初中數(shù)學(xué)代數(shù)、幾何解題技巧

1、如何用好題目中的條件暗示有一類題目， 我們在解前面幾小題時， 其解題思路和方法往往對解后面問題起著很好的暗示作用，現(xiàn)以一次函數(shù)中出現(xiàn)的兩道題目為例予以說明，供同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中參考。【例 1】直線與 x 軸、 y 軸分別交于B、 A 兩點(diǎn)，如圖1。圖 1（ 1）求 B、A 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）把AOB以直線 AB 為軸翻折，點(diǎn) O 落在平面上的點(diǎn) C處，以 BC為一邊作等邊 BCD。求 D 點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（ 1）容易求得， A（ 0，1）。（ 2）如圖 2，圖 2，A（0， 1）， OB=， OA=1。在 RtAOB中，容易求得OBA=30°把 AOB 以直線 AB 為軸翻折， O

2、BC=2OBA=60°， BO=BC。 OBC是等邊三角形以 BC 為一邊作等邊 BCD，則 D 的落點(diǎn)有兩種情形，可分別求得D 的坐標(biāo)為（ 0， 0），。反思：在求得第（1）小題中B、 A 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B（，0）， A（ 0， 1），實(shí)質(zhì)上暗示著 RtAOB中， OA=1， OB=，即暗示著OBA=30°，為解第（ 2）小題做了很好的鋪墊?！纠?2】直線與 x 軸、 y 軸分別交于A、 B，以線段AB 為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰RtABC， BAC=90°，且點(diǎn) P（ 1， a）為坐標(biāo)系中的一個動點(diǎn)，如圖3。圖 3（ 1）求三解形ABC的面積。（ 2）證明不

3、論 a 取任何實(shí)數(shù)，三角形 BOP的面積是一個常數(shù)；（ 3）要使得 ABC和 ABP 的面積相等，求實(shí)數(shù) a 的值。解析：（ 1）容易求得：A（， 0）， B（ 0， 1），。（ 2）如圖 4，連接 OP、 BP，過點(diǎn) P 作 PD 垂直于 y 軸，垂足為D，則三角形BOP的面積為，故不論a 取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP的面積是一個常數(shù)。圖 4（ 3）如圖 4，當(dāng)點(diǎn) P 在第四象限時由第（2）小題中的結(jié)果：，和第（ 3）小題的條件可得：，。如圖 5，當(dāng)點(diǎn) P 在第一象限時，用類似的方法可求得a=。圖 5反思：由第（1）小題中求得的和第（ 2）小題中證明所得的結(jié)論：三角形BOP 的面積是一個常數(shù)，實(shí)

4、質(zhì)上暗示著第（3）小題的解題思路：利用來解。通過這兩道題目的分析可以發(fā)現(xiàn)，在解題過程中，如果經(jīng)?；仡^看一看、想一想，我們往往會發(fā)現(xiàn)，很多題目的解題思路原來就在題目之中。分式運(yùn)算的幾點(diǎn)技巧分式運(yùn)算的一般方法 就是按分式運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算。但對某些較復(fù)雜的題目，使用一般 方法有時計算量太大， 導(dǎo)致出錯， 有時甚至算不出來， 下面列舉幾例介紹分式運(yùn)算的幾點(diǎn)技巧。一 . 分段分步法例 1. 計算：解：原式說明：若一次通分，計算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構(gòu)成平方差公式，采用分段分步法，則可使問題簡單化。同類方法練習(xí)題：計算（答案：）二 . 分裂整數(shù)法例 2. 計算：解：原式說明：當(dāng)算式

5、中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同次數(shù)時，一般要先利用分裂整數(shù)法對分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。同類方法練習(xí)題：有一些“幸福 ”牌的卡片（卡片數(shù)目不為零），團(tuán)團(tuán)的卡片比這些多6 張，圓圓的卡片比這些多2 張，且知團(tuán)團(tuán)的卡片是圓圓的整數(shù)倍，求團(tuán)團(tuán)和圓圓各多少張卡片？（答案：團(tuán)團(tuán)8 張，圓圓4 張）三 . 拆項法例 3. 計算：解：原式說明：對形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式拆項，正負(fù)抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆項法。同類方法練習(xí)題：計算：（答案：），各個分式四 . 活用乘法公式例 4. 計算：解：當(dāng)且時，原式說明： 在本題中，原式乘以同

6、一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，公式，分式運(yùn)算中若恰當(dāng)使用乘法公式，可使計算簡便。同類方法練習(xí)題：計算：（答案：）就可連續(xù)使用平方差五 . 巧選運(yùn)算順序例 5. 計算：解：原式說明：此題若按兩數(shù)和（差）的平方公式展開前后兩個括號，計算將很麻煩，一般兩個分式的和（差）的平方或立方不能按公式展開，只能先算括號內(nèi)的。同類方法練習(xí)題：解方程（答案：）六 . 見繁化簡例 6. 計算：解：原式說明：若運(yùn)算中的分式不是最簡分式，可先約分，再選用適當(dāng)方法通分，可使運(yùn)算簡便。同類方法練習(xí)題：解方程（答案：）在分式運(yùn)算中，應(yīng)根據(jù)分式的具體特點(diǎn)，靈活機(jī)動，活用方法。方能起到事半功倍的效率。多邊形內(nèi)角和問題的求解

7、技巧1、多邊形的每個內(nèi)角與和它相鄰的外角互為補(bǔ)角。這個條件在題目中一般不會作為已知條件給出，因此，在解題時應(yīng)根據(jù)需要加以利用。例 1一個正多邊形的每個內(nèi)角都比與它相鄰的外角的3 倍還多 20°，求此正多邊形的邊數(shù)。分析：由于這個正多邊形的每個外角與和它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，根據(jù)題意，可先求出外角的大小，再求邊數(shù)。解：設(shè)每個外角的大小為x°，則與它相鄰的內(nèi)角的大小為（3x+20）度。根據(jù)題意，得解得，即每個外角都等于40°。所以，即這個正多邊形的邊數(shù)為9。2、利用多邊形內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)時，經(jīng)常設(shè)邊數(shù)為n ，然后列出方程或不等式，利用代數(shù)方法解決幾何問題。例

8、2 已知一個多邊形的每個內(nèi)角都等于 135 °，求這個多邊形的邊數(shù)。解法 1：設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n，依題意，得解得 n=8，即這個多邊形的邊數(shù)為8。解法 2：依題意知，這個多邊形的每個外角是180° 135°=45°。所以，多邊形的邊數(shù)，即這個多邊形的邊數(shù)為8。3、正多邊形各內(nèi)角相等，因此各外角也相等。有時利用這種隱含關(guān)系求多邊形的邊數(shù)，比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)簡捷（如上題解法2）。解題時要注意這種逆向思維的運(yùn)用。例 3一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和是2570°，求這個多邊形的邊數(shù)。分析： 從已知條件可知這是一個與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的問題。

9、由于除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和為2570°，故該多邊形的內(nèi)角和比2570°大。又由相鄰內(nèi)、外角間的關(guān)系可知，內(nèi)角和比 2570°+180°小?？闪谐鲫P(guān)于邊數(shù)n 的不等式，先確定邊數(shù)n 的范圍，再求邊數(shù)。解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n 2） ·180°。依題意，得解這個不等式，得。所以 n=17，即這個多邊形的邊數(shù)為17。說明：這類題都隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件。4、把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是研究不規(guī)則圖形的常用方法，其解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的圖形。例 4如圖 1，求 1+ 2+ 3+4+ 5+ 6+ 7 的大小。圖 1分析

10、：解題關(guān)鍵是把該圖形與凸多邊形聯(lián)系起來，從而利用多邊形內(nèi)角和定理來解決，因此可考慮連接 CF。解：連接CF。 COF= DOE 1+ 2= OCF+ OFC 1+ 2+ 3+ 4+ 5+6+ 7=OCF+ OFC+ 3+4+ 5+6+ 7=（5 2） × 180 °證明三角形全等的一般思路一、當(dāng)已知兩個三角形中有兩邊對應(yīng)相等時，找夾角相等（SAS）或第三邊相等（SSS）。例 1. 如圖 1，已知： AC BC，CD CE， ACB DCE 60°，且 B、C、D 在同一條直線上。求證： ADBE分析：要證AD BE注意到 AD 是ABD 或 ACD的邊，BE 是

11、DEB或 BCE的邊，只需證明 ABD DEB或 ACD BCE，顯然 ABD 和 DEB不全等，而在 ACD 和BCE中， ACBC， CD CE，故只需證它們的夾角 ACD BCE即可。而 ACD ACE 60°， BCE ACE60°故ACD BCE（ SAS）二、當(dāng)已知兩個三角形中有兩角對應(yīng)相等時，找夾邊對應(yīng)相等（ ASA）或找任一等角的對邊對應(yīng)相等（ AAS）例 2. 如圖 2，已知點(diǎn) A、B、 C、 D 在同一直線上， AC BD， AM CN， BMDN。求證： AM CN分析：要證AM CN只要證 ABM CDN，在這兩個三角形中，由于AM CN， BM D

12、N，可得A NCD， ABM D可見有兩角對應(yīng)相等，故只需證其夾邊相等即可。又由于AC BD，而故 AB CD故ABM CDN（ASA）三、當(dāng)已知兩個三角形中，有一邊和一角對應(yīng)相等時，可找另一角對應(yīng)相等（或找夾等角的另一邊對應(yīng)相等（SAS）AAS，ASA）例 3. 如圖 3，已知： CAB DBA， AC BD， AC 交 BD 于點(diǎn) O。求證： CAB DBA分析：要證 CAB DBA在這兩個三角形中，有一角對應(yīng)相等（CAB DBA）一邊對應(yīng)相等（AC BD）故可找夾等角的邊（AB、 BA）對應(yīng)相等即可（利用SAS）。四、已知兩直角三角形中，當(dāng)有一邊對應(yīng)相等時，可找另一邊對應(yīng)相等或一銳角對應(yīng)

13、相等例 4. 如圖 4，已知 AB AC，AD AG， AE BG 交 BG 的延長線于 E， AF CD 交 CD 的延長線于 F。求證： AEAF分析：要證AE AF只需證 RtAEB RtAFC，在這兩個直角三角形中，已有 AB AC 故只需證 B C 即可而要證 B C需證 ABG ACD，這顯然易證（SAS）。五、當(dāng)已知圖形中無現(xiàn)存的全等三角形時，可通過添作輔助線構(gòu)成證題所需的三角形例 5. 如圖 5，已知 ABC中， BAC 90°， AB AC， BD 是中線， AEBD 于 F，交 BC于 E。求證： ADB CDE分析：由于結(jié)論中的兩個角分屬的兩個三角形不全等，故需

14、作輔助線。注意到 AE BD， BAC 90°，有 1 2，又 AB AC。故可以 2 為一內(nèi)角，以 AC為一直角邊構(gòu)造一個與 ABD 全等的直角三角形， 為此， 過 C 作 CG AC 交 AE 的延長線于 G，則 ABD CAG，故 ADB CGA。對照結(jié)論需證CGA CDE又要證 CGE CDE，這可由CG AD CD， ECG EBA ECD， CE CE而獲證。計算線段長度的方法技巧線段是基本的幾何圖形， 是三角形、 四邊形的構(gòu)成元素。 初一同學(xué)對于線段的計算感到有點(diǎn)摸不著頭緒。這是介紹幾個計算 方法 ，供同學(xué)們參考。1. 利用幾何的直觀性，尋找所求量與已知量的關(guān)系例 1.

15、 如圖 1 所示，點(diǎn) C 分線段 AB 為 5：7，點(diǎn) D 分線段 AB 為 5：11，若 CD 10cm，求 AB。圖 1分析：觀察圖形可知， DC ACAD，根據(jù)已知的比例關(guān)系， AC、AD 均可用所求量 AB 表示，這樣通過已知量 DC，即可求出 AB。解：因?yàn)辄c(diǎn)C 分線段 AB 為 5： 7，點(diǎn) D 分線段 AB 為 5： 11所以又又因?yàn)?CD 10cm，所以 AB96cm2. 利用線段中點(diǎn)性質(zhì)，進(jìn)行線段長度變換例 2. 如圖 2，已知線段AB 80cm， M 為 AB 的中點(diǎn)， P 在 MB 上， N 為 PB 的中點(diǎn)，且NB 14cm ，求 PA的長。圖 2分析：從圖形可以看出，

16、線段AP 等于線段AM 與 MP 的和，也等于線段以，欲求線段PA 的長，只要能求出線段AM 與 MP 的長或者求出線段解：因?yàn)?N 是 PB的中點(diǎn)， NB14所以 PB 2NB 2×14 28又因?yàn)?AP AB PB， AB80所以 AP 80 2852（ cm）說明： 在幾何計算中， 要結(jié)合圖形中已知線段和所求線段的位置關(guān)系求解，據(jù)。AB 與 PB 的差，所PB 的長即可。要做到步步有根3. 根據(jù)圖形及已知條件，利用解方程的方法求解例 3. 如圖 3，一條直線上順次有A、B、C、D 四點(diǎn)，且 C 為 AD 的中點(diǎn)，求 BC是 AB 的多少倍？圖 3分析：題中已給出線段察圖形可知，

17、BC、 AB、AD 的一個方程，又C 為 AD 的中點(diǎn)，即，可得到BC、 AB、 AD 又一個方程，從而可用AD，觀分別表示AB、 BC。解：因?yàn)?C 為 AD 的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，即又?lt;1>、 <2>可得：即 BC 3AB例 4. 如圖 4， C、 D、 E 將線段 AB 分成 2： 3： 4： 5 四部分， M、 P、 Q、 N 分別是 AC、 CD、DE、 EB的中點(diǎn)，且 MN 21，求 PQ的長。圖 4分析：根據(jù)比例關(guān)系及中點(diǎn)性質(zhì)，若設(shè)AC2x，則 AB 上每一條短線段都可以用表示。觀察圖形，已知量MN MCCDDEEN，可轉(zhuǎn)化成x 的方程，先求出x 的代數(shù)式x

18、，再求出PQ。解：若設(shè)AC 2x，則于是有那么即解得：所以4. 分類討論圖形的多樣性，注意所求結(jié)果的完整性例 5. 已知線段AB 8cm，在直線AB 上畫線段分析：線段AB 是固定不變的，而直線上線段BC 3cm，求 AC的長。BC 的位置與C 點(diǎn)的位置有關(guān)，C 點(diǎn)可在線段AB 上，也可在線段AB 的延長線上，如圖5。圖 5解：因?yàn)锳B 8cm， BC 3cm所以或綜上所述， 線段的計算， 除選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄍ?，觀察圖形是關(guān)鍵，同時還要注意規(guī)范書寫格式，注意幾何圖形的多樣性等?！揪毩?xí)】1. 已知如圖 6，B、C兩點(diǎn)把線段 AD 分成 2：3：4 三部分， M 是線段 AD 的中點(diǎn)， CD 16c

19、m。求：（1） MC 的長；（ 2） AB：BM 的值。圖 62. 如圖 7 所示，已知 AB 40cm， C為 AB 的中點(diǎn)， D 為 CB 上一點(diǎn)， E 為 DB 的中點(diǎn)， EB6cm，求 CD的長。圖 7【答案】1. （1） 2cm；（ 2）4 ：52. 8 cm列方程解應(yīng)用題的方法一. 直譯法設(shè)元后，視元為已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，把數(shù)學(xué) 語言直譯為代數(shù)式，即可列出方程。例 1. （2004 年山西?。┘?、乙兩個建筑隊完成某項工程，若兩隊同時開工，12 天就可以完成工程；乙隊單獨(dú)完成該工程比甲隊單獨(dú)完成該工程多用10 天。問單獨(dú)完成此項工程，乙隊需要多少天？解：設(shè)乙單獨(dú)完成工程需x 天，則

20、甲單獨(dú)完成工程需（x 10）天。根據(jù)題意，得去分母，得解得經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根， 但當(dāng)時，當(dāng)時，因時間不能為負(fù)數(shù)，所以只能取。答：乙隊單獨(dú)完成此項工程需要30 天。點(diǎn)評：設(shè)乙單獨(dú)完成工程需x 天后，視 x 為已知，則根據(jù)題意，原原本本的把語言直譯成代數(shù)式，則方程很快列出。二. 列表法設(shè)出未知數(shù)后，視元為已知數(shù)，然后綜合已知條件，把握數(shù)量關(guān)系，分別填入表格中，則等量關(guān)系不難得出，進(jìn)而列出方程（組）。例 2. （ 2004 年海淀區(qū)）在某校舉辦的足球比賽中規(guī)定：勝一場得3 分，平一場得1 分，負(fù)一場得 0 分。某班足球隊參加了12 場比賽， 共得 22 分，已知這個隊只輸了 2 場，那么此隊勝幾

21、場？平幾場？解：設(shè)此隊勝x 場，平 y 場由列表與題中數(shù)量關(guān)系，得解這個方程組，得答：此隊勝6 場，平 4 場。點(diǎn)評：通過列表格，將題目中的數(shù)量關(guān)系顯露出來，使人明白，從勝、平、負(fù)的場數(shù)之和等于 12，總得分 22 分是勝場、 平場、負(fù)場得分之和。 建立方程組， 利用列表法求解使人易懂。三. 參數(shù)法對復(fù)雜的應(yīng)用題，可設(shè)參數(shù)，則往往可起到橋梁的作用。例 3. 從 A、 B 兩汽車站相向各發(fā)一輛車，再隔相同時間又同時發(fā)出一輛車，按此規(guī)律不斷發(fā)車，且知所有汽車的速度相同，A、B 間有騎自行車者，發(fā)覺每12 分鐘，后面追來一輛汽車，每隔 4 分鐘迎面開來一輛汽車，問A、B 兩站每隔幾分鐘發(fā)車一次？解：

22、設(shè)汽車的速度為x 米/ 分；自行車的速度為y 米 / 分，同一車站發(fā)出的相鄰兩輛汽車相隔m 米。 A、 B 兩站每隔n 分鐘發(fā)一次車。則從A 站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為12（汽車行進(jìn)速度）（自行車行進(jìn)速度），從 B 站發(fā)來的兩輛汽車間的距離為：4（汽車行進(jìn)速度）（自行車行進(jìn)速度） 。由題意，得得：所以由（ 3）得，又由（ 4）得答： A、 B 兩站相隔6 分鐘發(fā)車一次。點(diǎn)評：本例不用直接設(shè)元，因?yàn)闊o從著手，需要的已知量較多，但又是未知的，而選用x、y、 m、 n 的參數(shù)，從而很容易列出方程組，使復(fù)雜的問題迎刃而解。四 . 線示法運(yùn)用圖線，把已知和未知條件間的數(shù)量關(guān)系，用線性圖表示出來，則等量關(guān)

23、系可一目了然。例 4. A、 B 兩地間的路程為 36 里，甲從 A 地，乙從 B 地同時出發(fā)相向而行，二人相遇后，甲再走 2 小時 30 分鐘到達(dá) B 地，乙再行走 1 小時 36 分鐘到達(dá) A 地，求二人的速度？解：設(shè)甲的速度為x 里 / 小時，乙的速度為y 里 / 小時，2 小時 30 分小時，1 小時 36 分小時。從出發(fā)到相遇時間小時，甲從A 到相遇點(diǎn)C 要走里，乙從 C 地到 A走了里；乙從 B 到 C 要走里，甲從C 到 B 走里，從圖1 可以看清。圖 1于是解得答：甲、乙二人的速度分別是8 里 /小時， 10 里/小時。點(diǎn)評：把速度、時間、距離三者關(guān)系用線性圖表示，再把數(shù)量關(guān)系

24、寫在直線圖上，則等量關(guān)系一目了然。圓與圓位置關(guān)系中常見輔助線的作法1. 作相交兩圓的公共弦利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。例 1. 如圖 1， O1 和 O2 相交于 A、B 兩點(diǎn)，過 A、 B 分別作直線 CD、EF，且 CD/EF，與兩圓相交于 C、D、 E、F。求證： CE DF。圖 1分析： CE和 DF 分別是 O1 和 O2 的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié) AB，則可得圓內(nèi)接四邊形 ABEC和 ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。證明：連結(jié)AB因?yàn)橛炙约?CE/DF又 CD/EF所以四邊形CEFD為平行四邊形即 CE DF2. 作兩相交

25、圓的連心線利用過交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計算問題。例 2. O1 和 O2 相交于 A、B 兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數(shù)。圖 2分析：公共弦AB 可位于圓心O1、 O2 同側(cè)或異側(cè)，要求的度數(shù)，可利用角的和或差來求解。解：當(dāng) AB 位于 O1、O2 異側(cè)時，如圖2。連結(jié) O1、 O2，交 AB 于 C，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得故當(dāng) AB 位于 O1、 O2 同側(cè)時，如圖3圖 3則綜上可知或3. 兩圓相切，作過切點(diǎn)的公切線利用弦切角定理溝通兩圓中角的關(guān)系例 3. 如圖 4， O1 和 O2 外切于點(diǎn)P，A 是 O1 上的一點(diǎn)，直線A

26、C 切 O2 于 C，交 O1于 B，直線 AP 交 O2 于 D。求證 PC平分。圖 4分析：要證PC 平分，即證而的邊分布在兩個圓中，難以直接證明。若過 P 作兩圓的公切線PT，與 AC交于 T易知由弦切角定理，得又是的一個外角所以又從而有即 PC平分4. 兩圓相切，作連心線利用連心線經(jīng)過切點(diǎn)的性質(zhì)，解決有關(guān)計算問題。例 4. 如圖 5， O1 與半徑為 4 的 O2 內(nèi)切于點(diǎn) A， O1 經(jīng)過圓心 O2，作 O2 的直徑 BC，交 O1 于點(diǎn) D，EF 為過點(diǎn) A 的公切線，若，求的度數(shù)。圖 5分析：是弦切角， 要求其度數(shù)， 需將其轉(zhuǎn)化為圓周角或圓心角，因此連結(jié)O1O2、O1A，則 O1

27、O2 必過點(diǎn) A，且 O2A 為 O1 的直徑，易知。連結(jié) DA，則于是又為銳角所以從而有5. 過小圓圓心作大圓半徑的垂線有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。例 5. 如圖 6， O1 與 O2 外切于點(diǎn) O，兩外公切線 PCD和 PBA 切 O1、 O2 于點(diǎn) C、D、B、A，且其夾角為，求兩圓的半徑。圖 6分析：如圖 6，連結(jié) O1O2、 O1 A、 O2B，過點(diǎn) O2 作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。請同學(xué)們自己給出解答。（答案：兩圓的半徑分別為3和1）幾何證明的幾種特殊方法一、分解法即把一個圖形分解成幾個簡單的圖形或分成具有某種特殊關(guān)系的圖形，圖形的性質(zhì)來推導(dǎo)出

28、所要證明的問題的一種方法。然后借助于分解后的例 1. 如圖 1，ABCD是任意四邊形， E、 F 將 AB 分成三等分， G、 H 將 CD 分成三等分。求證：四邊形 EFGH的面積等于四邊形 ABCD面積的三分之一。分析：四邊形問題我們常分割成三角形問題來解決。于是考慮連結(jié)意和 “等底等高的三角形面積相等 ”知：AC、AH、 HF、FC，由題所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命題的某些特殊情形，從特例中探索一般規(guī)律，或從特例中得到啟發(fā)，從而解決一般問題的一種方法。例 2. 如圖 2，設(shè) P 為 AOB 的平分線上一定點(diǎn)，以O(shè)P 為弦作一圓，分別交OA、 OB 于 C、D。求證： OC與 OD 的和為定值。分析：學(xué)生往往找不到定值是什么，若將 “弦 OP”特殊化為 “直徑 OP”，則 OPC和 OPD是全等直角三角形，因而，OC OD，于是判斷OC 與 OD 的和為定值。故過 P 作 PE OA，PF O