中南大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模

1、 中南大學(xué) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)報(bào)告 學(xué) 院： 信息科學(xué)與工程學(xué)院 專業(yè)班級： 姓 名： 學(xué) 號： 完成時間： 2014年1 月1日承 諾 書本人承諾所呈交的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模作業(yè)都是本人通過學(xué)習(xí)自行進(jìn)行編程獨(dú)立完成，所有結(jié)果都通過上機(jī)驗(yàn)證，無轉(zhuǎn)載或抄襲他人，也未經(jīng)他人轉(zhuǎn)載或抄襲。若承諾不實(shí)，本人愿意承擔(dān)一切責(zé)任。承諾人：2014年1月 1日注意事項(xiàng)如下：1、上機(jī)時間：第11周到第18周星期四晚上：7：00-8：30；2、上機(jī)地點(diǎn)：新校區(qū)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院二樓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室；3、交作業(yè)時間：第19周的星期五（2014年1月 6日）交到新校區(qū)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院二樓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室辦公室；4、報(bào)告所有結(jié)

2、果交電子打印稿到新校區(qū)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院二樓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室辦公室，并將電子文檔發(fā)送到郵箱：xuanyunqin（word文檔命名：姓名學(xué)號數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作業(yè)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)體會 選修了數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與建模這一門課，沒有學(xué)習(xí)之前我對數(shù)學(xué)建模沒有明確的概念，選修之后我才了解了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模是基于matlab這款軟件的強(qiáng)大功能，同時它還需要擁有很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，也知道了軟件在我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中所起到的重要作用。這款軟件不僅有強(qiáng)大的計(jì)算功能，還有強(qiáng)大的繪圖功能，在matlab中，有二維曲線繪圖命令plot、散點(diǎn)圖命令scatter等許多函數(shù)命令、利用這些命令可以繪制出復(fù)雜的圖像，而這些圖像是基于點(diǎn)集來繪制的，可以讓我們對函

3、數(shù)的性質(zhì)與特點(diǎn)有更為直觀的認(rèn)識。作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模的主角matlab軟件相對于其他的一些編程軟件有許多的優(yōu)點(diǎn)，也是它讓我感到驚異的地方有很多，首先它語言簡潔緊湊，大多字符就是英語單詞，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富，可以處理許多問題；再者它運(yùn)算符豐富而功能強(qiáng)大，既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如for循環(huán)、while循環(huán)等），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦?；此外語法限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計(jì)自由度大，不用麻煩去定義變量，為使用者提供了很大的自由空間，它的繪圖能力很強(qiáng),甚至可以模擬出三維視圖.矩陣是它應(yīng)用的核心,許多工程繁瑣的運(yùn)算都需要靠矩陣來化簡,這正是它的生命力所在.；當(dāng)然它也具有許多其它軟件程序所共有的優(yōu)點(diǎn)，其中

4、之一就是它的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計(jì)算機(jī)和操作系統(tǒng)上運(yùn)行，這一點(diǎn)在我完成作業(yè)時得到充分體現(xiàn)，我不僅可以在學(xué)校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室操作，還可以在自己的筆記本上操作，十分方便。開始時候，由于對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識過于片面，我覺得數(shù)學(xué)建模很枯燥，就是簡單的敲寫一些代碼，是一個很乏味的過程，但是慢慢了解了matlab軟件基礎(chǔ)和功能后，我越發(fā)喜歡這個看似無所不能的軟件，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛,而且還涉及到各個領(lǐng)域.它使用起來十分方便，但是,他的函數(shù)很多，開始學(xué)習(xí)的比較苦于記憶各種函數(shù)的功能,在編寫程序是經(jīng)常發(fā)生一些錯誤，甚至出現(xiàn)了一些我根本無法解決的問題，但隨著學(xué)習(xí)的深入，我已經(jīng)深深感覺到了

5、這些問題都是可以解決的，不過是使用多了也就熟了，就像自己學(xué)習(xí)C語言、C+等差不多。它的語法很是簡單,尤其是在經(jīng)過大一上學(xué)期C語言的學(xué)習(xí)后，我在在語言上基本沒有障礙。通過這一學(xué)期的短暫學(xué)習(xí)，我感覺到它的一些語言規(guī)則還是比較貼近實(shí)際應(yīng)用的，例如的數(shù)組定義十分符合自然世界的一些事物,它是從1開始的,數(shù)組元素的調(diào)用也很接近數(shù)學(xué)的表達(dá)，我最喜歡用它來畫三維圖，因?yàn)樗龀龅膱D形十分直觀，隨著對軟件的學(xué)習(xí)和使用不斷深入，我覺得matlab軟件還是十分有意思的，鑒于自己的英語水平不是很好，我的能力還是有很大的提升的空間，而它的界面全部是英文，并且有很多專業(yè)的詞匯。在很多時候，作為初學(xué)者的我還看不太懂，特別是一

6、些細(xì)節(jié)方面的問題，這給我學(xué)習(xí)造成了一些障礙，在最初的一段學(xué)習(xí)時間總是出現(xiàn)錯誤，讓我感到十分失落，但隨著我一邊上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，一邊解決老師留下的上機(jī)作業(yè)，在編程的過程中不斷地學(xué)習(xí)，程序需要什么知識再去補(bǔ)充，編程是一點(diǎn)一點(diǎn)積累的，同時做一些必要的筆記，這些內(nèi)容在處理老師留下的作業(yè)時會隨時用到。經(jīng)過這樣的練習(xí)，我的實(shí)際操作能力有了很大的提高，我體會到在面對問題的時候我們很多時候是根本不知道方向在哪，要學(xué)會自己去尋找方法解決，就是這樣一步一步的才會有所提高。同時，通過使用matlab軟件，使我懂得無論做什么事情都應(yīng)該學(xué)會耐心、細(xì)致。因?yàn)榧词故呛苄〉囊稽c(diǎn)疏忽，都會影響最后的結(jié)果與成敗。通過學(xué)習(xí)matl

7、ab，我又一次鍛煉了自己的思維，它也加強(qiáng)了我理論聯(lián)系實(shí)際的能力，此外matlab在電氣工程及其自動化這一專業(yè)的課程學(xué)習(xí)中也有很廣泛的應(yīng)用，學(xué)好它對自己以后的專業(yè)學(xué)習(xí)中很大的幫助，尤其是在控制學(xué)科和電子電路學(xué)科的應(yīng)用，用它處理傅里葉級數(shù)和傳遞函數(shù)的問題很方便。我在學(xué)習(xí)matlab是首先從模仿書本上的例題入手，練多了就自己會寫程序了。編好程序后問題最困難的不是編程序，而是調(diào)程序，所以在我的程序編完之后，我必須要進(jìn)行驗(yàn)證其正確性，而且要盡量多的設(shè)想問題的復(fù)雜性，當(dāng)然，要一步一步復(fù)雜，這樣才能保證程序的適用性很強(qiáng)，雖然在本次的實(shí)驗(yàn)中大多處理的問題都是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域的應(yīng)用少見，但這為我進(jìn)一

8、步的學(xué)習(xí)打下了很好的基礎(chǔ)。其實(shí)想要學(xué)習(xí)好一門課程，不能只靠老師，關(guān)鍵是自己，每個人內(nèi)心深處都是有一定抵觸意識，不可能把老師的所有都學(xué)到，在逐漸學(xué)習(xí)過程之中你會漸漸感興趣。學(xué)習(xí)這門課程，不光是學(xué)習(xí)一種方法，更重要的是學(xué)習(xí)一種思維方式，一種學(xué)習(xí)態(tài)度。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和建模的時間雖然很短，但卻讓我了解到了matlab功能強(qiáng)大和它的功能。老師也不可能把所有的都講解給我們，因?yàn)橐粋€軟件的功能需要我們自己不斷的去摸索，老師也不可能知道所有。老師只是個指路的明燈，領(lǐng)導(dǎo)我們進(jìn)入學(xué)習(xí)的大門，最終的學(xué)習(xí)還是要靠自己。而且在摸索過程中，我們才能夠逐漸把知識掌握，才會發(fā)現(xiàn)和體會學(xué)習(xí)的之中快樂，當(dāng)你通過各種查找和搜索才把

9、問題解決，這種成功的喜悅是很難忘的。61實(shí)驗(yàn)一 圖形的畫法1. 做出下列函數(shù)的圖像： （1），（分別用plot、fplot） 解：（1）>> x=-2:0.01:2; y=x.2.*sin(x.2-x-2); plot(x,y) >> fplot('(x.2).*sin(x.2)-x-2)',-2,2)（2）（用參數(shù)方程） >> t=0:pi/500:2*pi; x=3*cos(t);y=5*sin(t); plot(x,y,'b'); text(0,0,0,'原點(diǎn)'); xlabel('X軸'

10、),ylabel('Y軸');(3) 在同一圖形窗口中，畫出四幅不同圖形（用subplot命令）：，（） 解：>> x=0:pi/100:2*pi; y1=cos(x);y2=sin(x-pi/2);y3=x.2.*cos(x-pi);y4=exp(sin(x); subplot(2,2,1); plot(x,y1); subplot(2,2,2); plot(x,y2); subplot(2,2,3); plot(x,y3); subplot(2,2,4); plot(x,y4); 2 作出極坐標(biāo)方程為的曲線的圖形.解：>> t=0:0.01:2*pi

11、; r=2*(1-cos(t); polar(t,r,'r') 3 作出極坐標(biāo)方程為的對數(shù)螺線的圖形 解：>> t=0:0.02:2*pi; r=exp(t/10); title('對數(shù)螺線的圖形'); polar(t,r)4 繪制螺旋線在區(qū)間，上的圖形.在上實(shí)驗(yàn)中，顯示坐標(biāo)軸名稱。解： >> t=0:pi/1000:4*pi; x=4*cos(t);y=4*sin(t);z=t; plot3(x,y,z); title('螺線圖');xlabel('X軸'),ylabel('Y軸'),zl

12、abel('Z軸');grid;5 作出函數(shù)的圖形.解： >> x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); >> z=-x.*y.*exp(-x.2-y.2); >> mesh(x,y,z)6 作出橢球面的圖形.(該曲面的參數(shù)方程為 ().)解： >> u=0:pi/50:pi; v=0:pi/50:2*pi; u,v=meshgrid(u,v); x=2*sin(u).*cos(v); y=3*sin(u).*sin(v); z=cos(u); mesh(x,y,z)7 作雙葉雙曲面的圖形.(曲面的參數(shù)方程

13、是其中參數(shù)時對應(yīng)雙葉雙曲面的一葉, 參數(shù)時對應(yīng)雙葉雙曲面的另一葉.) 解： >> ezmesh('1.5*cot(u).*cos(v)','1.4*cot(u).*sin(v)','1.3*csc(u)',pi/1000000,pi,-pi,pi); hold on; ezmesh('1.5*cot(u).*cos(v)','1.4*cot(u).*sin(v)','1.3*csc(u)',-pi,pi/1000000,-pi,pi); axis(-15,15,-15,15,-15,15

14、) title('雙葉雙曲面的圖形') 8 作出圓環(huán),()的圖形.解： >> ezmesh('(8+3*cos(u)*cos(v)','(8+3*cos(u)*sin(v)','7*sin(u)',0,3*pi/2,pi/2,2*pi); axis(-10,10,-10,10,-10,10) title('圓環(huán)')9 作出球面和柱面相交的圖形. 解： >>view(60,80); syms u v; u=0:0.1:2*pi; v=0:0.1:2*pi; u,v=meshgrid(u,v);

15、 x1=2*sin(u).*cos(v); y1=2*sin(u).*sin(v); z1=2*cos(u); x2=sin(u)+1; y2=cos(u)/sqrt(2); z2=sin(v); mesh(x1,y1,z1) hold on surf(x2,y2,z2) hold off10 作出錐面和柱面相交的圖形. 解：>> syms u v; u=0:0.1:2*pi; v=0:0.1:2*pi; u,v=meshgrid(u,v); x1=sin(u).*sin(v); y1=sin(u).*cos(v); z1=sin(u); x2=sin(u)+1; y2=cos(u

16、); z2=sin(v); mesh(x1,y1,z1) hold on surf(x2,y2,z2) hold off11用動畫演示由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面的過程. （該曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 其參數(shù)方程為）解：>> n=1; m=moviein(n); for i=1:10 u=0:pi/50:pi/5*(i+0.2); v=0:pi/50:pi; u,v=meshgrid(u,v);x=sin(v).*cos(u);y=sin(v).*sin(u);z=v; mesh(x,y,z) m(:,i)=getframe; end movie(m,8)12. 畫出變上

17、限函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖形. 解：>> syms x; syms t; y=int(t.*sin(t.*t),t,0,x); dy=diff(y,x); ezplot(x,y); hold on; ezplot(x,dy);13.迪卡爾曲線解： >>hold on t=0:0.01:10; for a=0:0.1:5 x=(3*a*t)./(1+t.2); y=(3*a*t.2)./(1+t.2); plot(x,y,'r') end14. 蔓葉線解：>> hold on t=0:0.1:3; for a=0:0.5:5; x=(a.*t.2).

18、/(1+t.2); y=(a.*t.3)./(1+t.2); plot(x,y)end15. 擺線解：>> hold on; t=0:pi/50:2*pi; for a=0:0.5:5;x=a*(t-sin(t); for a=0:0.5:5; y=a*(1-cos(t); end plot(x,y) end16.內(nèi)擺線（星形線）解：>> hold on t=0:pi/50:2*pi; for a=0:0.5:5;x=a*(cos(t).3; y=a*(sin(t).3; plot(x,y,'m') end17. 圓的漸伸線（漸開線)解：>>

19、 hold on; t=0:pi/50:2*pi; for a=0:0.5:5; x=a.*(cos(t)+t.*sin(t); y=a.*(sin(t)-t.*cos(t); plot(x,y) end18. 空間螺線解：>> hold on; t=-2*pi:pi/50:2*pi; for a=-5:0.5:5;x=a*cos(t); for b=-5:0.5:5;y=b*sin(t); for c=-5:0.5:5;z=c*t; end end plot3(x,y,z) end19. 阿基米德線。解： >>hold on; t=0:pi/50:2*pi; for

20、a=0:0.5:5; r=(a*t);20. 對數(shù)螺線。解：>> t=-pi:0.1:pi; for a=-0.5:0.1:0.5; r=exp(a*t); polar(t,r); hold on; end21. 雙紐線解：>> t=-2*pi:pi/50:2*pi; for a=-1:0.1:1; r=(a.2)*(cos(2*t); polar(t,r); hold on; end22. 雙紐線解：>>t=-2*pi:pi/50:2*pi; for a=-1:0.1:1; r=(a.2)*(sin(2*t); polar(t,r); hold on; e

21、nd23. 四葉玫瑰線解：>> syms t; for a=1:5; r=a*sin(2*t); ezpolar(r); hold on; end24. 玫瑰線解：>> t=-pi/2:pi/100:pi/2; for a=-1:0.1:1; r=a*sin(3*t); polar(t,r); hold on;end25. 三葉玫瑰線解：>> t=-pi/2:pi/100:pi/2;for a=0:0.1:1; r=a*cos(3*t); polar(t,r); hold on;End26.作出以參數(shù)方程表示的空間曲線解：>> t=0:0.01:

22、20;x=exp(-0.2.*t).*cos(pi/2).*t);y=(pi/2).*(exp(-0.2.*t).*sin(t);z=t;plot3(x,y,z,'r')27.以繪制極坐標(biāo)系下曲線，并討論參數(shù)的影響。1.考慮參數(shù)a對曲線的影響，保持b不變，這里取其為0，讓a漸變，可以畫出對應(yīng)的曲線族解： >>m=-2*pi:pi/50:2*pi; for a=-5:0.5:5; r=a*cos(m); polar(m,r); hold on; end2. 考慮參數(shù)b對曲線的影響，保持n不變，這里取其為pi，讓b漸變，可以畫出對應(yīng)的曲線族解：>> m=-2

23、*pi:pi/50:2*pi;for b=-pi:pi/10:pi;r=cos(b+m);polar(m,r);hold on;end3. 考慮參數(shù)n對曲線的影響，保持b不變，這里取其為0，讓n漸變，可以畫出對應(yīng)的曲線族解：>> m=-2*pi:pi/100:2*pi;for n=-1:0.1:1;r=cos(n*m);polar(m,r);hold on;end28. (曲線族繪制) 三次拋物線的方程為，試探討參數(shù)a和c對其圖形的影響。(1) 考察參數(shù)a對圖像的影響，應(yīng)保持c不變，這里取c=2，讓a漸變即可解：>> x=-5:0.01:5;for a=-5:0.5:5

24、;y=(a*(x.3)+2*x;plot(x,y);hold on;end(2) 考察參數(shù)c對圖像的影響，應(yīng)保持a不變，這里取a=2，讓c漸變即可解：>> x=-5:0.01:5;for c=-20:1:20;y=(0.1*(x.3)+c*x;plot(x,y,'r');hold on;end29.做出下列函數(shù)的圖像： （1），（分別用plot、fplot） 解：1.>> x=-2:0.01:2; y=x.2.*sin(x.2-x-2); plot(x,y) （2）>> fplot('(x.2).*sin(x.2)-x-2)'

25、,-2,2)（2） （用參數(shù)方程）>> t=-2*pi:pi/50:2*pi;x=2*cos(t);y=4*sin(t);plot(x,y)(3) 在同一圖形窗口中，畫出四幅不同圖形（用subplot命令）：>> x=-2*pi:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=x.3;y3=x.*cos(x);y4=atan(x-1);subplot(2,2,1),plot(x,y1)subplot(2,2,2),plot(x,y2)subplot(2,2,3),plot(x,y3)subplot(2,2,4),plot(x,y4)30. 畫出空間曲線在范圍內(nèi)的圖形，

26、并畫出相應(yīng)的等高線。解：>>syms t; for a=1:8; r=a*sin(2*t); ezpolar(r); hold on; end u=-30:1:30; v=-30:1:30; x,y=meshgrid(u,v); z=10*sin(sqrt(x.2+y.2)./sqrt(1+x.2+y.2); subplot(1,2,1); mesh(x,y,z); subplot(1,2,2); contour(x,y,z,10)31.根據(jù)給定的參數(shù)方程，繪制下列曲面的圖形。a) 橢球面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=me

27、shgrid(u,v);x=3*cos(u).*sin(v);y=2*cos(u).*cos(v);z=sin(u);mesh(x,y,z)b) 橢圓拋物面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=3*u.*sin(v);y=2*u.*cos(u);z=4*u.2;mesh(x,y,z)c) 單葉雙曲面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=3*sec(u).*sin(v);y=2*sec(u).*cos(v);z=4.*tan(u)

28、;mesh(x,y,z)d) 雙曲拋物面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=u;y=v;z=(u.2-v.2)/3;mesh(x,y,z) e） 旋轉(zhuǎn)面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=log(u).*sin(v);y=log(u).*cos(v);z=u;mesh(x,y,z) f）圓錐面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=u.*sin

29、(v);y=u.*cos(v);z=u;mesh(x,y,z)g）環(huán)面 解： >> u=0:pi/20:2*pi;v=0:pi/20:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=(3+0.4*cos(u).*cos(v);y=(3+0.4*cos(u).*sin(v);z=0.4*sin(v);mesh(x,y,z) h)正螺面解：>> u=0:pi/50:2*pi;v=0:pi/50:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=u.*sin(v);y=u.*cos(v);z=4*v;mesh(x,y,z)實(shí)驗(yàn)二 一元函數(shù)微分學(xué)1. 分別畫出坐標(biāo)為的散點(diǎn)圖,

30、 并畫出折線圖.解：>> i=1:1:10;x=i;y=x.2;scatter(x,y) i=1:1:10;x=i.2;y=4*i.2+i.3;scatter(x,y) i=1:1:10;x=i;y=i.2;plot(x,y) i=1:1:10;x=i.2;y=4*i.2+i.3;plot(x,y)2. 畫出前25個素?cái)?shù)的散點(diǎn)圖.解：>> i=1;j=1;x=zeros(25,1);while(i<=25) if(isprime(j) x(i)=j; i=i+1; end j=j+1;endplot(x,'x');hold on 3. 設(shè)數(shù)列與由下

31、式確定:, , ()觀察與的極限是否存在.解：clc;clearx(1)=1;y(1)=2;tol=1e-6;n=1;while n<=10000 x(n+1)=sqrt(x(n)+y(n); y(n+1)=0.5*(x(n)+y(n); dx=x(n+1)-x(n); dy=y(n+1)-y(n); if abs(dx)<=tol && abs(dy)<=tol disp('xn,yn數(shù)列均收斂，其收斂值分別為： ') x(n) y(n) x' y' break elseif n=10000 && abs(dx

32、)<=tol && abs(dy)>tol disp('xn數(shù)列收斂，yn數(shù)列不收斂，其收斂值為： ') x(n) elseif n=10000 && abs(dy)<=tol && abs(dx)>tol disp(' xn數(shù)列不收斂，yn數(shù)列收斂，其收斂值為： ') y(n) elseif n=10000 && abs(dx)>tol && abs(dx)>tol disp('xn,yn數(shù)列均不收斂') end n=n+1;en

33、dxn,yn數(shù)列均收斂，其收斂值分別為：ans = 2.0000ans = 2.0000ans = 1.0000 1.7321 1.7978 1.8477 1.8854 1.9138 1.9352 1.9514 1.9635 1.9726 1.9794 1.9846 1.9884 1.9913 1.9935 1.9951 1.9963 1.9973 1.9979 1.9985 1.9988 1.9991 1.9993 1.9995 1.9996 1.9997 1.9998 1.9998 1.9999 1.9999 1.9999 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.000

34、0 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000ans = 2.0000 1.5000 1.6160 1.7069 1.7773 1.8313 1.8726 1.9039 1.9276 1.9456 1.9591 1.9692 1.9769 1.9827 1.9870 1.9902 1.9927 1.9945 1.9959 1.9969 1.9977 1.9983 1.9987 1.9990 1.9993 1.9994 1.9996 1.9997 1.9998 1.9998 1.9999 1.9999 1.9999

35、 1.9999 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.0000 2.00004. 討論極限解：>> syms x n; y=cos(x).n;limit(y,n,inf) ans =piecewise(cos(x) = 1, 1, 1 < cos(x) and 1 < abs(cos(x), Inf, cos(x) = 1 and abs(cos(x) in Dom:Interval(0, 1), 0, not 1 <= cos(x) and 1 < abs(cos(

36、x) or abs(cos(x) = 1 and (1 < cos(x) or cos(x) in Dom:Interval(0, 1), limit(cos(x)n, n = Inf)5. 在MATLAB中求下列極限（寫出MATLAB命令和運(yùn)行結(jié)果）(1) （2） （3） （4） （5） (6) (5) (7) (8) （9） (10) （11） （12）解：（1）>> syms n; limit(sqrt(n+sqrt(n)-sqrt(n),n,inf) ans = 1/2（2）>> syms x; limit(1-2/x).(3*x),x,inf) ans

37、= exp(-6)（3）>> syms x;limit(sin(x)/(x.3+3*x),x,0)ans = 1/3（4）>> syms x; limit(3*x.3-4*x.2+2)/(7*x.3+4),x,inf) ans = 3/7（5）>> syms n; limit(2*n.3+1)/(5*n.3+1),n,inf) ans = 2/5 (6) >> syms n; f=(-1).n+4.n)/(3.(n+1)+4.(n+1); limit(f,n,0,'left') ans = 2/7 (7)>> syms

38、 x; limit(sin(x)-x*cos(x)/(x.2*sin(x),x,0) ans = 1/3(8) >> syms x; f=(log(cot(x)/(log(x); limit(f,x,0,'left') ans = -1（9）>> syms x; f=x.2*log(x); limit(f,x,0,'left') ans = 0（10）>> syms x; f=x.x; limit(f,x,0,'left') ans = 1（11）>> syms x; f=sin(1/x)+cos(

39、1/x); limit(f,x,inf) ans = 1（12）>> syms x; f=(sin(x)/x).(1/(1-cos(x); limit(f,x,0) ans = exp(-1/3)6.討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性：(1) 函數(shù)在處的連續(xù)性；(2) 函數(shù)在處的連續(xù)性；解：（1）用matlab求出該函數(shù)的左極限和右極限，如下>>syms x; f=(x.2-5*x-6)/(x+1); limit(f,x,-1,'left')ans = -7>> syms x; f=(x.2-5*x-6)/(x+1); limit(f,x,-1,&

40、#39;right') ans = -7左極限=右極限=f（-1）=-7，故f（x）在x=-1處連續(xù)（2）用matlab求出該函數(shù)的左極限和右極限，如下>> syms x; f=1-x.2-5*x; limit(f,x,0,'right') ans = 1>> syms x; f=sin(x)/x; limit(f,x,0,'left') ans = 1左極限=右極限=f（0）=1，故f（x）在x=0處連續(xù)7. 根據(jù)要求在MATLAB中求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) ，求 (2) ，求（3）設(shè)，求 (4) ，求.解（1）先求導(dǎo)數(shù)>&

41、gt; syms a x diff(a.a+a.x+x.a+x.(a.*x),x) ans = a*x(a - 1) + ax*log(a) + a*x*x(a*x - 1) + a*x(a*x)*log(x)再求x=1時導(dǎo)函數(shù)的值>> x=1; dy=a*x(a - 1) + ax*log(a) + a*x*x(a*x - 1) + a*x(a*x)*log(x) dy = 2*a + a*log(a) （2） >>syms x ; f=asin(1-x.2)/(1+x.2);diff(f,x) ans = -(2*x)/(x2 + 1) - (2*x*(x2 - 1

42、)/(x2 + 1)2)/(1 - (x2 - 1)2/(x2 + 1)2)(1/2) （3）>> syms x a ; f=log(x+sqrt(a.2+x.2);diff(f,x) ans = (x/(a2 + x2)(1/2) + 1)/(x + (a2 + x2)(1/2) (4)先求二階導(dǎo)函數(shù) >>syms x;y=(x.2)*log(1+x);diff(diff(y,x),x) ans = 2*log(x + 1) + (4*x)/(x + 1) - x2/(x + 1)2再求當(dāng)x=1時二階導(dǎo)函數(shù)的值 >>x=1; dy2=2*log(x + 1

43、) + (4*x)/(x + 1) - x2/(x + 1)2 dy2 = 3.13638.函數(shù)在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日中值定理的條件, 因此存在使可以驗(yàn)證這個結(jié)論的正確性. 解：先求導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式>> syms xy=1/(x.4);dy=diff(y,x)dy= -4/x5再求左邊式子的取值>> x=2;>> y=1/(x.4) y = 0.0625>> x=1;>> y=1/(x.4) y =1>> x=(0.0625-1);>>y=1/(x.4) y = 1.2945再求解是否存在使f，（）=1.29

44、45 9.驗(yàn)證拉格朗日定理對函數(shù)在區(qū)間0,1上的正確性.解：>> syms x;y=4*x.3-5*x.2+x-2;y1=diff(y,x)y1 =12*x2 - 10*x + 110. 證明:對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時, 所求得的點(diǎn)總是位于區(qū)間的正中間.解：>> syms x p q r a by=p.*x.2+q.*x+r;y1=diff(y,x)y1 =q + 2*p*x>> limit(p.*x.2+q.*x+r,x,a) ans =p*a2 + q*a + r>> limit(p.*x.2+q.*x+r,x,b)ans = p*b2

45、+ q*b + r>> solve(p*a2 + q*a + r - (p*a2 + q*a) - (p*b2 + q*b)/(a - b) = 0, x) ans =a/2 + b/211.，求解：>> syms x a ; f=log(x+sqrt(a.2+x.2);diff(f,x) ans = (x/(a2 + x2)(1/2) + 1)/(x + (a2 + x2)(1/2)>> x=1; dy2=(x/(a2 + x2)(1/2) + 1)/(x + (a2 + x2)(1/2) dy2 = (1/(a2 + 1)(1/2) + 1)/(a2 +

46、 1)(1/2) + 1)12.設(shè)，求解：>> syms x y a t;x=a*(t-sin(t);y=a*(1-cos(t);dy=simple(diff(y,t)./diff(x,t) dy = -sin(t)/(cos(t) - 1) 13 已知多項(xiàng)式，求：（1） 的根； (2) 在閉區(qū)間-1,2上的最小值；（3） ，和； （4）的導(dǎo)數(shù)。解：（1）>> syms x>> f=6*x.5+2*x.3-5*x.2+1;>> x=solve(f) x = -0.4018369413802212127835619534773 0.60648957

47、366936235405931810385778 - 0.0914869517828043286443073063426*i 0.60648957366936235405931810385778 + 0.0914869517828043286443073063426*i - 0.40557110297925174766753712711913 + 0.96851301346816273468061031925246*i - 0.40557110297925174766753712711913 - 0.96851301346816273468061031925246*i（2） >>

48、g=inline('(1/6)*x.4+2*x.3-3*x+3'); >> x,fmin=fminbnd(g,-1,2) x = 0.6817fmin =1.6245（3）>> syms x>> f=6*x.5+2*x.3-5*x.2+1;>>g=(1/6)*x.4+2*x.3-3*x+3;>> h1=f+g h1 = 6*x5 + x4/6 + 4*x3 - 5*x2 - 3*x + 4>> h2=f*g h2 = (6*x5 + 2*x3 - 5*x2 + 1)*(x4/6 + 2*x3 - 3*x +

49、 3)>> h3=f/g h3 =(6*x5 + 2*x3 - 5*x2 + 1)/(x4/6 + 2*x3 - 3*x + 3)（4）>> syms x f=6*x.5+2*x.3-5*x.2+1; df=diff(f,x) df = 30*x4 + 6*x2 - 10*x 14. 已知函數(shù) 在區(qū)間上畫出函數(shù)的圖形, 并找出所有的駐點(diǎn)和拐點(diǎn).解：>> syms xf=(1/2)*x.6-2*x.5-(25/2)*x.4+60*x.3-150*x.2-180*x-25;>> dy1=diff(f,x) dy1= 3*x5 - 10*x4 - 50

50、*x3 + 180*x2 - 300*x - 180>> dy2=diff(dy,x) dy2 = 15*x4 - 40*x3 - 150*x2 + 360*x - 300>> dy3=diff(dy2,x) dy3 = 60*x3 - 120*x2 - 300*x + 360>> f=(1/2)*x.6-2*x.5-(25/2)*x.4+60*x.3-150*x.2-180*x-25;>> y1 =3*x.5 - 10*x.4 - 50*x.3 + 180*x.2 - 300*x - 180;>> y2 =15*x.4 - 40*x

51、.3 - 150*x.2 + 360*x - 300;>> y3 =60*x.3 - 120*x.2 - 300*x + 360;>>plot(x,f,x,y1,x,y2)>> f1=inline('3*x5 - 10*x4 - 50*x3 + 180*x2 - 300*x - 180') f1 = Inline function: f1(x) = 3*x5 - 10*x4 - 50*x3 + 180*x2 - 300*x - 180>> f2=inline('15*x.4 - 40*x.3 - 150*x.2 + 360*x - 300') f2 = Inline function: f2(x) = 15*x.4 - 40*x.3 - 150*x.2 + 360*x - 300>> f3=inline('60*x.3 - 120*x.2 - 300*x + 360') f3= Inline function: f3(x) = 60*x.3 - 120*x.2 - 300*x + 360>> x=solve(f1)x = 5