) .   &

4、#160;(C) .    (D) .【答案】D2.若,(0,),cos =,tan =,則+2=    .3.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,則A等于(    ) 【答案】A（A)30°.    (B)60°.    (C)120°.    (D)150°

5、;.4.已知關(guān)于x的方程:·x2+·2x+=0(xR),其中點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn),O是直線AB外一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(    ) 【答案】B(A)點(diǎn)C在線段AB上.(B)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn).(C)點(diǎn)C在線段AB的反向延長(zhǎng)線上且點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn).(D)以上情況均有可能.5.(2012年·江西)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1) 求證:B-C=; (2)若a=,求ABC的面積.【診斷參考】1.第1題容易想到是先通過(guò)條件tan

6、 +=4求出正切值,此時(shí)一方面解方程繁瑣,另一方面又要討論函數(shù)值的符號(hào),此法不可取,顯然必須切化弦,因此需利用公式tan =轉(zhuǎn)化;sin2+cos2在轉(zhuǎn)化過(guò)程中常與“1”互相代換,從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.2.第2題最困難的地方在于確定+2的范圍,一般地,根據(jù)已知條件,把角的范圍限制得越精確,結(jié)果也越準(zhǔn)確.否則角的范圍容易被放大,導(dǎo)致錯(cuò)誤.3.第3題中,記錯(cuò)公式、忘記討論角的范圍或者代數(shù)運(yùn)算不熟練是造成這類解三角形問題的出錯(cuò)的主要原因.這里選用余弦定理求角是正確的,如果選用正弦定理求角就不合理,一是出現(xiàn)兩個(gè)角,二是要討論舍棄一個(gè)角,更容易出錯(cuò).4.第4題考查向量的線性運(yùn)算及三點(diǎn)共線的充要條件及探究能

7、力,此題學(xué)生最大的思維障礙是向量的三點(diǎn)共線的條件的轉(zhuǎn)化,即由A,B,C三點(diǎn)共線,O為直線AB外一點(diǎn),若+,則 +=1,從而可解決本題.5.第5題是考試說(shuō)明中“考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解”的典范,很多考生拿到三角題的定勢(shì)思維就是看能不能利用條件整體化去湊角,這樣一來(lái)出現(xiàn)一些平時(shí)成績(jī)好的學(xué)生走入死“胡同”,真是“弄巧成拙”.其實(shí)本題的解法就是最簡(jiǎn)單地把角拆開,整理就可以了.專案突破核心知識(shí)：一、三角函數(shù)及解三角形1.y=Asin(x+)(A>0)的圖象特點(diǎn):(1)在對(duì)稱軸處取得最大值或最小值;(2)對(duì)稱中心就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn);(3)兩相鄰的對(duì)稱中心(或?qū)ΨQ軸)之間相差半個(gè)周期,相鄰的一個(gè)

8、對(duì)稱中心和對(duì)稱軸之間相差四分之一個(gè)周期.由y=Asin(x+)的圖象求其函數(shù)式:在給出圖象要確定解析式y(tǒng)=Asin(x+)的題型中,有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)(- ,0)作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置.2.三角函數(shù)的恒等變換:從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析,常用的技巧有:切割化弦,降冪,用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角,異角化同角,異名化同名,高次化低次等.二倍角公式是實(shí)現(xiàn)降冪或升冪的主要依據(jù),注意其變形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2=,sin2=.3、正弦定理已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,則=2R(R為三角形外

9、接圓的半徑).4.余弦定理已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,則a2=b2+c2-2bccos A,cos A=,另外兩個(gè)同樣.5、面積公式已知在ABC中,a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,則(1)三角形的面積等于底乘以高的;(2)S=absin C=bcsin A=acsin B=(其中R為該三角形外接圓的半徑);(3)若三角形內(nèi)切圓的半徑是r,則三角形的面積S=(a+b+c)r;(4)若p=,則三角形的面積S=.6.航海和測(cè)量中常涉及仰角、俯角、方位角等術(shù)語(yǔ).二、平面向量1.平面向量的基本概念2.共線向量定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使b=&

10、#183;a.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab 的充要條件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1=0,即用坐標(biāo)表示的兩個(gè)向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交叉之積相等.當(dāng)其中一個(gè)向量的坐標(biāo)都不是零時(shí),這個(gè)充要條件也可以寫為,即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比值相等.3.平面向量基本定理對(duì)于任意向量a,若以不共線的向量e1,e2作為基底,則存在唯一的一組實(shí)數(shù)對(duì),使a=e1+e2.4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).5.數(shù)量積(1)已知a,b的夾角為<a,b>=(0,)

11、,則它們的數(shù)量積為a·b=|a|·|b|cos ,其中|b|cos叫做向量b在a方向上的投影,向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律,但不滿足結(jié)合律,即a·(b·c)(a·b)·c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2;(3)兩非零向量a,b的夾角公式為cos=(4)|a|2=a·a. (5)兩個(gè)向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零.【考點(diǎn)突破】熱點(diǎn)一:三角函數(shù)定義及簡(jiǎn)單的三角恒等變換 (1) 若0<<,-<<0,cos(+)= ,c

12、os(-)=,則cos(+)等于(    )(A) .    (B)- .    (C) .    (D)- .(2)(2011年·重慶) 已知sin=+cos,且(0, ),則的值為        .【答案】(1)C    (2)- 【歸納拓展】在進(jìn)行三角恒等變換時(shí),一個(gè)重要的技巧是進(jìn)行角的變換,把求解的角

13、用已知角表示出來(lái),把求解的角的三角函數(shù)使用已知的三角函數(shù)表示出來(lái),常見的角的變換有: +2=2(+),=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2 =(-)-(-)等.在進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)或者求值時(shí),如果求解目標(biāo)較為復(fù)雜,則首先要變換這個(gè)求解目標(biāo),使之簡(jiǎn)化,以便看出如何使用已知條件.變式訓(xùn)練1    (1)已知=,則tan+的值為(    )(A)-8.    (B)8.    (C)- .  

14、  (D) .(2)若sin+2cos=0,則的值為(    )(A)- .    (B) . (C) .    (D)- .【答案】(1)A    (2)A 例2 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,銳角、的終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn). (1)如果tan=,B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求cos(+)的值; (2)若角+的終邊與單位圓交于C點(diǎn),設(shè)角、+的正弦線分別為MA、NB、PC,求證:線段MA、NB、PC能構(gòu)成一個(gè)三角形.【歸納拓

15、展】三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)線的定義的使用是解決例2的關(guān)鍵.近幾年的高考試題對(duì)三角函數(shù)基本關(guān)系考查常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值在5分左右.其考查重點(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí),考查要點(diǎn)是三角函數(shù)值的計(jì)算、三角函數(shù)符號(hào)的判斷、角的象限的判斷等.變式訓(xùn)練2已知向量a=(sin,-2)與b=(1,cos)互相垂直,其中(0, ).(1)求sin和cos的值;(2)若sin(-)= ,0<<,求cos的值.熱點(diǎn)二:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)此類題型在高考中主要以小題形式出現(xiàn),考查三角公式中的和(差)角公式、倍角公式的應(yīng)用,三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最值、圖象的變換也是?？嫉膬?nèi)容.考題一

16、般屬中低檔題,熟記并靈活運(yùn)用相關(guān)公式和性質(zhì)是解決此題型的關(guān)鍵.  例3 (1)函數(shù)f(x)=2sin(x+)(其中>0,- <<)的圖象如圖所示,若點(diǎn)A是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)B、D分別是函數(shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)C(,0)是點(diǎn)B在x軸上的射影,則=        .(2)函數(shù)f(x)=xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(    )(A)4.    (B)5.

17、    (C)6.    (D)7.3)若函數(shù)f(x)=sinx(>0)在區(qū)間0, 上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上單調(diào)遞減,則等于(    )(A)3.    (B) 2.    (C) .    (D) 【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各個(gè)參數(shù)中,與T有關(guān),與平移或?qū)ΨQ軸等有關(guān).能夠由圖得出與,然后利用數(shù)量積公式.(2)利用零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為解方程即可.

18、(3)能夠從已經(jīng)給出的單調(diào)區(qū)間結(jié)合圖象得出.【答案】(1) -8    (2)C    (3)C【歸納拓展】三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征,要準(zhǔn)確掌握,如對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn),對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),圖象平移應(yīng)注意整體代換.能夠熟練畫出簡(jiǎn)圖,然后能夠借助正弦函數(shù)的圖象結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì),充分利用數(shù)形結(jié)合去解決問題.變式訓(xùn)練3   (1)設(shè)R,則“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)為偶函數(shù)”的(    )(A)充分而不必要條

19、件. (B)必要而不充分條件.(C)充分必要條件. (D)既不充分也不必要條件.(2)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,則f()=    .【答案】(1)A    (2)-2例4已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(>0,<<)的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的表達(dá)式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間,2上的最大值和最小值.【分析】先結(jié)合圖象確定和,再求最值.【歸納拓展】(1)解決三角函數(shù)圖象題要能夠熟練畫出簡(jiǎn)圖,然后能夠借助三角函數(shù)的圖象

20、結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì),充分利用數(shù)形結(jié)合去解決問題.(2)要求正弦型函數(shù)f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通過(guò)以下幾個(gè)步驟實(shí)現(xiàn):根據(jù)振幅求出A;根據(jù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或與x軸的交點(diǎn)求周期,再求出;根據(jù)特殊值求出初相,或者利用正弦函數(shù)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的關(guān)系直接求解.變式訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)需要把函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到函數(shù)g(x)=cos x的圖象?(3)在ABC中,A、B、C分別為三邊a、b、c所對(duì)的角,若a=,f(A)=1,求b+c的最大值.熱點(diǎn)三:向量的基本

21、運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算是基本考查內(nèi)容.向量的共線問題及垂直問題,求模長(zhǎng)及夾角問題是考查重點(diǎn).解三角形問題也是考查的重點(diǎn)之一,此題型難度中等,一般是小題.綜合解三角形問題常為解答題.  例5  (1)設(shè)x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,則|a+b|等于(    )(A) .    (B) .    (C)2.    (D)

22、10. (2)(2011年·湖南)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè)=2, =3,則=    .(3)給出下列命題:已知向量a,b,c均為單位向量,若a+b+c=0,則a·b=ABC中,必有=0;四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是;已知P為ABC的外心,若,則ABC為正三角形.其中正確的命題為    .【分析】(1)能夠利用向量平行與垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而計(jì)算出模的大小.(2)把向量用正三角形ABC的三條邊所在的向量表示,再對(duì)數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算.(3)應(yīng)該掌握向量的基本知識(shí)、基本概念.【答案】(1)B

23、    (2)-     (3)【歸納拓展】(1)能夠掌握向量的基本概念、平面向量線性運(yùn)算,即加法、減法運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算.(2)能夠利用向量垂直條件得到相應(yīng)的三角函數(shù)間關(guān)系,借助正余弦定理進(jìn)行解題.變式訓(xùn)練5    (1)已知ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(b-2,a-2),且mn,c=2,C=,則ABC的周長(zhǎng)的最小值是        .(2)在ABC

24、中,AB=2,AC=3, =1,則BC等于(    )(A). (B) .    (C)2.   (D) .(3)(2012年·廣東)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和,定義=.若平面向量a,b滿足|a|b|>0,a與b的夾角(0, ),且ab和ba都在集合|nZ中,則ab等于(    ) (A) .    (B)1.    (C) .  

25、  (D) .【答案】(1)6    (2)A    (3)C熱點(diǎn)四:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用考查y=Asin(x+)的圖象和性質(zhì)(值域、單調(diào)性、周期性),輔助角公式asin+bcos=sin(+)及三角函數(shù)的恒等變形,難度中等.已知向量a=(cosx-sinx,sinx),b=(-cosx-sinx,2cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=a·b+(xR)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,其中,為常數(shù),且(,1).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,0),求函數(shù)f(x)在區(qū)

26、間0, 上的取值范圍.【分析】求周期問題同樣應(yīng)該把f(x)化為Asin(x+)的形式,然后再進(jìn)行解題.【歸納拓展】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題,變換是其中的核心,把三角函數(shù)的解析式通過(guò)變換,化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù),然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.變式訓(xùn)練6 如圖是函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,0<<)的部分圖象,M,N是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),D,C分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)F(0,1)是線段MD的中點(diǎn),SCDM=.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)在CDM中,記DMN=,CMN=,證明:sin C=2coss

27、in.熱點(diǎn)五:三角變換與解三角形三角變換與解三角形這兩個(gè)知識(shí)塊往往是結(jié)合在一起出現(xiàn)在高考試題中的,一般是先進(jìn)行三角變換,后解三角形,題型往往是解答題,難度中等.當(dāng)然,也經(jīng)常出現(xiàn)獨(dú)立的考查三角變換和解三角形的試題. 例7 (1)在ABC中,B=60°,AC=,則AB+2BC的最大值為    (2)(2012年·四川)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE=1,連結(jié)EC、ED,則sin CED=(    )(A) .    (B) .(

28、C) .    (D) .【分析】(1)先通過(guò)解三角形把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系,再求其最值. (2)充分利用圖形以及正、余弦定理進(jìn)行解題.【答案】(1)2    (2)B【歸納拓展】(1)求n條邊的和的最值問題,一般是要用正弦定理,把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和,再用輔助角公式求出最值;(2)在一個(gè)三角形中,已知三條邊可求任意角的正弦、余弦、正切值.變式訓(xùn)練7    (1)已知等腰三角形的頂角的余弦值為,則一個(gè)底角的余弦值為    .

29、(2)已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且a=2,A=,c=,則ABC的面積為(    )(A) .    (B) .(C) .    (D) .【答案】(1)     (2)A 例8 (1)在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,已知sinC+cosC=1-sin求sin C的值;若a2+b2=2(a+b)=8,求邊c的值. (2)(2012年·大綱全國(guó))ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a

30、、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.【歸納拓展】(1)已知a,b邊的關(guān)系結(jié)合第問的結(jié)論很容易想到用余弦定理求c邊.(2)本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用,通過(guò)邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí),以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問題.試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)后,得到A,C角關(guān)系,然后結(jié)合a=2c,得到兩角正弦值的二元一次方程組,自然很容易得到C角的值.變式訓(xùn)練8在ABC中,角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c.(1)若sin(A+)=2cos A, 求A的值;(2)若cos A=,b=3c,求sin C的值.熱點(diǎn)六:向

31、量的應(yīng)用向量的應(yīng)用問題主要集中在論證幾何命題(如平行與垂直)、求最值、求值等問題上.常用的解題知識(shí)有:向量共線的充要條件、向量垂直的充要條件、平面向量的基本定理以及向量數(shù)量積的運(yùn)算公式等.例9   (1)已知ABC為等邊三角形,AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=, =（1-) ,R,若·=-,則等于(    )(A) .     (B) .(C) .    (D) .(2)若|a|=,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),則a與b的夾角余弦是

32、(    )(A) .    (B) .    (C)- .    (D)- .【答案】(1)A    (2)B【歸納拓展】(1)本試題以等邊三角形為載體,主要考查了向量加減法的幾何意義,平面向量基本定理,共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用.(2)考查向量垂直的充要條件與向量的夾角公式的應(yīng)用.首先利用向量垂直的充要條件,求出a·b,再利用向量的夾角公式計(jì)算夾角的余弦值.變式訓(xùn)練9 

33、;   (1)在平行四邊形ABCD中,A=,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足=,則·的取值范圍是    .(2)已知向量a,b,c滿足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)·(b-c)=0.若對(duì)每一個(gè)確定的b,|c|的最大值和最小值分別為m,n,則對(duì)任意b,m-n的最小值是 (        )(A)   (B) .    (

34、C) .    (D)1.【答案】(1)2,5    (2)B 例10ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且有sin 2C+cos(A+B)=0(1)a=4,c=,求ABC的面積;(2)若A=,cosB>cos C,求·-2·-3·的值.【分析】因?yàn)閏os(A+B)=-cos C,所以先統(tǒng)一角度,再求解.【歸納拓展】對(duì)于向量數(shù)量積的運(yùn)算,本題只要掌握基本概念就可以迎刃而解,做題時(shí),要切實(shí)注意條件的運(yùn)用.變式訓(xùn)練10已知向量a=(cos,sin), b=(cos,sin)

35、,|a-b|=.(1)求cos(-)的值;(2)若0<<,-<<0,且sin=-,求sin.熱點(diǎn)七:應(yīng)用題三角知識(shí)的應(yīng)用,常在測(cè)量方面命題.題目難度有時(shí)還較大,多以大題出現(xiàn),解決此類問題應(yīng)該先認(rèn)真審題,將實(shí)際中的問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)模型而后解之.例11 2012年5月中下旬,強(qiáng)颶風(fēng)襲擊某地,給南部與中西部造成了巨大的損失.為了減少?gòu)?qiáng)颶風(fēng)帶來(lái)的災(zāi)難,救援隊(duì)隨時(shí)待命進(jìn)行救援.某天,信息中心在A處獲悉:在其正東方向相距80海里的B處有一艘客輪遇險(xiǎn),在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距40海里的C處的救援船,救援船立即朝北偏東角的方向沿直線CB前往

36、B處救援.(1)若救援船的航行速度為60海里/小時(shí),求救援船到達(dá)客輪遇險(xiǎn)位置的時(shí)間(2.646,結(jié)果保留兩位小數(shù));(2)求tan的值.【分析】把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系,因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊,利用余弦定理求出BC即可解決第(1)題;對(duì)于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本關(guān)系求出tanACB,再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.【歸納拓展】本題以全新的背景引入,以實(shí)際應(yīng)用問題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、三角公式的應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力.把問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系,因此本題的關(guān)鍵是找出圖中的角和邊,利用余弦定理求出BC即可解決第(1)題;對(duì)于(2)

37、,利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本關(guān)系求出tanACB,再利用兩角和的正切公式即可得出結(jié)果.變式訓(xùn)練11如圖,實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成,圓P和圓Q的半徑都是2,點(diǎn)P在圓Q上,現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地.(1)如圖甲,要建的活動(dòng)場(chǎng)地為RST,求場(chǎng)地的最大面積;(2)如圖乙,要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD,求場(chǎng)地的最大面積.限時(shí)訓(xùn)練卷(一)一、選擇題1.在ABC中,BD為ABC的平分線,AB=3,BC=2,AC=,則sinABD等于(    ) 【答案】A(A) . 

38、0;  (B) .    (C) .    (D) .2.f(x)=cos(x+)(>0)的圖象與y=1的圖象的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為,要得到y(tǒng)=f(x) 的圖象,只須把y=sinx的圖象(    ) 【答案】A(A)向左平移個(gè)單位. (B) 向右平移個(gè)單位.(C) 向左平移個(gè)單位. (D) 向右平移個(gè)單位.3. 等于(    ) 【答案】D(A)±.    (B

39、) .    (C)- .    (D) .4.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x-),xR,則f(x)是(    )B(A)最小正周期為的奇函數(shù).(B)最小正周期為的偶函數(shù).(C)最小正周期為的奇函數(shù).(D)最小正周期為的偶函數(shù).5.已知sin(+)= ,則cos(+2)的值為(    ) B(A)- .    (B) .    (C) .  

40、;  (D)- .6.設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量.則(    ) 【答案】C (A)若|a+b|=|a|-|b|,則ab. (B)若ab,則|a+b|=|a|-|b|.(C)若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù),使得b=a.(D)若存在實(shí)數(shù),使得b=a,則|a+b|=|a|-|b|.7.如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50 m, ACB=45°,CAB=105°后,就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為( A  )A)50 m.

41、60;   (B)50 m.(C)25 m.    (D) m.8.設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)(-<<)的圖象向左平移個(gè)單位后,得到右邊的圖象,則,的值為(B    )(A)=1,=.    (B)=2,=.C)=1,=-.    (D)=2,=-.9.已知平面內(nèi)的向量，,滿足:| |=2,P(x,y),且=1+2,(+)·(-)=0,011,122,則滿足條件的點(diǎn)P所表示的

42、圖形面積是( B   )(A)8.    (B)4.    (C)2.    (D)1.二、填空題10.函數(shù)f(x)=Asin(x+)+k(A>0,>0,|<)的圖象如圖所示,則f(x)的表達(dá)式是f(x)=    .11.設(shè)為銳角,若cos(+)=,則sin(2+)的值為    .12.若平面向量a,b滿足:|2a-b|3,則a·

43、b的最小值是    .三、解答題13.已知a=(sin x,1),b=(1,cos x),且函數(shù)f(x)=a·b,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)F(x)=f(x) f'(x)+f(x)2的最大值和最小正周期;(2)若f(x)=2f'(x),求的值.限時(shí)訓(xùn)練卷(二)一、選擇題1.(2012·福建六校聯(lián)考)已知-<<,且sin+cos =a,其中a(0,1),則關(guān)于tan的值,在以下四個(gè)答案中,可能正確的是(C    )(A)-3. 

44、0;   (B)3 或.(C)- .    (D)-3或-.2.(2012·泰安期末)已知tan=2,則等于(D    )(A) .    (B)- .    (C) .    (D) .3.把函數(shù)y=sin x(xR)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象所表示的函數(shù)為(B  &

45、#160; )(A)y=sin(2x-),xR.(B)y=sin(x+),xR.C)y=sin(2x+),xR.(D)y=sin(x-),xR.4.函數(shù)f(x)=2cos2x-sin 2x(xR)的最小正周期和最大值分別為 (C    )(A)2,3.    (B)2,1. (C),3.    (D),1.5.函數(shù)y=cos(x+)(>0,0<<)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,A、B分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn),并且兩點(diǎn)間的距離為2,則該函數(shù)的一條對(duì)

46、稱軸方程為( C   )(A)x=. (B)x=. (C)x=1. (D)x=2.6. 在ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若AB=12,且ab=1,則cos 2B的值是(A    )(A)- .    (B) .    (C)- .    (D) .7.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示ABC的面積,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-

47、a2),則B等于(C    )(A)90°.    (B)60°.    (C)45°.    (D)30°.8.在ABC中角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為( C    )A) .    (B) .    (C) . &

48、#160;  (D)- .9.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a2013,且滿足條件=2,則an中前2013項(xiàng)的中間項(xiàng)是(A    )(A) .    (B)1.    (C)2012.    (D)2013. 二、填空題10.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點(diǎn),且sin=-,則y=    . 11.已知(, ),tan=2,則

49、cos=    12.已知cos=,coscos=,coscoscos=,.根據(jù)以上等式,可猜想出的一般結(jié)論是       .三、解答題13.已知向量a=(1+cosx,1),b=(1,a+sinx)(為常數(shù)且>0),函數(shù)f(x)=a·b在R上的最大值為2.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)把函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個(gè)單位,可得函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)在0, 上為增函數(shù),求的最大值.限時(shí)訓(xùn)練卷(三)一、選擇題1.已知sin(+)cos-cos(+)sin=,

50、且在第二象限,則tan等于( B   )(A) 或-3.    (B)3.(C) .    (D)3或-.2. 在ABC中,若a cos A=b cos B,則這個(gè)三角形的形狀是( D   )(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)等腰三角形.(D)等腰三角形或直角三角形.3.函數(shù)f(x)=sin(x-)(>0)的最小正周期為,則y=f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(C    )(A)-,.&

51、#160;   (B), .(C)-,.    (D)-,.4.函數(shù)y=(0<x<,x)的圖象的大致形狀是(B    )5.在邊長(zhǎng)為1的等邊ABC中,若=a, =b, =c,則a·b+b·c+c·a等于(B    )(A) .    (B)- .    (C)3.    (D)0.6.使

52、y=sin x(>0)在區(qū)間0,1至少出現(xiàn)2次最大值,則的最小值為(A    )(A)     (B) .(C).    (D) .7.在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(1,1),且·=1,則·等于(B    )(A)-1.    (B)1.    (C) .    

53、;(D) .8.已知直線x=是函數(shù)f(x)=asinx-bcosx圖象的一條對(duì)稱軸,則函數(shù)g(x)=bsinx-acosx圖象的一條對(duì)稱軸方程是(B    )(A) x=.    (B) x=. (C) x=.    (D) x=.9.設(shè)M-N=x|xM,且xN,若M=x|x=(sin+cos),N=x|x=sin-sin|,則M-N等于(B    )(A)x|0x2.    (B)x|0<

54、x2.(C)x|-2x<0.    (D)2.二、填空題10.已知ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c成等比數(shù)列,且a、2、c成等差數(shù)列, =2,則B=    .11.函數(shù)f(x)=sin x+2|sin x|, x0,2 的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是    .12.有下列命題:存在(0, )使sin+cos=;存在區(qū)間(a,b)使y=cosx為減函數(shù)而sin x<0;y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù);y=cos 2x+sin(

55、-x)既有最大、最小值,又是偶函數(shù);y=|sin(2x+)|的最小正周期為.以上命題錯(cuò)誤的為    .三、解答題13.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acos x+b(a,bR,且均為常數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在區(qū)間-,0上單調(diào)遞增,且恰好能夠取到f(x)的最小值2,試求a,b的值.決勝高考一、選擇題1.要得到函數(shù)y=cos x的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象(    )(A)沿x軸向左平移個(gè)單位,再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變.(B)沿x軸向右平移

56、個(gè)單位,再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變.(C)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,再沿x軸向右平移個(gè)單位.(D)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再沿x軸向左平移個(gè)單位.2.已知數(shù)列an成等差數(shù)列,且a1+a7+a13=4,則tan(a2+a12)等于 (        )(A).    (B).(C)- .    (D)-.3.(2011·河南省重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考)在ABC中,sin2A+cos2B=1,則cos A+

57、cos B+cos C的最大值為(    )(A) .    (B) .(C)1.    (D) .4.ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則ABC的形狀為( )(A)直角三角形.    (B)等腰非等邊三角形.(C)等邊三角形.    (D)鈍角三角形.5.如果函數(shù)y=3cos(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)中心對(duì)稱,那么|的最小值為(    )(A) . (B) . (C) . (D) .6.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A<0,|<)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則y=f(-x)是(    )(A)偶函數(shù)且在x=0時(shí)取得最大值.(B)偶函數(shù)且在x=0時(shí)取得最小值.(C)奇函數(shù)且在x=0時(shí)取得最大值.(D)奇函數(shù)且在x=0時(shí)取得最小值.7.我們把正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象看作一組“平行曲線”,而“平行曲線”具有性質(zhì):任意兩條平行直線與兩條相鄰的