初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明(1)精品精編資料

1、初中數(shù)學(xué)：勾股定理的多種證明勾股定理的證明方法1做 8 個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為 c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到， 這兩個(gè)正方形的邊長都是 a + b，所以面積相等 . 即 a 的平方加 b 的平方，加 4 乘以二分之一 ab 等于 c 的平方，加 4 乘以二分之一 ab，整理得 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。勾股定理的證明方法2以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一 ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B 三點(diǎn)

2、在一條直線上， B、F、C 三點(diǎn)在一條直線上， C、G、D 三點(diǎn)在一條直線上 . Rt HAE Rt EBF, AHE =BEF. AEH +AHE = 90o, AEH +BEF = 90o. HEF = 180o90o= 90o.四邊形 EFGH是一個(gè)邊長為 c 的正方形 . 它的面積等于 c2. Rt GDH Rt HAE, HGD =EHA. HGD +GHD = 90o, EHA +GHD = 90o.又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一個(gè)邊長為 a + b的正方形，它的面積等于 a+b 的平方。 a 加 b 的平方等于 4 乘二分之一

3、ab，加上 c 的平方。 . a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。勾股定理的證明方法3以 a、b 為直角邊（ b>a），以 c 為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一 ab。把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀。 Rt DAH Rt ABE, HDA =EAB. HAD + HAD = 90o， EAB +HAD = 90o， ABCD是一個(gè)邊長為 c 的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = b a , HEF = 90o. EFGH是一個(gè)邊長為 ba的正方形，它的面積等于 b 減 a 的平方。 4 乘二分之一 ab 加上， b 減

4、 a 的平方等于 c 的平方。 a2+b2=c2(說明 a2 為 a 的平方 )。勾股定理的證明方法4以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一 ab。把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B 三點(diǎn)在一條直線上 . RtEAD RtCBE, ADE =BEC. AED +ADE = 90o, AED +BEC = 90o. DEC = 180o90o= 90o. DEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于二分之一 c2.又 DAE = 90o,EBC = 90o, AD BC. ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 1/2(a+b)2

5、. 1/2(a+b)2=2x1/2ab+1/2c2. . a2+b2=c2.勾股定理的證明方法5做四個(gè)全等的直角三角形， 設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b ，斜邊長為 c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使 D、 E、 F 在一條直線上 . 過 C 作 AC 的延長線交 DF 于點(diǎn) P. D、E、F 在一條直線上 ,且 Rt GEF Rt EBD, EGF =BED， EGF +GEF = 90，° BED +GEF = 90，° BEG =180o90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA =，c ABEG是一個(gè)邊長為 c 的正方形 . ABC +CBE

6、 = 90o. Rt ABC Rt EBD, ABC =EBD. EBD +CBE = 90o.即 CBD= 90o.又 BDE = 90o， BCP = 90o，BC = BD = a. BDPC是一個(gè)邊長為 a 的正方形 .同理， HPFG是一個(gè)邊長為b 的正方形 .設(shè)多邊形 GHCBE的面積為 S，則a2+b2=S+2 x 1/2xabc2=S+2x1/2 x ab a2+b2=c2.勾股定理的證明方法6做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b（b>a） ，斜邊長為 c. 再做一個(gè)邊長為 c 的正方形 . 把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C三點(diǎn)在一條直線上

7、 .過點(diǎn) Q 作 QPBC，交 AC 于點(diǎn) P.過點(diǎn) B 作 BMPQ，垂足為 M；再過點(diǎn)F 作 FN PQ，垂足為 N. BCA = 90o，QP BC， MPC = 90o， BMPQ， BMP = 90o， BCPM是一個(gè)矩形，即 MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o， ABC +MBA = MBC = 90o， QBM =ABC，又 BMP = 90o， BCA = 90o，BQ = BA = ，c Rt BMQ Rt BCA.同理可證 RtQNF RtAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】勾股定理的證明方法7做三個(gè)邊長分別為 a、b、c 的正方形，把它們拼成如

8、圖所示形狀，使 H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) BF、 CD.過 C 作 CL DE，交 AB 于點(diǎn) M ，交 DE于點(diǎn) L. AF = AC，AB = AD， FAB =GAD， FAB GAD， FAB的面積等于 1/2 乘 a2，GAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，矩形 ADLM 的面積=a2.同理可證，矩形MLEB的面積=b2.正方形 ADEB的面積= 矩形 ADLM 的面積 +矩形 MLEB的面積 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.勾股定理的證明方法8如圖，在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 AC、BC的長度分別為 a、b，斜邊 AB 的長為 c，過點(diǎn) C 作 CD AB，垂

9、足是 D.在 ADC和 ACB中， ADC =ACB = 90o， CAD =BAC， ADC ACB. ADAC = ACAB，即 AC2=AD·AB.同理可證，CDBACB，從而有 BC2=BD·AB . AC2+BC2=(AD+DB)·AB=AB2 ，即 a2+b2=c2.勾股定理的證明方法9做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為 c. 再做一個(gè)邊長為c 的正方形 . 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過 A 作AFAC，AF交 GT于 F，AF交 DT于 R. 過 B 作 BPAF，垂足為 P. 過 D 作 DE與C

10、B的延長線垂直，垂足為 E，DE交 AF 于 H. BAD = 90o， PAC = 90o， DAH =BAC.又 DHA = 90o， BCA = 90o，AD = AB = ，c Rt DHA Rt BCA. DH = BC = ，aAH = AC = b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形，所以 RtAPB RtBCA即. PB =CA = b，AP= a，從而 PH = b a. Rt DGT Rt BCA ,RtDHA RtBCA. Rt DGT Rt DHA . DH = DG = ，a GDT = HDA .又 DGT = 90o， DHF = 90o， GDH = GDT +TD

11、H =HDA+ TDH = 90o， DGFH是一個(gè)邊長為 a 的正方形 . GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ ba） .用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c 為邊長的正方形的面積為勾股定理的證明方法10設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b（b>a），斜邊的長為 c. 做三個(gè)邊長分別為 a、b、c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A、E、G 三點(diǎn)在一條直線上 . 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖） . TBE = ABH = 90o， TBH =ABE.又 BTH =B

12、EA = 90o，BT = BE = ，b Rt HBT Rt ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = b a.又 GHF +BHT = 90o， DBC +BHT =TBH +BHT = 90o， GHF =DBC. DB = EB ED = ba， HGF =BDC = 90o，勾股定理的證明方法11在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a，AC = b，斜邊 AB = c. 如圖，以 B 為圓心 a 為半徑作圓，交 AB 及 AB 的延長線分別于 D、E，則 BD = BE = BC = a因.為 BCA = 90o，點(diǎn) C 在 B 上，所以 AC是 B 的切線 . 由切割線定理，得AC2=AE·AD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c2-a2,即 b2=c2-a2, a2+b2=c2勾股定理的證明方法12在 Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a，AC = b，斜邊 AB = c（如圖） .過點(diǎn) A 作 AD CB，過點(diǎn) B 作 BD CA，則 ACBD為矩形，矩形 ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓 . 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有AB·DC=AD·BC+AC·BD， AB = DC = ，cAD = BC = ，aAC = BD = ，b AB2=