D12_5冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .第五節(jié)第五節(jié) 一、近似計(jì)算一、近似計(jì)算 二、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法二、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 第十二章 三、歐拉公式三、歐拉公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .一、近似計(jì)算一、近似計(jì)算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 計(jì)算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精確到282811811131!2541313431518231

2、!254112331!35941解解: 553243240514)1(331243354105 . 0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)11(432)1ln(432xxxxxx例例2. 計(jì)算2ln的近似值 ,使準(zhǔn)確到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有用此式求 ln2 計(jì)算量大目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111

3、133113193414102 . 0787321在上述展開(kāi)式中取前四項(xiàng), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .說(shuō)明說(shuō)明: 在展開(kāi)式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此遞推公式可求出任意正整數(shù)的對(duì)數(shù) . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n為自然數(shù)) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3. 利用,!3sin3xxx求9sin誤差. 解解: 先把角度化為弧度

4、9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin的近似值 , 并估計(jì)91802015643. 0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .( 取 例例4. 計(jì)算積分xxde21201的近似值, 精確到)56419. 01解解:1e2x!) 1(20nxnnn)(xxxde22210 xd2210 !) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0!) 1(2nnn 1221n) 12(n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .!3721

5、!252132111642xdx221e20!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn則 n 應(yīng)滿足4nxxde22120則所求積分近似值為欲使截?cái)嗾`差5205. 0,4n取目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例5. 計(jì)算積分xxxdsin10的近似值, 精確到.104解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數(shù)在 x = 0 處的值為 1, 則它在積分區(qū)間! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r

6、00167. 005556. 01上連續(xù), 且有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 :!7714103 . 03528019461. 0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .二、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法二、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多項(xiàng)式及是其中yyxxyxf202010)()(xxaxxayy代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù) ,21naaa由此確定的級(jí)數(shù)即為定解問(wèn)題在收斂區(qū)間內(nèi)的解. 設(shè)所求解為冪級(jí)數(shù)解法本質(zhì)上就是待定系數(shù)法 nnxxa)(01. 一階微分方程的情形一階微分方程的情形目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .例例6. 2yxy求方程解解: 根據(jù)初始條件, 設(shè)所求特解為nnx

7、axaxay221代入原方程, 得.00的特解滿足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比較同次冪系數(shù), 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的冪級(jí)數(shù)前幾項(xiàng)為 5220121xxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .2. 二階齊次線性微分方程問(wèn)題二階齊次線性微分方程問(wèn)題0)()( yxQyxPy定理定理:nnnxay0則在R x 4 時(shí),111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!

8、1e0nnxxn)211e(2xxxyx注意到:此題的上述特解即為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .三、歐拉三、歐拉(Euler)公式公式)i(1nnnvu 則稱 收斂收斂 , 且其和為)i(1nnnvu 絕對(duì)收斂,1nnu)i(1nnnvu 收斂 .,1uunn,1vvnn若nnnvui1.ivu 221nnnvu 收斂,若對(duì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),22nnnvuu22nnnvuv1nnv絕對(duì)收斂則稱 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 由于, 故知 歐拉 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .定義定義: 復(fù)變量yxzi的指數(shù)函數(shù)為)(!1!211e2zznzznz易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對(duì)收斂 .當(dāng) y = 0 時(shí), 它與實(shí)指

9、數(shù)函數(shù)xe當(dāng) x = 0 時(shí),nyynyyy)(i!1)(i!31)(i!21i1e32innynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyysini的冪級(jí)數(shù)展式一致.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .xxxsinicoseixxxsinicosei（歐拉公式）xcos（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式rxxyyOyxziyxzisinicos rier則xsin歐拉 2eeiixx2eeiixx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .據(jù)此可得n)sini(cosnnsinicos(德莫弗公式德莫弗公式)利用冪級(jí)數(shù)的乘法,

10、不難驗(yàn)證2121eeezzzz特別有yx ie)sin(coseyiyx),(Ryxyx ieyxiee )sini(coseyyxxerxxyyOyxzi第六節(jié) yxzisinicos rier作業(yè)作業(yè) P291 1 (1),(3); 2(2)；3(1),(3); 4(2)第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 備用題備用題 1. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 驗(yàn)證函數(shù))(x滿足微分方程;exyyy (2) 利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)! )3(30nxnn的和. (2002考研) 解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!

11、8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的結(jié)果可知所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足xyyye , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:i23212, 1r齊次方程通解為)23sin23cos(e2121xCxCYx設(shè)非齊次方程特解為,exAy 代入原方程得,31A故非齊次方程通解為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .xe31)23sin23cos(e2121xCxCyx代入初始條件可得0,3221CC故所求級(jí)數(shù)的和)(e3123cose3221xxxx! )3(30

12、nxnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .2.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 為常數(shù)n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ內(nèi)都可在)1 , 1(求解勒讓德 (Legendre) 方程 展成冪級(jí)數(shù), 故方程滿足定理?xiàng)l件.設(shè)方程的解為,0kkkxay代入 : 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann因方程特點(diǎn),不用將 P, Q 進(jìn)行展開(kāi)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比較系數(shù), 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .于是得勒讓德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)都在(1, 1 )內(nèi)收斂, 10, aa可以任意取, 它們是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解. 歐