2020高考數(shù)學(xué)三個“二次”及關(guān)系試題

1、3c2408 高考數(shù)學(xué)三個“二次”及關(guān)系試題 三個“二次” 即一元二次函數(shù)、 一元二次方程、 一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容， 具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法 .難點磁場已知對于 x 的所有實數(shù)值，二次函數(shù) f(x)=x2 4ax+2 a+12( a R )的值都是非負的，求關(guān) 于 x 的方程 x =|a 1|+2 的根的取值范圍 .a2案例探究例 1已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c 和一次函數(shù) g(x)= bx，

2、其中 a、b、c 滿足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、 B；(2)求線段 AB 在 x 軸上的射影 A1B1 的長的取值范圍 . 命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合 . 錯解分析：由于此題表面上重在“形” ，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老 是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)” .技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化 .y ax2 bx c 2(1)證明：由消去 y 得 ax2+2bx+c=0y bx=

3、4b24ac=4(ac)2 4ac=4( a2+ac+c2)=4 (a+ c) a+b+c=0,a>b>c, a>0, c<032(2)解：設(shè)方程 ax2+bx+c=0 的兩根為 x1 和 x2,則x1+x2=2b c ,x1x2= . aa|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x222b 2 4c 4b2( a )4(c)2a a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0224c 4b 4ac 4( a c) 4ac a a2 ca 1 4( ca 12)2 a a 2a234ca>ac>c,解得 (2,a f ( )

4、 4( ) 21 的對稱軸方程是a a a a c (2, 1 )時，為減函數(shù) a2112)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|( 3,2 3). c2>0, >0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點 例 2已知關(guān)于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間 ( 1， 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間 (1，2)內(nèi)，求 m 的范圍 . (2)若方程兩根均在區(qū)間 (0， 1)內(nèi)，求 m 的范圍 .命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目 . 知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進行

5、限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點 .技巧與方法： 設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)， 可畫出相應(yīng)的示意圖， 然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制 .f(0)2m10,mf( 1)20,f(1)4m20,mf(2)6m50mm12 R,1256解：(1) 條件說明拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1 與 x 軸的交點分別在 區(qū)間 (1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得f (0) 0,(2)據(jù)拋物線與 x 軸交點落在區(qū)間 (0， 1)內(nèi)，列不等式組f (1) 0,0,1m,21 m 2, m 1 2或 m 1 2,1 m 0.(這里 0<m<1 是因為對稱軸 x=m 應(yīng)在區(qū)間 (0， 1)內(nèi)通過 )

6、錦囊妙計1. 二次函數(shù)的基本性質(zhì) (1)二次函數(shù)的三種表示法：22y=ax +bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(x x0) +n.1(2)當(dāng) a>0,f(x)在區(qū)間 p,q上的最大值 M ，最小值 m,令 x0= (p+q).2 b若<p,則 f(p)=m,f(q)=M;2a bb若 p<x0,則 f()=m,f(q)= M ;2a 2abb若 x0<q,則 f(p)=M,f()=m;2a 2a 若 b q,則 f(p)=M,f(q)=m.2a2.二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的實根分布及條件(1)方程 f(x)=0 的兩根中一根比 r 大，另一

7、根比 b2 b 2a f(r)(2)二次方程f(x)=0 的兩根都大于 rr小4acr,a·f(r)<0;0,(3)二次方程f(x)=0 在區(qū)間 (p,q)內(nèi)有兩根b2b2a f (q) f(p)4ac 0,q,0,0;(4)二次方程 檢驗另一根若在 (p,q)內(nèi)成立 .f(x)=0 在區(qū)間 (p,q) 內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(檢驗)或 f(q)=0(檢驗 )(5)方程 f(x)=0 兩根的一根大于 p,另一根小于q(p<q)f (p) 0f (q) 03.二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等 f()=f()=0;式 f(x)=ax

8、2+bx+c 0 的解集是：, ) ,+ )a<0 且(2)當(dāng) a>0 時，f( )<f()|b+2a|<|+ 2ba |,當(dāng) a<02a時，f()<f()|+2ab |>|+2ba|;(3) 當(dāng)a>0時，次不f(x)>0 在 p,q 恒成立b2af (p)p, 或0,b p 2a f ( 2ba) 2aq,或0,b2af(q)p;0;(4)f(x)>0 恒成立00,或b0;0,f (x) 0恒成立a 00,或b00.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.( )若不等式 (a2)x2+2(a 2)x 4<0 對一切 xR 恒成立，則 ( )

9、a 的取值范圍是滿足 a 2 0 ,解得 2<a<2,所以 a的范圍是2<a2.A.( ,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.( ,2)2. ( )設(shè)二次函數(shù) f(x)=x2x+a(a>0),若 f(m)<0,則 f( m 1)的值為 ()A. 正數(shù)B.負數(shù)C.非負數(shù)D.正數(shù)、負數(shù)和零都有可能二、填空題3. ( )已知二次函數(shù) f(x)=4 x2 2(p 2)x 2p2 p+1,若在區(qū)間 1， 1內(nèi)至少 存在一個實數(shù) c,使 f(c)>0, 則實數(shù) p 的取值范圍是 .4. ( )二次函數(shù) f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x 恒有 f(2+x)=f(

10、2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則 x 的取值范圍是 .三、解答題ty5. ( )已知實數(shù) t 滿足關(guān)系式 loga 3 loga 3 (a>0 且 a1) a3a3(1)令 t= ax,求 y=f(x)的表達式；(2)若 x(0,2 時， y有最小值 8，求 a和 x的值.6. ( )如果二次函數(shù) y=mx2+(m 3)x+1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的 右側(cè)，試求 m 的取值范圍 .p q r7. ( )二次函數(shù) f(x)=px2+qx+r 中實數(shù) p、q、 r 滿足=0,其中m 2 m 1 m m>0,求證：m(1)pf( )<0; m

11、1(2)方程 f(x)=0 在(0， 1)內(nèi)恒有解 .8. ( )一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件 )與售價 P(元/件)之間的關(guān)系為P=1602x,生產(chǎn) x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300 元？(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案 難點磁場3 解：由條件知 0,即(4a)24(2a+12) 0, a223125(1)當(dāng) 3 a<1時，原方程化為： x=a2+a+6, a2+a+6=(a 1)2+25.2 243 9125 a= 時， xmin= ,a= 時， xmax=.2424答案： C1

12、2.解析： f( x)= x2 x+ a的對稱軸為 x= ,且f(1)>0,則f(0)>0,而 f(m)<0,m(0,1),2 m 1< 0, f (m 1)>0.答案： A31二、3.解析：只需 f(1)=2p23p+9>0 或 f(1)=2p2+p+1>0 即 3< p< 或 <p3<1. p(3, 3由 a4 =8 得 a=16.所求 a=16,x= .26. 解： f(0)=1>0(1)當(dāng) m<0 時，二次函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點且分別在 y 軸兩側(cè)，符合題意 .0(2)當(dāng) m>0 時，則 3 m

13、解得 0<m 1m ).2答案： (3， 3 )24.解析：由 f(2+x)=f(2 x)知 x=2 為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小， |12x22|<|1+2xx22|, 2<x<0.答案： 2< x< 0三、5.解： (1)由 loga t3 log t y3 得 log at 3=log t y 3log t aa3a3由 t=ax知 x=log at，代入上式得 x 3= log a y 3,xx2 logay=x23x+3，即 y=a x 3x 3 (x 0).33(2)令 u=x2 3x+3=( x 2 )2+ 4 (x 0),則 y

14、=au若 0<a< 1,要使 y=au有最小值 8，33則 u=(x 3)2+ 3在(0，2 上應(yīng)有最大值，但 u 在(0，2 上不存在最大值 .2433若 a>1,要使 y=au有最小值 8，則 u=(x )2+ ,x (0,2 應(yīng)有最小值2433 3 4當(dāng) x= 時， umin= ,ymi n= a 綜上所述， m 的取值范圍是 m|m1 且 m 0.24m m 2 m7. 證明： (1) pf(mm1) pp(mm1)2 q(mm1) rpm qpm 2(m 1)2 m 12 m(m 2) (m p2m2(m 1) 2(m 2)r m 1)2pm pm 2(m 1) 2

15、mp2pm21 (m 1)2(m 2),由于f(x)是二次函數(shù)，故p 0,又 m>0,所以， pf( m )< 0.m1(2)由題意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r當(dāng) p<0時，由 (1)知 f( m )<0m1若 r>0,則f(0)>0,又 f( m )<0,所以 f(x)=0 在(0， m )內(nèi)有解 ;m 1 m 1若 r0,則 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( p r )+r= p r >0,m 2 m m 2 m又 f( m )<0,所以 f(x)=0 在 ( m ,1)內(nèi)有解 .m 1 m 1當(dāng) p<0 時同理可證 .8. 解： (1)設(shè)該廠的月獲利為 y,依題意得 y=(1602x)x(500+30x)=2x2+130x500 由 y1300 知 2x2+130x5001300 x265x+9000， (x20)(x45)0，解得 20x45 當(dāng)月產(chǎn)量在 2045 件之間時，月獲利不少于 1300 元.2 65 2(2)由 (1)知 y=2x2+